考点54 空间几何体计算问题—线线角

考点54空间几何体计算问题—线线角

一、单选题

1．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为

A． B． C． D．

2．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

3．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A． B． C． D．

5．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为

A． B． C． D．

6．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A． B． C． D．

7．在正方体中，为棱的中点，则．

A． B． C． D．

8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A． B． C． D．

10．已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为

A． B．

C． D．

11．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于

A．30° B．45° C．60° D．90°

12．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为         .

14．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是_________________．

15．已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.

16．如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．

参考答案

1．B

【详解】

试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．

考点：异面直线所成的角．

【名师点睛】

求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．

2．C

【详解】

平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.

取DD1中点F，则为所求角, ，选C.

3．D

【分析】

平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

4．D

【详解】

设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，

，故选D.

5．C

【详解】

试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以

，故C为正确答案．

考点：异面直线所成的角．

6．C

【分析】

利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.

【详解】

在正方体中，，所以异面直线与所成角为，

设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，

则.故选C.

【点睛】

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

7．C

【分析】

画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．

【详解】

画出正方体，如图所示．

对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．

对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．

对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．

对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．

故选C．

【名师点睛】

本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．

8．C

【详解】

如图所示，补成直四棱柱，

则所求角为，

易得，因此，故选C．

平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

9．C

【详解】

以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则

，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.

考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.

10．B

【详解】

试题分析：如图所示，过点作，使，垂足为，过点作，过点作，连接，因为，所以，因为，又，所以，所以，在中，设，则，在中，则，在中，则，所以异面直线与所成的角，即是,所以，故选B．

考点：空间角的求解问题．

【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

11．C

【详解】

本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．

12．D

【详解】

在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．

解答：解：由题意可得，

即有，

故选D．

13．

【详解】

连接DE，

设AD=2，易知AD∥BC，

∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，

∴cos∠DAE==．

14．

【解析】

不妨设棱长为2，选择基向量，则，，

，故填写．

15．

【详解】

如图连接，，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.

16．

【详解】

如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直

线，所成角（或其补角）易得，

，，

∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

考点：异面直线的夹角.