考点55 空间几何体计算问题——线面角

考点55空间几何体计算问题——线面角

一、单选题

1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为

A． B． C． D．

2．已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于

A． B． C． D．

3．正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为

A． B． C． D．

4．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为

A． B． C． D．

5．如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（ ）

A． B． C． D．

6．如图所示，若斜线段是它在平面上的射影的倍，则与平面所成的角是（    ）

A． B．

C． D．

7．如图，在斜三棱柱中，已知，平面平面，点到平面距离是，则直线与平面所成角的大小为

A． B． C． D．

8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，，则与平面所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，则与平面所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在正方体中，为上底面的中心，直线与平面所成角的正切值等于（    ）

A．2 B． C． D．

11．如图，圆O所在平面，是圆O的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成的角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________．

14．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是____________

15．已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.

16．在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________

参考答案

1．D

【详解】

考点：空间中直线与平面之间的位置关系．

分析：由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．

解：连接A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．

在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．

故选D．

2．A

【详解】

试题分析：设， 面积为

考点：线面角

3．D

【详解】

试题分析：因为∥，所以与平面所成角的余弦值等价于与平面所成角的余弦值．设正方体棱长为a，易知平面且设垂足为E，所以即为所求角．由已知可得DE=，从而，所以．故选D．

考点：斜线与平面所成的角．

4．C

【分析】

首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.

【详解】

在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，

因为，所以，从而求得，

所以该长方体的体积为，故选C.

【点睛】

该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.

5．D

【分析】

利用面，可得就是与平面所成的角，解三角形即可．

【详解】

解：连接，∵面，

∴就是与平面所成的角.

.

故选：D.

6．A

【分析】

根据题意，得到平面，推出即为与平面所成的角，再由题中条件，即可求出结果.

【详解】

因为斜线段是它在平面上的射影的倍，

所以平面，，所以，

因此即为与平面所成的角，

所以，因此.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求线面角，熟记线面角的概念即可，属于基础题型.

7．C

【分析】

过做于，由已知可得平面，可得为所求，解即可.

【详解】

过做于，平面平面，

平面平面平面，

平面，

为直线与平面所成的角，

又点到平面距离是，，

在中，，

，

即直线与平面所成的角为.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，将空间角转化为平面角是解题的关键，属于基础题.

8．A

【分析】

由题可知就是与平面所成的角，在中即求.

【详解】

在堑堵中，因为侧棱垂直于底面，，

所以，又，

所以面，

就是与平面所成的角，

，，，则，．

，

则与平面所成角的大小为．

故选：．

9．B

【分析】

连接，易知就是与平面所成的平面角，结合正方体的性质及，求正弦值即可.

【详解】

连接，由面，则就是与平面所成的角.

∴，

故选：B

10．B

【分析】

连接与交于点，则即直线与平面所成的角，进而可求得结果.

【详解】

连接与交于点，连接，则平面，所以即直线与平面所成的角.

设正方体的棱长为，则，，所以.

故选：B.

11．A

【分析】

首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案.

【详解】

因为平面，平面，所以

因为，，所以平面

所以与平面所成角为

因为，所以，

所以

故选：A

12．D

【分析】

由正三棱锥得顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，构造由棱锥高、侧棱长及底面顶点到中心为三边的三角形，解三角形后，即可得结果.

【详解】

由已知易得该三棱锥为正三棱锥，

则顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，

如图所示：

在三棱锥中，O为底面中心，则易得，，，

则即为侧棱与底面所成的角，

则，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了棱锥的性质，直线与平面所成的角的求法，属于基础题.

13．

【详解】

试题分析：

连结BD，则由题意得.

【考点】线面角

【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题时，往往要将空间问题转化成平面问题，作出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等.

14．

【详解】

，点到平面的距离为，∴，．

15．.

【分析】

利用底面为正方形可以得到底面的对角线的长度为，再利用为直角三角形得到，从而求出侧棱与底面所成的角.

【详解】

如图，，，因为底面为正方形，故，故，因为锐角，故，填.

【点睛】

一般地，在正棱锥中，有四个直角三角形（如图所示， ），它们沟通了棱锥的侧棱、底边的边长、斜高和高之间的关系，关于棱锥的计算问题中，注意利用这四个直角三角形实现不同量之间的转化.

16．

【分析】

连结辅助线,证明与底面所成的角为,再根据正切值求解.

【详解】

解：连结,因为为四棱柱,

所以面,

则与底面所成的角为,

,即,

解得该正四棱柱的高.

故答案为

【点睛】

本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是找到直线与平面所成的角.