考点36 数列的概念练习题

考点36 数列的概念

一、单选题

1．数列中，，，则（　　）

A．32 B．62 C．63 D．64

2．已知数列満足: ,，则=

A．0 B．1 C．2 D．6

3．若数列的前项和为，且，则

A． B． C． D．

4．若为数列的前项和，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．设数列中，（且），则（    ）

A． B． C．2 D．

6．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

7．数列满足，且，则数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

8．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（    ）

A．  B．30 C．31 D．32

9．已知，则数列是（    ）

A．递增数列 B．递减数列

C．先递增后递减数列 D．常数列

10．在数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

11．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（    ）

A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项

12．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．

14．在等差数列中，，，记，则数列的最大项是第__________项.

15．已知数列的前项和，若不等式对任意恒成立，则的取值范围为______．

16．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：

①时，；

②；

③当时，数列是递增数列；

④对任意，存在，使得数列成等比数列．

其中所有正确结论的序号是___________．

参考答案

1．C

【分析】

把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.

【详解】

数列中，，故，

因为，故，故，

所以，所以为等比数列，公比为，首项为.

所以即，故，故选C.

【点睛】

给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：

（1），取倒数变形为；

（2），变形为，也可以变形为；

2．B

【分析】

由，可得，以此类推，即可得出结果.

【详解】

因为，，所以，

以此类推可得，，，.

故选B

【点睛】

本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.

3．C

【分析】

对已知，进行化简，令，可得，即为等比数列，利用可计算出的首项和公比，从而可求得的通项，得到的通项.

【详解】

，

令

，可得为等比数列，设其公比为

，

，故选C项.

【点睛】

本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.

4．B

【分析】

利用求得.

【详解】

时，.

时，，

，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

故选：B

5．A

【分析】

根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.

【详解】

由已知得：，可求，

∴数列周期为3，

，

故选：A．

6．B

【分析】

由，利用累加法得出.

【详解】

由题意可得，

所以，，…，，

上式累加可得

，

又，所以.

故选：B.

7．A

【分析】

根据，利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.

【详解】

解：因为，

则，

，

，

，

累加得，

所以.

当n=1时也成立

故选：A.

8．B

【分析】

将化为二次函数的顶点式形式，利用二次函数的性质及n∈N*，求最大项的值.

【详解】

，又n∈N*，

∴当n＝5或6时，an取最大值30，

故选：B.

9．A

【分析】

根据数列相邻两项差的正负即可判断此数列的增减性.

【详解】

因为，所以，

所以数列是递增数列.

故选：A

10．C

【分析】

由，结合数列的单调性，即可求解.

【详解】

由，

当时，单调递减，

当时，单调递减，

结合函数的性质，可得，.

故选：C.

11．C

【分析】

由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.

【详解】

依题意得，设数列的最大项为，于是有，

从而得，整理得：，解得，而，则，

所以数列各项中最大项是第15项.

故选：C

12．D

【分析】

利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可

【详解】

解：由题意可得，

整理得，

当时，不等式化简为恒成立，所以，

当时，不等式化简为恒成立，所以，

综上，，

所以实数的取值范围是，

故选：D

13．－9

【分析】

由于an＝n2－6n＝(n－3)2－9，从而可求得结果

【详解】

∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，

∴当n＝3时，an取得最小值－9.

故答案为：－9

14．6

【分析】

先求出等差数列的通项公式，由通项公式可判断中各项的正负，即可求解.

【详解】

设等差数列的公差为，

由解得：，

所以，

当时，，当时，，

所以，

，

，

，

，

因为，

当当时，，所以，

所以 以及时，

时，因为，

所以最大，所以的最大项是第项，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是求出等差数列的通项，并能判断各项的正负，通过分析比较可判断的符号.

15．

【分析】

求出数列的首项，利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，化简，得到的表达式，利用数列的单调性求解即可.

【详解】

当时，，即，

当时，，即，

所以，即，而，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，等式对任意恒成立等价于，即，

令，当时，，当时，，则，所以，故，所以的取值范围为，

故答案为：.

16．①②④

【分析】

①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；

【详解】

解：①当时，，则，

即，则，

则，，

则；故①正确．

②因为，，所以，，

即，故②正确；

③当时，不妨设，

则由，，

得，

则，

则，故数列是递增数列错误；故③错误．

④设，

则，

，

，即

存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；

故答案为：①②④