2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 2020年是我国完成第一个100年奋斗目标的关键之年，到2021年我国全面建成小康社会．人民生活水平越来越高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 如图经过以下变化后所得到的三角形不能和△ABC全等的是( )
A.B.
C.D.

3. 如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是( )

A.点CB.点D
C.线段BC的中点D.线段FC的中点

4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到△A′OB′，若∠AOB=15∘，则∠AOB′的度数是( )

A.20∘B.30∘C.35∘D.40∘

5. 点−5,3关于原点的对称点坐标是（ ）
A.−5,−3B.5,−3C.5,3D.3,−5

6. 若y=m−2xm2−2是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A.−2B.−2或2C.2D.不存在

7. 在以下几种生活现象中，不属于旋转的是（ ）
A.下雪时，雪花在天空中自由飘落
B.钟摆左右不停地摆动
C.时钟上秒针的转动
D.电风扇转动的扇叶

8. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30∘，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为( )

A.5B.13C.4D.6

9. 如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1=130∘，∠2=60∘，若要使直线a // b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转( )

A.130∘B.20∘C.60∘D.10∘

10. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是( )

A.(−1, 2+3)B.(−3, 3)C.(−3, 2+3)D.(−3, 3)

11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )

A.3B.6C.12D.24

12. 如图，将长为2，宽为1的四个矩形摆放在坐标系中，若正比例函数y=kx的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于（ ）

A.1B.32C.23D.43
二、填空题

钟表的分针经过4分钟，旋转了________​∘.

广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和________ 等．

如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90∘而得，则AC所在直线的解析式是________．


旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12∘ ，B灯每秒转动4∘ ．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间为________.

三、解答题

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−3,5，B−2,1，C−1,3.

(1)画出将△ABC绕点O顺时针旋转90∘后所得到的图形△A1B1C1；

(2)写出点A1, B1, C1的坐标．

如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．

(1)旋转中心是点________，旋转角度是________度；

(2)连结EF，则△AEF是________三角形；并证明；

(3)若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．

当m为何值时.
(1)点A(2, 3m)关于原点的对称点在第三象限；

(2)点B(3m−1, 0.5m+2)到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？

如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA=OB=2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90∘，第2020次旋转结束时，求点C的坐标．


如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60∘得到线段AQ，连接BQ，PB，PC.若PA=6，PB=8，PC=10，求四边形APBQ的面积.


已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC.

(1)如图1，求证：AE=DB；

(2)如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60∘至△ACF（点B,E的对应点分别为点A,F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请求出△PMN面积的最大值．

定义：将函数l的图象绕点P(m， 0)旋转180∘，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′是函数关于点P的相关函数．例如：当m=1时，函数y=(x+1)2+5关于点P(1， 0)的相关函数为y=−(x−3)2−5．
1当y=−ax2−ax+1(a≠0),m=0时，
①一次函数y=x−1关于点P的相关函数；
②点(12, − 98)在函数关于点P的相关函数的图象上，求a的值;

2函数y=(x−1)2+2关于点P的相关函数y=−(x+3)2−2，则m=________；

3当m−1≤x≤m+2时，函数y=x2−mx−12m2关于点P(m， 0)的相关函数的最大值为6，求m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省恩施市某校初三（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】
解：根据把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，可得：
A，是中心对称图形，故A正确；
B，不是中心对称图形，故B错误；
C，不是中心对称图形，故C错误；
D，不是中心对称图形，故D错误.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
平移的性质
旋转的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
根据定义，平移、旋转、翻折后的图形与原图形全等，放大后的图形与原图形相似，由此即可选择．
【解答】
解：根据平移的定义，一个图形整体沿某一直线方向移动，所以平移前后图形全等，故A不合题意；
根据翻折的定义，翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动，所以翻折前后图形全等，故B不合题意；
根据旋转的定义，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，就叫做图形的旋转，所以旋转前后图形全等，故C不合题意；
放大后的图形大小发生了变化，故前后图形不全等，故D符合题意.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或线段FC中点，进而得出答案．
【解答】
解：∵ 此图形是中心对称图形，
∴ 对称中心是线段FC的中点．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
【解析】
本小题重在考查旋转的性质，旋转前后的图形全等，且旋转角是对应点与旋转中心连线所组成的角，旋转角相等来解答
【解答】
解：由旋转的性质可得： ∠AOA′=∠BOB′=45∘.
又因为∠AOB=15∘，
所以∠AOB′=∠BOB′−∠AOB=45∘−15∘=30∘.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为平面直角坐标系中任意一点(x, y)，关于原点的对称点是(−x, −y)，
所以点−5,3关于原点的对称点坐标是5,−3.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数可得：m2−2=2，且m−2≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：m2−2=2，且m−2≠0，
解得：m=−2.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
生活中的旋转现象
【解析】
根据旋转的定义分析求解．
【解答】
解：A，下雪时，雪花在天空中自由飘落不属于旋转，故本选项符合题意；
B，钟摆左右不停地摆动属于旋转，故本选项不符合题意；
C，时钟上秒针的转动属于旋转，故本选项不符合题意；
D，电风扇转动的扇叶属于旋转，故本选项不符合题意.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
勾股定理
【解析】
根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90∘，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：∵ 将△ABC绕点A按逆时针旋转60∘得到△AB1C1，
∴ AC=AC1，∠CAC1=60∘.
∵ AB=3，AC=2，∠BAC=30∘，
∴ ∠BAC1=90∘，AB=3，AC1=2，
∴ 在Rt△BAC1中，由勾股定理得BC1=32+22=13.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
平行线的判定
旋转的性质
【解析】
根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60∘时，存在b // a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60∘−50∘＝10∘．
【解答】
解：∵ ∠2=60∘，
∴ 若要使直线a // b，则∠1应该为120∘.
又∵ ∠1=130∘，
∴ 直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：130∘−120∘=10∘.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
坐标与图形变化-旋转
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H，
由题意得OA′=A′B′=OA=2，
∠B′A′H=∠B′OA′+∠OB′A′
=∠AOB+∠B
=60∘，
所以∠A′B′H=30∘，
所以A′H=1，B′H=3，
所以OH=3，
所以B′(−3, 3).
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
由于在平行四边形中，对边分别平行且相等，对角线相互平分，图中的线条把平行四边形分成5组全等三角形，通过仔细观察分析图中阴影部分，可得出每组全等三角形中有一个带阴影，所以阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半．
【解答】
解：通过观察结合平行四边形性质得：S阴影=12×6×4=12．
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
待定系数法求正比例函数解析式
坐标与图形性质
【解析】
直接利用几何图象得性质，得到点的左边，即可得出答案.
【解答】
解：将图形进行如图分解，
∵ 图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等，
∴ 当正比例函数y=kx的图象过点A时，恰好将图形分为面积相等的两部分，
又∵ 点A的坐标为3,4，
∴ 4=3k，
解得： k=43.
故选D．
二、填空题
【答案】
24
【考点】
生活中的旋转现象
旋转的性质
【解析】
根据分针60分钟转360∘，可得分针旋转的速度，根据分针旋转的速度乘以分针旋转的时间，可得答案．
【解答】
解：由分针60分钟转360∘，
得分针1分钟转360∘÷60=6∘，
∴ 4分钟转6∘×4=24∘.
故答案为：24.
【答案】
旋转
【考点】
利用旋转设计图案
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和旋转等.
故答案为：旋转．
【答案】
y=2x−4
【考点】
坐标与图形变化-旋转
待定系数法求一次函数解析式
全等三角形的性质
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≅△BAO(AAS)，已知A(2， 0)，B(0， 1)，从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
【解答】
解：∵ A(2,0)，B(0,1)，
∴ OA=2，OB=1，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则易知△ACD≅△BAO(AAS),
∴ AD=OB=1，CD=OA=2，
∴ C(3,2)，
设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，将点A，点C坐标代入得：
0=2k+b,2=3k+b, 解得k=2,b=−4,
∴ 直线AC的解析式为y=2x−4．
故答案为：y=2x−4.
【答案】
6秒或19.5秒
【考点】
平行线的判定与性质
一元一次方程的应用——其他问题
【解析】
直接分情况讨论，构造方程，即可解出.
【解答】
解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4=45（秒），
∴ t≤45−12，即t≤33，
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行，
①如图1，∠MAM′=∠PBP′，
12t=412+t ，解得t=6；
②如图2，∠NAM′+∠PBP′=180∘，
12t−180+412+t=180，解得t=19.5，
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
三、解答题
【答案】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)由图可得，A1(5, 3)，B1(1, 2)，C1(3, 1).
【考点】
作图-旋转变换
点的坐标
【解析】


【解答】
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)由图可得，A1(5, 3)，B1(1, 2)，C1(3, 1).
【答案】
A,90
(2)等腰直角三角形；
证明：由题意得： △ADE≅△ABF，
∴ AE=AF, ∠DAE=∠BAF，
∴ ∠EAF=∠DAB=90∘，
∴ △AEF为等腰直角三角形.
(3)∵ 把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴ 四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积为25，
∴ AD=DC=5，
∵ DE=2，
∴ AE=AD2+DE2=29．
【考点】
旋转对称图形
旋转的性质
勾股定理
等腰直角三角形
全等三角形的性质
【解析】
该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题．
【解答】
解：(1)由题意得：旋转中心是点A，旋转角度是90度.
故答案为：A；90．
(2)等腰直角三角形；
证明：由题意得： △ADE≅△ABF，
∴ AE=AF, ∠DAE=∠BAF，
∴ ∠EAF=∠DAB=90∘，
∴ △AEF为等腰直角三角形.
(3)∵ 把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴ 四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积为25，
∴ AD=DC=5，
∵ DE=2，
∴ AE=AD2+DE2=29．
【答案】
解：(1)∵ 点A(2, 3m)，
∴ 关于原点的对称点坐标为(−2, −3m).
∵ 在第三象限，
∴ −3m<0，
∴ m>0.
(2)由题意得：①0.5m+2=12(3m−1)，
解得：m=52；
②0.5m+2=−12(3m−1)，
解得：m=−34．
【考点】
关于原点对称的点的坐标
象限中点的坐标
【解析】
（1）首先根据关于原点对称点的坐标可得关于原点的对称点坐标为(−2, −3m)，再根据第三象限内点的坐标符号可得−3m<0，再解即可；
（2）根据题意可得纵坐标的绝对值=12×横坐标的绝对值，然后计算即可．
【解答】
解：(1)∵ 点A(2, 3m)，
∴ 关于原点的对称点坐标为(−2, −3m).
∵ 在第三象限，
∴ −3m<0，
∴ m>0.
(2)由题意得：①0.5m+2=12(3m−1)，
解得：m=52；
②0.5m+2=−12(3m−1)，
解得：m=−34．
【答案】
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵ OA=OB=2，
∴ ∠ABO=∠BAO=45∘.
∵ ∠ABC=90∘，∴ ∠CBE=45∘.
∵ BC=AD=42，
∴ CE=BE=4，
∴ OE=OB+BE=6，
∴ C−4，6.
∵ 矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90∘，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为6，4；
第2次旋转结束时，点C的坐标为4，−6；
第3次旋转结束时，点C的坐标为−6，−4；
第4次旋转结束时，点C的坐标为−4，6；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴ 2020÷4=505，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为−4，6．
【考点】
规律型：图形的变化类
旋转的性质
坐标与图形性质
【解析】
过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点C的坐标．
【解答】
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵ OA=OB=2，
∴ ∠ABO=∠BAO=45∘.
∵ ∠ABC=90∘，∴ ∠CBE=45∘.
∵ BC=AD=42，
∴ CE=BE=4，
∴ OE=OB+BE=6，
∴ C−4，6.
∵ 矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90∘，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为6，4；
第2次旋转结束时，点C的坐标为4，−6；
第3次旋转结束时，点C的坐标为−6，−4；
第4次旋转结束时，点C的坐标为−4，6；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴ 2020÷4=505，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为−4，6．
【答案】
解：连接PQ，如图，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘，AB=AC，
∵ 线段AP绕点A顺时针旋转60∘得到线段AQ，
∴ AP=AQ=6，∠PAQ=60∘，
∴ △APQ为等边三角形，
∴ PQ=AP=6.
∵ ∠CAP+∠BAP=60∘，∠BAP+∠BAQ=60∘，
∴ ∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ,
∴ △APC≅△AQB(SAS)，
∴ PC=QB=10.
在△BPQ中，∵ PB2=82=64，PQ2=62=36，BQ2=102=100，
而64+36=100，
∴ PB2+PQ2=BQ2，
∴ △PBQ为直角三角形，∠BPQ=90∘，
∴ S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ
=12×6×8+34×62
=24+93．
【考点】
旋转的性质
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60∘，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60∘，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，接着证明△APC≅△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ进行计算．
【解答】
解：连接PQ，如图，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘，AB=AC，
∵ 线段AP绕点A顺时针旋转60∘得到线段AQ，
∴ AP=AQ=6，∠PAQ=60∘，
∴ △APQ为等边三角形，
∴ PQ=AP=6.
∵ ∠CAP+∠BAP=60∘，∠BAP+∠BAQ=60∘，
∴ ∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ,
∴ △APC≅△AQB(SAS)，
∴ PC=QB=10.
在△BPQ中，∵ PB2=82=64，PQ2=62=36，BQ2=102=100，
而64+36=100，
∴ PB2+PQ2=BQ2，
∴ △PBQ为直角三角形，∠BPQ=90∘，
∴ S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ
=12×6×8+34×62
=24+93．
【答案】
(1)证明：如图，作DK // AC交AB于K，
则△BDK是等边三角形，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠EKD=∠EAC=120∘，∠B=∠BKD=60∘，
∴ DK=BD，
∵ ED=EC，
∴ ∠EDC=∠ECD，
∴ ∠B+∠KED=∠EDC，
∵ ∠ECA+∠ACB=∠ECD，
∴ ∠B+∠KED=∠ECA+∠ACB，
∵ ∠B=∠ACB=60∘，
∴ ∠KED=∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
∠EKD=∠EAC，∠KED=∠ECA，ED=EC，
∴ △DKE≅△EAC(AAS)，
∴ AE=DK，
∴ BD=AE．
(2)解：BE−AE=AB；BE−BD=AB；
AF−AE=AB；AF−BD=AB．
理由：由旋转可得，△BCE≅△ACF，
∴ BE=AF，
又∵ BD=AE，AB=BE−AE，
∴ BE−AE=AB；BE−BD=AB；
AF−AE=AB；AF−BD=AB．
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）作DK // AC交AB于K，根据平行线的性质可得出△BDK是等边三角形，∠EKD＝∠EAC，故DK＝BD，再根据ED＝EC可知∠EDC＝∠ECD，由三角形外角的性质可知∠B+∠KED＝∠EDC，因为∠ECA+∠ACB＝∠ECD，故可得出∠B+∠KED＝∠ECA+∠ACB，再由∠B＝∠ACB＝60∘可知∠KED＝∠ECA，故可得出△DKE≅△EAC，故AE＝DK，进而可得出结论．
（2）由旋转可得，△BCE≅△ACF，进而得到BE＝AF，再根据BD＝AE，AB＝BE−AE，即可得出BE−AE＝AB；BE−BD＝AB；AF−AE＝AB；AF−BD＝AB．
【解答】
(1)证明：如图，作DK // AC交AB于K，
则△BDK是等边三角形，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠EKD=∠EAC=120∘，∠B=∠BKD=60∘，
∴ DK=BD，
∵ ED=EC，
∴ ∠EDC=∠ECD，
∴ ∠B+∠KED=∠EDC，
∵ ∠ECA+∠ACB=∠ECD，
∴ ∠B+∠KED=∠ECA+∠ACB，
∵ ∠B=∠ACB=60∘，
∴ ∠KED=∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
∠EKD=∠EAC，∠KED=∠ECA，ED=EC，
∴ △DKE≅△EAC(AAS)，
∴ AE=DK，
∴ BD=AE．
(2)解：BE−AE=AB；BE−BD=AB；
AF−AE=AB；AF−BD=AB．
理由：由旋转可得，△BCE≅△ACF，
∴ BE=AF，
又∵ BD=AE，AB=BE−AE，
∴ BE−AE=AB；BE−BD=AB；
AF−AE=AB；AF−BD=AB．
【答案】
PM=PN,PM⊥PN
(2)△PMN为等腰直角三角形. 理由如下：
由旋转知，∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE；
同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形.
∵PM//CE，∴∠DPM=∠DCE.
∵PN//BD，∴∠PNC=∠DBC.
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN
=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC
=∠ACB+∠ABC.
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠ABC=90∘，
∴∠MPN=90∘，
∴△PMN是等腰直角三角形.
(3)如图，同(2)的方法，得△PMN是等腰三角形，
∴ 当MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE//BC且DE在顶点A的上方，
∴MN最大值=AM+AN.
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90∘，
∴AM=22.
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=52，
∴MN最大值=22+52=72，
∴ S△PMN最大值 =12PM2=12×12MN最大值2=492．
【考点】
全等三角形的性质与判定
几何变换综合题
三角形中位线定理
【解析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM // CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≅△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．
【解答】
解：(1)∵ 点P，N是CD，BC的中点，
∴ PN // BD，PN=12BD.
∵ 点P，M是CD，DE的中点，
∴ PM // CE，PM=12CE.
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ BD=CE，
∴ PM=PN；
∵ PN // BD，
∴ ∠DPN=∠ADC.
∵ PM // CE，
∴ ∠DPM=∠DCA.
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠ADC+∠ACD=90∘，
∴ ∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90∘，
∴ PM⊥PN.
故答案为：PM=PN；PM⊥PN.
(2)△PMN为等腰直角三角形. 理由如下：
由旋转知，∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE；
同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形.
∵PM//CE，∴∠DPM=∠DCE.
∵PN//BD，∴∠PNC=∠DBC.
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN
=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC
=∠ACB+∠ABC.
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠ABC=90∘，
∴∠MPN=90∘，
∴△PMN是等腰直角三角形.
(3)如图，同(2)的方法，得△PMN是等腰三角形，
∴ 当MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE//BC且DE在顶点A的上方，
∴MN最大值=AM+AN.
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90∘，
∴AM=22.
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=52，
∴MN最大值=22+52=72，
∴ S△PMN最大值 =12PM2=12×12MN最大值2=492．
【答案】
解：1①当m=0时，则P(0,0),
∴ y=x−1关于原点对称的函数为y=x+1；
②∵ y=−ax2−ax+1=−a(x+12)2+1+14a，
∴ y=−ax2−ax+1关于点P(0， 0)的相关函数为
y=a(x−12)2−1−14a，
∵ 点(12, − 98)在函数y=a(x−12)2−1−14a的图象上，
∴ −98=a(12−12)2−1−14a，
解得：a=12.
−1
3∵ y=x2−mx−12m2=(x−12m)2−34m2，
∴ y=x2−mx−12m2关于点P(m， 0)的相关函数为y=−(x−32m)2+34m2，
①当32m≤m−1，即m≤−2时，y有最大值是6，
∴ −(m−1−32m)2+34m2=6，
∴ m1=1−15，m2=1+15（不符合题意，舍去）；
②当m−1<32m≤m+2时，即−2当x=32m时，y有最大值是6，
∴ 34m2=6，
∴ m1=22，m2=−22（不符合题意，舍去）；
③当32m>m+2，即m>4时，
当x=m+2时，y有最大值是6，
∴ −(m+2−32m)2+34m2=6,
∴ m=−2±26（不符合题意，舍去），
综上，m的值为1−15或22．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
1①由相关函数的定义，将y=x−1旋转变换可得相关函数为y=x+1；
②将(12, − 98)代入y = a(x − 12)2 − 1 − 14a可得a的值；
2两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
3在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【解答】
解：1①当m=0时，则P(0,0),
∴ y=x−1关于原点对称的函数为y=x+1；
②∵ y=−ax2−ax+1=−a(x+12)2+1+14a，
∴ y=−ax2−ax+1关于点P(0， 0)的相关函数为
y=a(x−12)2−1−14a，
∵ 点(12, − 98)在函数y=a(x−12)2−1−14a的图象上，
∴ −98=a(12−12)2−1−14a，
解得：a=12.
2∵ 函数y=(x−1)2+2的顶点为(1， 2)，
函数y=−(x+3)2−2的顶点为(−3， −2)，
这两点关于点P中心对称，
∴ 1+(−3)2=m，
∴ m=−1，
故答案为：−1.
3∵ y=x2−mx−12m2=(x−12m)2−34m2，
∴ y=x2−mx−12m2关于点P(m， 0)的相关函数为y=−(x−32m)2+34m2，
①当32m≤m−1，即m≤−2时，y有最大值是6，
∴ −(m−1−32m)2+34m2=6，
∴ m1=1−15，m2=1+15（不符合题意，舍去）；
②当m−1<32m≤m+2时，即−2当x=32m时，y有最大值是6，
∴ 34m2=6，
∴ m1=22，m2=−22（不符合题意，舍去）；
③当32m>m+2，即m>4时，
当x=m+2时，y有最大值是6，
∴ −(m+2−32m)2+34m2=6,
∴ m=−2±26（不符合题意，舍去），
综上，m的值为1−15或22．