2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −2的绝对值是( )
A.2B.12C.−12D.−2

2. 如图是一个七等分圆盘，随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等．由于各个小扇形大小一样，因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为P1，P2，P3，则下列正确的是( )

A.P1=P2=P3B.P1>P2>P3C.P1=P2>P3D.P1>P2=P3

3. 在反比例函数y=1−2mx的图象上有两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，当x1<0A.m<0B.m>0C.m<12D.m>12

4. 已知▱ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是( )
A.当OA=OB时，▱ABCD为矩形
B.当AB=AD时，▱ABCD为正方形
C.当∠ABC=90∘时，▱ABCD为菱形
D.当AC⊥BD时，▱ABCD为正方形

5. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴相切于点Q，与y轴交于M(0, 2)，N(0, 8)两点，则点P的坐标是( )

A. 3,5B.4,5C.5,3D.5,4

6. 物理学这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数，可以表示成P=FS．一个圆台形物体的上底面积是下底面积的23，如图所示，如果正放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是( )Pa.

A.300B.4003C.400D.3400

7. 某服装厂在抗击新冠肺炎疫情期间转产口罩加工，共接到口罩生产订单6000000万只，预计每天做250000只，正好按时完成．后因客户要求提前8天交货，厂家则需要提高工作效率，设厂家每天应多做x万只，依题意列方程正确的是( )
A.6000000x+25−6000000025=8
B.600000025−6000000x+25=8
C.600000025−6000000x−25=8
D.600000025+8=6000000x

8. 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90∘，∠A=55∘ ，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且CE=CD，连接OE.过点E作EF⊥OE, 交AC的延长线于点F，则∠F的度数为( )

A.125∘B.145∘C.105∘D.110∘

9. 在一列数8，15，24，35，……中，请你观察并探究其内在规律，则第9个数应是( )
A.154B.120C.99D.130

10. 如图，两个反比例函数y=k1x和y=k2x（其中k1>k2>0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为( )

A.k1+k2B.k1−k2C.k1⋅k2D.y=k1x
二、填空题

因式分解： a3b−ab=_________.

二次函数y=−x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=________．


如图，直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90∘至DE，连接AE，CE，△ADE的面积为3，则BC的长为________．


新定义运算a⊕b=ab−b2，若a=2x+1，b=x−1，a⊕b=0，则x的值为________.

如图，AB为量角器(半圆O)的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60∘的点E处（即弧AE的度数为60∘）第三边交量角器边缘于点F处，若AB=12cm，则阴影部分的面积为________cm2.


如图，在菱形ABCD中， AB=10，∠ABC=60∘，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点，则线段AM+12BM的最小值是________．

三、解答题

计算： 2020−π0−14−1+|−38|.

先化简，再求值： 1−1a+2÷a2−1a+2，其中a=3+1.

如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A，C两点，并交y轴于点D(0, −2)，若S△AOD=4．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1>y2时，x的取值范围．

只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20=3+17．
(1)若从7，11，19，23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是19的概率是________；

(2)从7，11，19，23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到两个素数之和小于30的概率．

关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程两实根x1，x2，满足x1+x2=3−x1⋅x2，求k的值．

如图， ⊙O是Rt△ABC的外接圆， ∠ABC=90∘ ，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

(1)求证： ∠BCA=∠BAD.

(2)求证：BE是⊙O的切线．

农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

(2)若日销售利润为W，则当x取何值时W最大？最大值是多少？

如图①，在等腰Rt△ABC中， ∠BAC=90∘ ，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90∘ ，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系：________.

(2)①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB=45，CE=4，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

如图1，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A−2,0和点B4,0．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D2,4在该抛物线上，求四边形ACFD的面积；

(3)在(2)的条件下，若点P是线段AB上的动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ．是否存在点Q，使△ADQ是直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
绝对值
【解析】
根据绝对值的性质计算，a是正有理数时，a的绝对值是它本身a．
【解答】
解：|−2|=2，
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
概率公式
【解析】
由图可得，红色区域的面积最大，绿色区域和黄色区域的面积相等，进而得到概率之间的关系.
【解答】
解：由图可得，红色区域的面积最大，绿色区域和黄色区域的面积相等，
∴ 飞镖落在红区域上的概率最大，黄、绿区域上的概率相等，
∴ P1>P2=P3.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
解一元一次不等式
反比例函数的性质
【解析】
考查反比例函数图象的特点，当k>0时，图象在一三象限，k<0时，图象在二四象限解答．
【解答】
解：当x1<0此时k>0，所以1−2m>0，解不等式得m<12．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
菱形的判定
矩形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，当OA=OB时，可得到▱ABCD为矩形，故此选项正确；
B，当AB=AD时，▱ABCD为菱形，故此选项错误；
C，当∠ABC=90∘时，▱ABCD为矩形，故此选项错误；
D，当AC⊥BD时，▱ABCD为菱形，故此选项错误．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
坐标与图形性质
切割线定理
垂径定理
【解析】
根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2=OM⋅ON求OQ可得横坐标．
【解答】
解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵ ⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M(0, 2)，N(0, 8)两点，
∴ OM=2，NO=8，
∴ NM=6.
∵ PD⊥NM，
∴ DM=3，
∴ OD=5.
根据切割线定理得：
OQ2=OM⋅ON=2×8=16，
∴ OQ=4．
∴ PD=4，PQ=OD=3+2=5．
即点P的坐标是(4, 5)．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
反比例函数的应用
【解析】
利用已知反比例函数解析式，将已知代入求出答案．
【解答】
解：∵ P=FS，一个圆台形物体的上底面积是下底面积的23，正放在桌面上，对桌面的压强是200Pa，
∴ P=FS=200，故F=200S，
则翻过来放，对桌面的压强是：P=200S23S=300(Pa)．
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
根据关键描述语“提前8天交货”得到等量关系为：原来所用的时间-实际所用的时间=8.
【解答】
解：设工人每天应多做x万只，
则原来所用的时间为600000025天，
实际所用的时间为600000025+x天，
所列方程为600000025−600000025+x=8.
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
多边形内角与外角
【解析】
直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．
【解答】
解：连接BE，
∵ ∠ACB=90∘，∠A=55∘，
∴ ∠ABC=35∘，
∵ CE=CD，
∴∠ABC=∠CBE=35∘，
∴ ∠COE=2∠CBE=70∘，
∵ EF⊥OE，
∴ ∠OEF=90∘，
∵ ∠OCF=∠OEF=90∘，
∴ ∠F=360∘−90∘−90∘−70∘=110∘.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
分析每个数，找出它们变化的规律，即可解答.
【解答】
解：8=32−1=1+22−1；
15=42−1=2+22−1；
24=52−1=3+22−1；
35=62−1=4+22−1；
第九个数：9+22−1=120；
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
根据反比例函数y=kx中k的几何意义可知．
【解答】
解：∵ S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DOB=12k2，
∴ 四边形PAOB的面积=S矩形OCPD−2S△AOC=k1−k2．
故选B.
二、填空题
【答案】
ab(a+1)(a−1)
【考点】
因式分解-运用公式法
因式分解-提公因式法
【解析】
本题目考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法并能熟练运用，先提取公因式再根据平方差公式分解即可.
【解答】
解：a3b−ab=ab(a2−1)=ab(a+1)(a−1).
故答案为：ab(a+1)(a−1).
【答案】
−1
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解析】
求出(3, 0)关于x=1的对称点，对称点的横坐标就是方程的解．
【解答】
解：(3, 0)关于直线x=1的对称点是(−1, 0)，
则方程的另一个解是x2=−1．
故答案为：−1．
【答案】
5
【考点】
等腰直角三角形
直角三角形全等的判定
三角形的面积
【解析】
过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≅△EDG，从而有CF＝EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF＝AD，根据BC＝BF+CF求解．
【解答】
解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，
由旋转的性质可知CD=ED，
∵ ∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90∘，
∴ ∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90∘，
∴ △CDF≅△EDG，∴ CF=EG，
∵ S△ADE=12AD×EG=3，AD=2，
∴ EG=3，则CF=EG=3，
依题意得四边形ABFD为矩形，
∴ BF=AD=2，
∴ BC=BF+CF=2+3=5．
故答案为：5．
【答案】
−2或1
【考点】
定义新符号
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
根据新定义列出方程，再整理成一般式，继而利用因式分解法求解可得．
【解答】
解：根据题意，得(2x+1)(x−1)−(x−1)2=0，
整理得x+2x−1=0，
则x+2=0或x−1=0，
解得x=−2或x=1.
故答案为：−2或1．
【答案】
6π−93
【考点】
扇形面积的计算
求阴影部分的面积
解直角三角形
【解析】
连接OE，OF，证明∠ABC=60∘，根据阴影部分的面积等于扇形OBF的面积-三角形OBF的面积计算．
【解答】
解：连接OE，OF，
∵ CD切半圆O于点E，
∴ OE⊥CD，
∵ BD为等腰直角△BCD的斜边，
∴ BC⊥CD，∠CDB=∠CBD=45∘，
∴ OE//BC，
∴ ∠ABC=∠AOE=60∘，
∴ △OBF是等边三角形，
∴ OF=OB=6cm，
∴ S扇形OBF=60⋅π×62360=6π，
S△OBF=12×6×33=93，
∴S阴影=S扇形OBF−S△OBF=6π−93(cm2).
故答案为：6π−93.
【答案】
53
【考点】
菱形的性质
直角三角形的性质
【解析】
由菱形的性质可得∠DBC=12∠ABC=30∘，可得MF=12BM，可得AM+12BM=AM+MF，由垂线段最短，可求解．
【解答】
解：如图，过点M作MF⊥BC于F，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴∠DBC=12∠ABC=30∘，且MF⊥BC，
∴ MF=12BM，
∴ AM+12BM=AM+MF,
∴ 当点A，点M，点F三点共线且垂直BC时，AM+MF有最小值，
∴ AM+12BM最小值为AE，
∵ AB=10，∠AEB=90∘，∠ABC=60∘
∴ AE=AB⋅sin60∘=10×32=53.
故答案为：53.
三、解答题
【答案】
解：原式=1−4+2
=3−4
=−1．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
立方根的应用
【解析】
无
【解答】
解：原式=1−4+2
=3−4
=−1．
【答案】
解：原式=a+2−1a+2⋅a+2a+1a−1
=1a−1.
当a=3+1时
原式=13+1−1=33．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
无
【解答】
解：原式=a+2−1a+2⋅a+2a+1a−1
=1a−1.
当a=3+1时
原式=13+1−1=33．
【答案】
解：(1)作AE⊥y轴于E，
∵ S△AOD=4，OD=2，
∴ 12OD⋅AE=4，
∴ AE=4．
∵ AB⊥OB，C为OB的中点，
∴ ∠DOC=∠ABC=90∘，OC=BC，∠OCD=∠BCA，
∴ Rt△DOC≅Rt△ABC，
∴ AB=OD=2，
∴ A(4, 2)．
将A(4, 2)代入y1=kx中，得k=8，
∴ 反比例函数的解析式为y1=8x．
将A(4, 2)和D(0, −2)代入y2=ax+b，
得4a+b=2，b=−2， 解得a=1，b=−2．
∴ 一次函数的解析式为y2=x−2．
(2)在y轴的右侧，当y1>y2时，0【考点】
三角形的面积
全等三角形的性质与判定
待定系数法求反比例函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）需求A点坐标，由S△AOD=4，点D(0, −2)，可求A的横坐标；由C是OB的中点，可得OD=AB求出A点纵坐标，从而求出反比例函数解析式；根据A、D两点坐标求一次函数解析式；
（2）观察图象知，在交点A的左边，y1>y2．
【解答】
解：(1)作AE⊥y轴于E，
∵ S△AOD=4，OD=2，
∴ 12OD⋅AE=4，
∴ AE=4．
∵ AB⊥OB，C为OB的中点，
∴ ∠DOC=∠ABC=90∘，OC=BC，∠OCD=∠BCA，
∴ Rt△DOC≅Rt△ABC，
∴ AB=OD=2，
∴ A(4, 2)．
将A(4, 2)代入y1=kx中，得k=8，
∴ 反比例函数的解析式为y1=8x．
将A(4, 2)和D(0, −2)代入y2=ax+b，
得4a+b=2，b=−2， 解得a=1，b=−2．
∴ 一次函数的解析式为y2=x−2．
(2)在y轴的右侧，当y1>y2时，0【答案】
14
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和小于30的概率P=412=13.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】
解：(1)从7，11，19，23这4个素数中随机抽取一个，
则抽到的数是19的概率是14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和小于30的概率P=412=13.
【答案】
解：1∵ 方程有两个不等实数根，
∴ Δ=2k+12−4k2+1=4k−3>0，
∴ k>34.
2由韦达定理得：
x1+x2=−2k+1，x1⋅x2=k2+1，
∵ x1+x2=3−x1⋅x2，
∴ −2k+1=3−k2+1，
解得k1=3，k2=−1，
又由1得k>34，
∴ k=3.
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】
1直接由根的判别式，得出答案即可；
2首先得出韦达定理，再利用等式构造方程，求出k，注意根成立的条件.
【解答】
解：1∵ 方程有两个不等实数根，
∴ Δ=2k+12−4k2+1=4k−3>0，
∴ k>34.
2由韦达定理得：
x1+x2=−2k+1，x1⋅x2=k2+1，
∵ x1+x2=3−x1⋅x2，
∴ −2k+1=3−k2+1，
解得k1=3，k2=−1，
又由1得k>34，
∴ k=3.
【答案】
证明：(1)∵BD=BA,
∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD.
(2)连接OB，如图，
∵∠BCA=∠BDA，∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE.
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO.
∴ OB//ED，
∵ BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
切线的判定
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB//DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可.
【解答】
证明：(1)∵BD=BA,
∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD.
(2)连接OB，如图，
∵∠BCA=∠BDA，∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE.
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO.
∴ OB//ED，
∵ BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
【答案】
解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则30k+b=600，40k+b=300，
解得：k=−30，b=1500，
∴ p=−30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，均符合一次函数解析式，
∴ 所求的函数关系为p=−30x+1500．
(2)设日销售利润W=p(x−30)=(−30x+1500)(x−30)，
即W=−30x2+2400x−45000=−30(x−40)2+3000，
∴ 当x=40时，W有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大，最大为3000元．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
【解析】
（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【解答】
解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则30k+b=600，40k+b=300，
解得：k=−30，b=1500，
∴ p=−30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，均符合一次函数解析式，
∴ 所求的函数关系为p=−30x+1500．
(2)设日销售利润W=p(x−30)=(−30x+1500)(x−30)，
即W=−30x2+2400x−45000=−30(x−40)2+3000，
∴ 当x=40时，W有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大，最大为3000元．
【答案】
AF=2AE
(2)①如图②中，结论：AF=2AE，
理由：连接EF，
∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB//DF，
∴ ∠DKE=∠ABC=45∘,
∴ ∠EKF=180∘−∠DKE=135∘，EK=ED，
∴ ∠ADE=180∘−∠EDC=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∴ DF=AB=AC，
∴ KF=AD，
在△EKF和△EDA中，EK=ED,∠EKF=∠ADE,KF=AD,
∴ △EKF≅△EDA，
∴ EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴ ∠FEA=∠BED=90∘，
∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE；
②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
易知EH=DH=CH=22 ，
AH=452−222=62，
AE=AH+EH=82；
如图，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
易知AE=AH−EH=62−22=42，
综上所述，满足条件的AE的长为82或42.
【考点】
等腰三角形的判定与性质
平行四边形的性质
旋转的性质
菱形的判定与性质
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定
【解析】
(1)如图①中，结论:AF=2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可；
(2)①如图②中，结论：AF=2AE,连接EF，设DF交BC于K,先证明△EKF≅△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情况，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，分别求解即可.
【解答】
解：(1)AF=2AE.
理由：如图①，∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB=DF，
∵ AB=AC，∴ AC=DF，
∵ DE=EC，∴ AE=EF，
∵ ∠DEC=∠AEF=90∘，∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE.
故答案为： AF=2AE.
(2)①如图②中，结论：AF=2AE，
理由：连接EF，
∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB//DF，
∴ ∠DKE=∠ABC=45∘,
∴ ∠EKF=180∘−∠DKE=135∘，EK=ED，
∴ ∠ADE=180∘−∠EDC=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∴ DF=AB=AC，
∴ KF=AD，
在△EKF和△EDA中，EK=ED,∠EKF=∠ADE,KF=AD,
∴ △EKF≅△EDA，
∴ EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴ ∠FEA=∠BED=90∘，
∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE；
②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
易知EH=DH=CH=22 ，
AH=452−222=62，
AE=AH+EH=82；
如图，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
易知AE=AH−EH=62−22=42，
综上所述，满足条件的AE的长为82或42.
【答案】
解：(1)将A(−2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
得4a−2b+4=0，16a+4b+4=0， 解得a=−12，b=1，
故抛物线解析式为y=−12x2+x+4.
(2)∵ y=−12x2+x+4=−12(x−1)2+92，
∴ F(1, 92).
∵ C(0, 4)，D(2, 4)，
∴ CD=2，且CD // x轴.
∵ A(−2, 0)，
∴ S四边形ACFD=12×2×92=92．
(3)当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90∘，∠AQD=90∘和∠DAQ=90∘三种情况.
①当∠ADQ=90∘时，则DQ⊥AD，
∵ A(−2, 0)，D(2, 4)，
∴ 直线AD解析式为y=x+2，
∴ 可设直线DQ解析式为y=−x+b′，
把D(2, 4)代入可求得b′=6，
∴ 直线DQ解析式为y=−x+6，
联立直线DQ和抛物线解析式可得y=−x+6，y=−12x2+x+4，
解得x=2，y=4，
∴ Q(2, 4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
②当∠AQD=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A，Q坐标代入可得−2k1+b1=0，tk1+b1=−12t2+t+4，
解得k1=−t−42.
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=−12t.
∵ AQ⊥DQ，
∴ k1k2=−1，即t−42⋅t2=−1，
解得t=2，则Q(2,4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
③当∠DAQ=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k3x+b3，
把A，Q坐标代入可得−2k3+b3=0，tk3+b3=−12t2+t+4，
解得k3=−t−42.
∵ 直线AD的解析式为y=x+2，且AD⊥AQ，
∴ −t−42=−1，解得t=6，此时Q(6,−8)，符合题意.
综上，满足条件的Q的坐标为(6,−8).
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
三角形的面积
二次函数综合题
待定系数法求一次函数解析式
【解析】
.
.
.
【解答】
解：(1)将A(−2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
得4a−2b+4=0，16a+4b+4=0， 解得a=−12，b=1，
故抛物线解析式为y=−12x2+x+4.
(2)∵ y=−12x2+x+4=−12(x−1)2+92，
∴ F(1, 92).
∵ C(0, 4)，D(2, 4)，
∴ CD=2，且CD // x轴.
∵ A(−2, 0)，
∴ S四边形ACFD=12×2×92=92．
(3)当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90∘，∠AQD=90∘和∠DAQ=90∘三种情况.
①当∠ADQ=90∘时，则DQ⊥AD，
∵ A(−2, 0)，D(2, 4)，
∴ 直线AD解析式为y=x+2，
∴ 可设直线DQ解析式为y=−x+b′，
把D(2, 4)代入可求得b′=6，
∴ 直线DQ解析式为y=−x+6，
联立直线DQ和抛物线解析式可得y=−x+6，y=−12x2+x+4，
解得x=2，y=4，
∴ Q(2, 4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
②当∠AQD=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A，Q坐标代入可得−2k1+b1=0，tk1+b1=−12t2+t+4，
解得k1=−t−42.
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=−12t.
∵ AQ⊥DQ，
∴ k1k2=−1，即t−42⋅t2=−1，
解得t=2，则Q(2,4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
③当∠DAQ=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k3x+b3，
把A，Q坐标代入可得−2k3+b3=0，tk3+b3=−12t2+t+4，
解得k3=−t−42.
∵ 直线AD的解析式为y=x+2，且AD⊥AQ，
∴ −t−42=−1，解得t=6，此时Q(6,−8)，符合题意.
综上，满足条件的Q的坐标为(6,−8).销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0