2020-2021学年初三（上）9月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年初三（上）9月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+3x=0B.y2−2x+1=0
C.x2−5x=2D.x2−2=(x+1)2

2. 方程(x+1)(x−2)=x+1的解是( )
A.2B.3C.−1，2D.−1，3

3. 圆的面积S与其半径r的函数关系用图象表示大致是( )
A.B.C.D.

4. 已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.1B.−1C.1或−1D.12

5. 已知一元二次方程x2−6x+c=0有一个根为2，则另一个根为( )
A.2B.3C.4D.−8

6. 已知关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，下列说法正确的是( )
A.当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=−1时，方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

7. 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)（ ）
A.y=18x2B.y=x2−1C.y=1x2D.y=a2x2

8. 已知点(x1, y1)，(x2, y2)是函数y=(m−3)x2的图象上的两点，且当0y2，则m的取值范围是( )
A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<3

9. 若x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，且x12+x22=7，则b的值为( )
A.1B.−7C.1或−7D.7或−1

10. 关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足( )
A.a≥1B.a>1且 a≠5C.a≥1且 a≠5D.a≠5

11. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是( )
A.x(x+1)=182B.x(x−1)=182
C.x(x+1)=182×2D.x(x−1)=182×2

12. 已知二次函数y=2(x−3)2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=−3；③其图象顶点坐标为(3, −1)；④当x<3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

已知函数y=mxm2+3m+2 是关于x的二次函数，则m的值为________.

已知关于x的一元二次方程(1−2k)x2−2kx−1=0有实数根，则k的取值范围为________．

已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2−6a−4b+13=0，则c为________.

已知点A(4, y1)，B(2, y2)，C(−2, y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．
三、解答题

解方程：
(1)3x2+x−5=0；

(2)4x+22−9x−32=0；

(3)x2+2x−399=0．（配方法）

求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0总有实数根．

一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；

(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程12x2+bx+c−12a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．
(1)试判断△ABC的形状；

(2)若a，b为方程x2+mx−3m=0的两个根，求m的值．

已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
(1) 若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2) 试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．

如图，已知抛物线的顶点为A1,4．抛物线与y轴交于点B0,3，与x轴交于C，D两点.点P是x轴上的一个动点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求C，D两点坐标及△BCD的面积；

(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD ，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省利川市某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】
解：A，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义，故此选项错误；
B，含有两个未知数，故此选项错误；
C，符合一元二次方程的定义，故此选项正确；
D，方程二次项系数整理后为0，故此选项错误.
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：方程(x+1)(x−2)=x+1可化为
(x+1)(x−3)=0，
∴ x+1=0或x−3=0,
∴ x=−1或x=3.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
根据圆的面积公式即可找出圆的面积S与其半径r的函数关系式，结合二次函数的图象即可得出结论．
【解答】
解：∵ 圆的面积S与其半径r的函数关系式为S=πr2(r≥0)，
∴ 其函数图象与选项C相符．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
一元二次方程的定义
【解析】
先根据一元二次方程x2+x−1+m2=0有一个根为0，把x=0代入原方程，得出−1+m2=0，再解方程即可．
【解答】
解：∵ 一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0有一个根为0，
∴ a2−1=0，且a−1≠0，
∴ a=−1．
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】
解：设方程的另一个根为a，则a+2=6，
解得a=4．故另一个根为4.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
一元一次方程的解
【解析】
利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．
【解答】
解：关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，
A、当k=0时，x−1=0，则x=1，故此选项错误；
B、当k=1时，x2−1=0，x=±1，方程有两个实数解，故此选项错误；
C、当k=−1时，−x2+2x−1=0，则(x−1)2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；
D、Δ=(1−k)2−4k×(−1)=(k+1)2≥0，故此选项错误．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据二次函数的定义判定即可．
【解答】
解：A、y=18x2，是二次函数，正确；
B、y=x2−1，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、y=1x2，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
求出二次函数的对称轴，再比较A、B两点的位置，即可得出正确答案．
【解答】
解：∵ 函数y=(m−3)x2的对称轴是y轴，
当0y2，
∴ 二次函数图象开口向下，
∴ m−3<0，即m<3.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
完全平方公式
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．根据x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2代入数值列出方程解即可．
【解答】
解：x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，
得x1+x2=−b，x1x2=−3b．
又x12+x22=7，
则(x1+x2)2−2x1x2=b2+6b=7，
解得b=−7或1.
当b=−7时，Δ=49−84<0，方程无实数根，舍去；
则b=1．
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑，当a−5=0时，可求出x的值；当a−5≠0时，利用根的判别式△≥0即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】
解：①当a−5=0时，原方程为−4x−1=0，
解得：x=−14，符合题意；
②当a−5≠0，即a≠5时，有Δ=(−4)2+4(a−5)=4a−4≥0，
解得：a≥1，
∴ a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上所述，a的取值范围为a≥1．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
【解答】
解：设全组有x名同学，
则每名同学所赠的标本为：(x−1)件，
那么x名同学共赠：x(x−1)件，
所以，x(x−1)=182．
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
二次函数的性质
【解析】
结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
【解答】
解：①∵ 2>0，∴ 图象的开口向上，故①错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故②错误；
③其图象顶点坐标为(3, 1)，故③错误；
④当x<3时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上所述，说法正确的有④，共1个．
故选A．
二、填空题
【答案】
−3
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【解答】
解：∵ 函数y=mxm2+3m+2 是二次函数，
∴ m≠0,m2+3m+2=2,
解得m=−3．
故答案为：−3.
【答案】
0≤k≤1且k≠12
【考点】
根的判别式
【解析】
由一元二次方程有实数根，根据△的意义得到△≥0，解不等式即可
【解答】
解：∵ (1−2k)x2−2kx−1=0有实数根，
∴ Δ≥0，即4k+4×1×(1−2k)≥0，解得k≤1.
又1−2k≠0，k≥0，
∴ k的取值范围为0≤k≤1且k≠12．
故答案为：0≤k≤1且k≠12．
【答案】
2或3或4
【考点】
三角形三边关系
完全平方公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a2+b2−6a−4b+13=0，
∴ (a−3)2+(b−2)2=0，
∴ a−3=0，b−2=0，
解得a=3，b=2，
∵ 1∴ c=2或3或4.
故答案为：2或3或4．
【答案】
y3>y1>y2
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
分别计算出自变量为4，2和−2时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
【解答】
解：把A(4, y1)，B(2, y2)，C(−2, y3)分别代入y=(x−2)2−1得：
y1=(4−2)2−1=3，y2=(2−2)2−1=5−42，y3=(−2−2)2−1=15.
∵ 5−42<3<15，
∴ y3>y1>y2．
故答案为：y3>y1>y2．
三、解答题
【答案】
解：(1)3x2+x−5=0，
∵ a=3，b=1，c=−5，
∴ Δ=b2−4ac=1+60=61>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ x=−1±612×3，
即x1=−1+616，x2=−1−616.
(2)4x+22−9x−32=0，
[2(x+2)+3(x−3)][2(x+2)−3(x−3)]=0，
2x+4+3x−92x+4−3x+9=0，
5x−5−x+13=0，
解得x1=1，x2=13.
(3)x2+2x−399=0，
x2+2x+1−1−399=0，
x+12=400，
x+1=±20，
解得x1=19，x2=−21.
【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
直接利用公式法求解即可.
利用平方差公式将其因式分解求解即可.
将原方程进行配方，然后开方求解即可.
【解答】
解：(1)3x2+x−5=0，
∵ a=3，b=1，c=−5，
∴ Δ=b2−4ac=1+60=61>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ x=−1±612×3，
即x1=−1+616，x2=−1−616.
(2)4x+22−9x−32=0，
[2(x+2)+3(x−3)][2(x+2)−3(x−3)]=0，
2x+4+3x−92x+4−3x+9=0，
5x−5−x+13=0，
解得x1=1，x2=13.
(3)x2+2x−399=0，
x2+2x+1−1−399=0，
x+12=400，
x+1=±20，
解得x1=19，x2=−21.
【答案】
证明：Δ=b2−4ac=(4m+1)2−4(2m−1)=16m2+5，
∵m2≥0，
∴16m2≥0，16m2+5>0，
∴ 不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0总有实数根．
【考点】
根的判别式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：Δ=b2−4ac=(4m+1)2−4(2m−1)=16m2+5，
∵m2≥0，
∴16m2≥0，16m2+5>0，
∴ 不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0总有实数根．
【答案】
解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标P(4, 6)，
设抛物线的方程为y=a(x−4)2+6，
又因为点A(0, 2)在抛物线上，
所以2=a(0−4)2+6，
所以a=−14．
所以抛物线的表达式为：y=−14(x−4)2+6．
(2)令y=4，则有4=−14(x−4)2+6，
解得x1=4+22，x2=4−22，
|x1−x2|=42>2，
所以货车能从该隧道内通过．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y=4，解出x与2作比较．
【解答】
解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标P(4, 6)，
设抛物线的方程为y=a(x−4)2+6，
又因为点A(0, 2)在抛物线上，
所以2=a(0−4)2+6，
所以a=−14．
所以抛物线的表达式为：y=−14(x−4)2+6．
(2)令y=4，则有4=−14(x−4)2+6，
解得x1=4+22，x2=4−22，
|x1−x2|=42>2，
所以货车能从该隧道内通过．
【答案】
解：(1)∵ 12x2+bx+c−12a=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=(b)2−4×12(c−12a)=0，
整理得a+b−2c=0 ①.
又∵ 3cx+2b=2a的根为x=0，
∴ a=b②.
把②代入①得a=c，
∴ a=b=c，
∴ △ABC为等边三角形.
(2)∵ a，b是方程x2+mx−3m=0的两个根，
∴ 方程x2+mx−3m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=m2−4×(−3m)=0，
即m2+12m=0，
∴ m1=0，m2=−12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴ m=−12．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
（1）因为方程有两个相等的实数根即△＝0，由△＝0可以得到一个关于a，b的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可得到关于a，b的方程组，可求出a，b的关系式；
（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．
【解答】
解：(1)∵ 12x2+bx+c−12a=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=(b)2−4×12(c−12a)=0，
整理得a+b−2c=0 ①.
又∵ 3cx+2b=2a的根为x=0，
∴ a=b②.
把②代入①得a=c，
∴ a=b=c，
∴ △ABC为等边三角形.
(2)∵ a，b是方程x2+mx−3m=0的两个根，
∴ 方程x2+mx−3m=0有两个相等的实数根，
∴ Δ=m2−4×(−3m)=0，
即m2+12m=0，
∴ m1=0，m2=−12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴ m=−12．
【答案】
解：(1)Δ=b2−4ac=22−4×1×(2k−4)=20−8k．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 20−8k>0，
∴ k<52．
(2)∵ k为正整数，
∴ 0即k=1或2，x=−1±5−2k．
∵ 方程的根为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，
当k=1时，5−2k=3；
当k=2时，5−2k=1．
∴ k=2．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的解
【解析】
（1）根据方程x2+2x+2k−4＝0有两个不相等的实数根，得出△>0，列出不等式求出k的取值范围即可；
（2）先根据k的取值范围和方程根是整数，找到k的值即可．
【解答】
解：(1)Δ=b2−4ac=22−4×1×(2k−4)=20−8k．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 20−8k>0，
∴ k<52．
(2)∵ k为正整数，
∴ 0即k=1或2，x=−1±5−2k．
∵ 方程的根为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，
当k=1时，5−2k=3；
当k=2时，5−2k=1．
∴ k=2．
【答案】
解：(1) 设每件应降价x元，由题意可列方程为(40−x)⋅(30+2x)=1200，
解得x1=0，x2=25，
当x=0时，能卖出30件；
当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意．
因为要减少库存，所以应降价25元．
答：每件衬衫应降价25元.
(2) 设商场每天盈利为W元．
W=(40−x)(30+2x)
=−2x2+50x+1200
=−2(x2−25x)+1200
=−2(x−12.5)2+1512.5．
当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
【考点】
一元二次方程的应用——利润问题
【解析】
（1）本题的关键语“每件降价1元时，平均每天可多卖出2件”，设每件应降价x元，用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利1200元来列出方程；
（2）根据（1）中的方程，然后按一元二次方程的特点，来求出最大值．
【解答】
解：(1) 设每件应降价x元，由题意可列方程为(40−x)⋅(30+2x)=1200，
解得x1=0，x2=25，
当x=0时，能卖出30件；
当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意．
因为要减少库存，所以应降价25元．
答：每件衬衫应降价25元.
(2) 设商场每天盈利为W元．
W=(40−x)(30+2x)
=−2x2+50x+1200
=−2(x2−25x)+1200
=−2(x−12.5)2+1512.5．
当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
【答案】
解：(1)∵ AB=x，
∴ BC=24−4x，
∴ S=AB⋅BC=x(24−4x)=−4x2+24x(0(2)S=−4x2+24x=−4(x−3)2+36，
由题意知24−4x≤8,24−4x>0,
∴ 4≤x<6，
∴ 当x=4时，花圃的最大面积为32．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）根据AB为xm，BC就为(24−3x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．
（2）由（1）可知y和x为二次函数关系，根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可得出x的范围，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长．
【解答】
解：(1)∵ AB=x，
∴ BC=24−4x，
∴ S=AB⋅BC=x(24−4x)=−4x2+24x(0(2)S=−4x2+24x=−4(x−3)2+36，
由题意知24−4x≤8,24−4x>0,
∴ 4≤x<6，
∴ 当x=4时，花圃的最大面积为32．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线的顶点A(1,4)，
∴ 设抛物线的解析式y=a(x−1)2+4，
把点B(0,3)代入得a+4=3，
解得a=−1.
∴ 抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4.
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4.
令y=0，则0=−(x−1)2+4，
∴ x=−1或x=3，
∴ C(−1,0)，D(3,0)，
∴ CD=4，
∴ S△BCD=12CD×OB=12×4×3=6.
(3)①点P在x轴上方的抛物线上时，
∴ yP>0.
由(2)知，S△BCD=6，CD=4.
∵ S△PCD=12S△BCD ，
∴ yP×CD=12CD×OB，
∴ yP=32.
∵ P在抛物线上，
∴ 32=−(x−1)2+4，
∴ x=1±102，
∴ P1+102,32或P1−102,32．
【考点】
三角形的面积
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】



【解答】
解：(1)∵ 抛物线的顶点A(1,4)，
∴ 设抛物线的解析式y=a(x−1)2+4，
把点B(0,3)代入得a+4=3，
解得a=−1.
∴ 抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4.
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4.
令y=0，则0=−(x−1)2+4，
∴ x=−1或x=3，
∴ C(−1,0)，D(3,0)，
∴ CD=4，
∴ S△BCD=12CD×OB=12×4×3=6.
(3)①点P在x轴上方的抛物线上时，
∴ yP>0.
由(2)知，S△BCD=6，CD=4.
∵ S△PCD=12S△BCD ，
∴ yP×CD=12CD×OB，
∴ yP=32.
∵ P在抛物线上，
∴ 32=−(x−1)2+4，
∴ x=1±102，
∴ P1+102,32或P1−102,32．