2020年黑龙江省哈尔滨市十七中学九年级一模数学试题

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哈十七中学2020届初四学年校一模学情检测数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个实数中，比小的数是（　　）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确；
B．0＞﹣1，故本选项错误；
C．1＞﹣1，故本选项错误；
D．2＞﹣1，故本选项错误；
故选A．
考点：有理数大小比较．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则分别计算各选项，然后判断即可.
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. 和不能计算，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，计算正确，
故选D.
【点睛】本题考查了幂的相关运算，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题关键.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；以及中心对称图形的定义，在平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形中心对称图形，据此即可做出正确选择．
【详解】选项A，是轴对称图形但不是中心对称图形；
选项B，不是轴对称图形但是中心对称图形；
选项C，是轴对称图形但不是中心对称图形；
选项D，是轴对称图形也是中心对称图形；
故选：D．
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，中心对称图形的定义，解题的关键在于掌握：轴对称图形和中心对称图形的定义．
4. 已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
【详解】解：如图所示：tanA=，

则a=btan∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是 （ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义即可判断．
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是D．
故选：D．
【点睛】此题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解题的关键．
6. 把抛物线向左平移个单位后向上平移个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】由题意，得
y=-（x+1）2+4，
顶点坐标为（-1，4），
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，利用平移规律是解题关键，上加下减，左加右减．
7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

8. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解．则m的值是（　　）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，将x=-1代入方程，即可求得m的值，本题得以解决．
【详解】∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+m+1＝0，
解得，m＝1，
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键是明确题意，利用一元二次方程的解求出m的值．
9. 对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A. k＜3 B. k≤3 C. k＞3 D. k≥3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，解得k＞3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵DE∥BC，∴，故本选项正确；
B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故本选项错误；
D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．
二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）
11. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学记数法表示为_______________．
【答案】9.5×10-7
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.00000095米用科学记数法表示为9.5×10-7，
故答案为9.5×10-7．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
【详解】根据题意得：4-2x≠0，解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握：1、分母不等于0；2、二次根式被开方数是非负数；3、0的0次幂或负指数次幂无意义．
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：．
14. 不等式组的解集是______．
【答案】2＜x≤4
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，由①得，x≤4，由②得，x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤4．
故答案为2＜x≤4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 二次函数的图象的对称轴是直线______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-进行计算即可．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线x=- =4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .

【答案】（10，3）
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3).
17. 圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是_____cm2．
【答案】12π
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式S扇形=，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（平方厘米）
故答案为：12π．
【点睛】本题考查扇形的计算．

18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=________．

【答案】或
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC，分AC=AP和CA=CP两种情况，根据相似三角形的性质定理得到比例式，进行计算，根据正切的定义解答即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC==3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，则BP=AB-AP=2，

∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴，
∴，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP=；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，

∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC2=AE•AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴，
∴，
解得，BD=，PD=，
则CD=4-=，
tan∠BCP=，
故答案为或．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
19. 在一个不透明的口袋中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出两个球， 摸到的两个球都是红球的概率是_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中，2个为红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】树状图如图所示，

摸到的两个球都是红球的概率=，
故答案为.
【点睛】此题考查列表法或树状图法求概率．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC=_____________________．

【答案】100°
【解析】
【分析】
如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，进而得出结果．
【详解】解：延长BD交AC于E．

∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，
∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】此题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
三、解答题 （共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21. 先化简，再求值：（，其中a=2cos45°﹣1．
【答案】
【解析】
试题分析：先化简，再代入求值，代入前将三角函数值代入求出a的值．
试题解析：（，
=[，
=，
=，
当a=2cos45°-1=2×-1=-1时，
原式=．
【点睛】本题是分式的化简求值问题，考查了特殊的三角函数值和分式的混合运算及代入求值，要熟记30°、45°、60°的三角函数值；在分式的化简求值问题中，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段和的端点均在小正方形的顶点上．

画出以为一边且面积为的顶点必须在小正方形的顶点上；
画出一个以为一边的平行四边形满足：两点必须在小正方形的顶点上；
连接，请直接写出的长．
【答案】（1）图详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出答案；
（3）利用勾股定理求出CG的长．
【详解】
解：（1）如图所示：Rt△ABC即为所求；
∵AC、BC均为正方形的对角线
∴∠ACB=
∵每个小正方形的边长均为
∴
（2）连接DF




∵
∴
∴
（3）
【点睛】本题主要考查作图、应用与设计，勾股定理及逆定理，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
23. 某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：
（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图；
（2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；
（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？
【答案】(1)40;(2) 126°；(3) 360（本）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件列式计算即可，如图2所示，先计算出其它类的频数，再画条形统计图即可；
（2）根据已知条件列式计算即可；
（3）根据已知条件列式计算即可．
【详解】解：（1）8÷20%=40（本），
其它类；40×15%=6（本），
补全条形统计图，如图2所示：

（2）文学类书籍的扇形圆心角度数为：360×=126°；
（3）普类书籍有：×1200=360（本）．
24. 已知中，点是中点，连接并延长到使，连接．
如图 1，求证：四边形是平行四边形；

如图 2，过点作于交于，连接交于，若， 求的长．

【答案】详见解析；
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的判定定理，即可得到结论；
（2）易得ACE是等腰直角三角形，从而得AC的长，由AD∥BC，得，从而得，进而即可求解．
【详解】（1）∵点是中点，
∴AO=CO，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，，
∴∠ACE=，
∴ACE是等腰直角三角形，
∵，
∴CE=AE=4，AC=，
∵AD∥BC，
∴，
∵AD=BC，
∴，
∴，
∴CH== =．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质定理，平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，是解题的关键．
25. 为美化小区，物业公司计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的倍，如果要独立完成面积为区域的绿化，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
若物业公司每天需付给甲队的绿化费用为万元，需付给乙队的费用为万元，要使这次的绿化总费用不超过万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】甲，乙；
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据“在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用1天”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；
（2）设安排甲工程队工作a天，则乙工程队工作天，根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用,结合这次的绿化总费用不超过11万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程解
∴
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为；
（2）设安排甲工程队工作a天，则乙工程队工作天
根据题意得：
解得：
答：至少应安排甲队工作10天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出相应的分式方程；（2）根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用，结合这次的绿化总费用不超过11万元，列出关于a的一元一次不等式．
26. 已知：中，是直径，弦．
如图1，求证：

如图2，点在圆上，连接，若，求的值；

如图3，在的条件下，分别延长线段交于点，过作于，连接，若，求的长．

【答案】详见解析； ；
【解析】
【分析】
（1）连接OC，OD，证明△AOD≌△BOC即可；
（2）作直径DQ，连接CQ，则∠DCQ=90°，根据DC∥AB，可得∠CHB=∠DCQ=90°，根据弧DC=弧DC，可得tan∠Q=tan∠DEC=，可设DC=7k，则CQ=24k，根据已知可得出CH=CQ=12k，HB=9k，即可得出tan∠B，根据弧AC=弧AC，可得∠CEA=∠B，即可得出答案；
（3）由现有条件可得AF=BF，连接FO，得∠OFG=∠EAB=α，再设∠AFG=β，在AE上取GN=AG=3，连接FN，则FN=FA=FB，推出tan∠NBE=，设BE=3n，则NE=4n，GE=2BE=6n，可推出AB==，所以在Rt△FOB中，tan∠OBF=，设FO=4t，OB=3t，即可得出FB，根据FA=FB即可确定答案．
详解】（1）如图，连接OC，OD，

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵DC∥AB，
∴∠AOD=∠ODC=∠OCD=∠BOC，
又∵OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴AD=BC；
（2）作直径DQ，连接CQ，则∠DCQ=90°，

∵DC∥AB，
∴∠CHB=∠DCQ=90°，
又∵AB是直径，
∴CH=QH=CQ，
∴OH是△DCQ的中位线，
∴OH=DC，
∵弧DC=弧DC，
∴∠DEC=∠Q，
∴tan∠Q=tan∠DEC=，
设DC=7k，则CQ=24k，
∴CH=CQ=12k，OH=DC=k，
2r=DQ==25k，
∴OB=r=k，
∴HB=OB-OH=k-k=9k，
∴tan∠B===，
∵弧AC=弧AC，
∴∠CEA=∠B，
∴tan∠CEA= tan∠B=；
（3）如图1，
∵∠AOD =∠BOC，
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD，
∴弧AC=弧BD，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
如图3，连接FO，

∵AO=BO，
∴∠BFO=∠AFO，FO⊥AB，
又∵FG⊥AE，
∴∠FOA=∠AGF=90°，
∴∠OFG=∠EAB=α，
设∠AFG=β，
则∠BFO=∠AFO=∠OFG+∠AFG=α+β，
∴∠AFB=2（α+β），
在AE上取GN=AG=3，连接FN，则FN=FA=FB，
∴∠GFN=∠AFG=β，
∴∠NFB=∠AFB-∠AFN=2（α+β）-2β=2α，
∴∠FBN=∠FNB==90°-α，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠EAB=90°-α=∠FBN，
∴∠ABE-∠ABN=∠FBN-∠ABN，
∴∠NBE=∠ABC，
∴tan∠NBE=，
∴设BE=3n，则NE=4n，
GE=2BE=6n，
∴6n=3+4n，
∴n=，
∴BE=，AE=12，
∴AB==，
在Rt△FOB中，tan∠OBF=，
∴设FO=4t，OB=3t，
∴FB==5t，
∴FB=OB=×=，
∴FA=FB=．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
27. 平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、点且面积为
如图1，求的值；

如图2，点在轴的负半轴上，在线段上，连，作交线段于， 若点纵坐标为长度为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）；


【答案】；
【解析】
【分析】
（1）设A、B坐标分别为（0，b）（b，0）且b＞0，然后表示出OA和OB，然后用三角形面积公式求解即可；
（2）由题意可得D、E、F的坐标分别为（-5,0）、（0，t）、（d，0），然后表示出DE2、EF2、DF2,最后根据勾股定理列式化简即可；
【详解】解：（1）设A、B的坐标分别为（0，b）（b，0）且b＞0
则OA=b，OB=b
∵
∴b=5或b=-5（舍去）
∴b=5；
（2）由题意可得（-5,0）、（0，t）、（d，0）
则DE2=25+t2，DF=（5+d）2=25+10d+ d2，EF= t2+ d2
∵
∴DE2+EF2=DF2，即25+t2+t2+d2=25+10d+ d2
∴；
【点睛】本题属于一次函数和几何图形的综合题，主要考查了一次函数图像与坐标轴围成三角形的面积、勾股定理等知识，掌握一次函数图像的性质以及数形结合思想是解答本题的关键．