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2021-2022学年广西玉林市陆川县八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广西玉林市陆川县八年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得OA＝12米，OB＝9米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．18米B．23米C．16米D．12米
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
5．（3分）用下列一种正多边形，不能用来作平面镶嵌的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
6．（3分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80°B．82°C．84°D．86°
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
8．（3分）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．20°
10．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
11．（3分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．钝角三角形
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 ．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△ABD的周长为 cm．
16．（3分）点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，则mn＝ ．
17．（3分）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ．（填序号）
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
三、解答题：（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程）
19．（10分）化简/求解：
（1）若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
（2）已知一正多边形的内角与其相邻的外角的比为3：1，求该多边形的边数．
20．（6分）如图，已知点A，B（3，﹣2）在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．
（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；
（2）在（1）的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．
21．（6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
22．（7分）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
23．（7分）如图：是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什么？
24．（8分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积．
25．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝3，求DF的长．
26．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
2021-2022学年广西玉林市陆川县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将正确的答案写在答题卡对应题号上）。
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得OA＝12米，OB＝9米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．18米B．23米C．16米D．12米
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：∵OA＝12米，OB＝9米，
∴12﹣9＜AB＜12+9，
即：3＜AB＜21，
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝3cm，再求出BD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为3cm，
∴DE＝3cm，
∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：D．
5．（3分）用下列一种正多边形，不能用来作平面镶嵌的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80°B．82°C．84°D．86°
【分析】设∠1＝∠2＝x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
8．（3分）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
【分析】已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；
当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；
所以等腰三角形的腰长为3．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．20°
【分析】根据垂直平分线的性质，得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠EBD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B，
在△ACE中，∠C＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠B+15°，
∴∠B+15°+2∠B＝90°，
∴∠B＝25°，
故选：C．
10．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：C．
11．（3分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．钝角三角形
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
故选：B．
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，③正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
④没有条件证出BO＝OE，得出④错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出BO＝OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 53° ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B的度数为180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案为：53°．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△ABD的周长为 16 cm．
【分析】由垂直平分线的性质可得AD＝DC，则可求得AB+BD+AD＝AB+BC，则可求得答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝6+10＝16（cm），
即△ABD的周长为16cm，
故答案为：16．
16．（3分）点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，则mn＝ 15 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，
∴m＝﹣5，n＝﹣3，
∴mn＝（﹣5）×（﹣3）＝15．
故答案为：15．
17．（3分）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ②③④ ．（填序号）
【分析】利用全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：①全等的两个三角形一定成轴对称，错误，不一定成轴对称；
②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴，正确；
③成轴对称的两个图形一定全等，正确；
④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形，正确，
故答案为：②③④．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝ 32 cm．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝30cm，DE＝2cm，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC交BE于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE＝30cm，DE＝2cm，
∴DM＝28cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝14cm，
∴BN＝16cm，
∴BC＝2BN＝32cm，
故答案为：32．
三、解答题：（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程）
19．（10分）化简/求解：
（1）若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
（2）已知一正多边形的内角与其相邻的外角的比为3：1，求该多边形的边数．
【分析】（1）首先根据三角形的三边关系确定a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0，然后去绝对值，化简即可求得；
（2）根据正多边形的内角与外角是邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得到边数．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a+c+a﹣b＝3c+a﹣b．
（2）∵正多边形的内角与其外角的度数比为3：1
∴每一个外角为180°×＝45°，
∴边数＝360°÷45°＝8，
即这个多边形的边数为8．
20．（6分）如图，已知点A，B（3，﹣2）在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．
（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；
（2）在（1）的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此即可解决问题．
（2））作点B关于直线a的对称点B′，连接CB′与直线a的交点为M．
【解答】解：（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标（﹣2，1），点C位置如图所示．
（2）①作点B关于直线a的对称点B′，
②连接CB′与直线a的交点为M．
点M就是所求的点．（理由是两点之间线段最短）
21．（6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
【分析】首先根据AC∥DE，利用平行线的性质可得：∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，再根据∠ACD＝∠B证出∠D＝∠B，再由∠ACB＝∠E，AC＝CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
22．（7分）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
【分析】利用①④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求解∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
【解答】解：①④作为已知条件，证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
23．（7分）如图：是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什么？
【分析】延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，根据三角形内角和定理可求出∠F和∠E的度数，即可判断．
【解答】解：如图，延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，
∵∠C+∠ADC＝88°+55°＝143°，
∴∠F＝180°﹣143°＝37°，
∵∠C+∠ABC＝88°+66°＝154°，
∴∠E＝180°﹣154°＝26°，
故这块模板是合格的．
24．（8分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积．
【分析】根据垂线段最短得出PF⊥OB，PF的值，最小值为4cm，根据角平分线的性质得出PE＝PF＝4cm，根据三角形的面积公式求出△PEO的面积，再求出△PGE的面积即可．
【解答】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴当PF⊥OB，PF的值，最小值为4cm，
∵OC为∠AOB的角平分线，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝4cm，
∴S△PEO＝，
∵G为OP的中点，
∴OG＝PG，
∴S△PGE＝S△PEO＝12cm2．
25．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝3，求DF的长．
【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到CE＝CF，即可得△CEF是等腰三角形；
（2）先求得CE＝DC＝3，然后由CE＝CF进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°；
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°；
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
∴△CEF为等腰三角形；
（2）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝3，
又∵CE＝CF，
∴CF＝3，
∴DF＝DC+CF＝3+3＝6．
26．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到AB＝AC，AD＝AE，证明∠BAD＝∠EAC，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，进而证明结论；
（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，进而证明结论；
（3）根据题意补全图形，仿照（2）的证明方法证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）解：结论BC＝CE+CE不成立，猜想BC＝CE﹣CD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；
（3）补全图形如图3所示，结论：BC＝CD﹣CE，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE．
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得OA＝12米，OB＝9米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．18米B．23米C．16米D．12米
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
5．（3分）用下列一种正多边形，不能用来作平面镶嵌的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
6．（3分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80°B．82°C．84°D．86°
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
8．（3分）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．20°
10．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
11．（3分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．钝角三角形
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 ．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△ABD的周长为 cm．
16．（3分）点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，则mn＝ ．
17．（3分）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ．（填序号）
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
三、解答题：（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程）
19．（10分）化简/求解：
（1）若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
（2）已知一正多边形的内角与其相邻的外角的比为3：1，求该多边形的边数．
20．（6分）如图，已知点A，B（3，﹣2）在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．
（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；
（2）在（1）的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．
21．（6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
22．（7分）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
23．（7分）如图：是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什么？
24．（8分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积．
25．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝3，求DF的长．
26．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
2021-2022学年广西玉林市陆川县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将正确的答案写在答题卡对应题号上）。
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得OA＝12米，OB＝9米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．18米B．23米C．16米D．12米
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：∵OA＝12米，OB＝9米，
∴12﹣9＜AB＜12+9，
即：3＜AB＜21，
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝3cm，再求出BD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为3cm，
∴DE＝3cm，
∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：D．
5．（3分）用下列一种正多边形，不能用来作平面镶嵌的是（ ）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80°B．82°C．84°D．86°
【分析】设∠1＝∠2＝x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
8．（3分）已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
【分析】已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；
当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；
所以等腰三角形的腰长为3．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，若∠CAE＝∠B+15°，则∠B的度数为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．20°
【分析】根据垂直平分线的性质，得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠EBD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B，
在△ACE中，∠C＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠B+15°，
∴∠B+15°+2∠B＝90°，
∴∠B＝25°，
故选：C．
10．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：C．
11．（3分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．钝角三角形
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
故选：B．
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，③正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
④没有条件证出BO＝OE，得出④错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出BO＝OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 53° ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B的度数为180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案为：53°．
14．（3分）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△ABD的周长为 16 cm．
【分析】由垂直平分线的性质可得AD＝DC，则可求得AB+BD+AD＝AB+BC，则可求得答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝6+10＝16（cm），
即△ABD的周长为16cm，
故答案为：16．
16．（3分）点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，则mn＝ 15 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点M（﹣3，m）与点N（n，5）关于x轴对称，
∴m＝﹣5，n＝﹣3，
∴mn＝（﹣5）×（﹣3）＝15．
故答案为：15．
17．（3分）下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ②③④ ．（填序号）
【分析】利用全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：①全等的两个三角形一定成轴对称，错误，不一定成轴对称；
②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴，正确；
③成轴对称的两个图形一定全等，正确；
④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形，正确，
故答案为：②③④．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝ 32 cm．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝30cm，DE＝2cm，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC交BE于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE＝30cm，DE＝2cm，
∴DM＝28cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝14cm，
∴BN＝16cm，
∴BC＝2BN＝32cm，
故答案为：32．
三、解答题：（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程）
19．（10分）化简/求解：
（1）若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
（2）已知一正多边形的内角与其相邻的外角的比为3：1，求该多边形的边数．
【分析】（1）首先根据三角形的三边关系确定a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0，然后去绝对值，化简即可求得；
（2）根据正多边形的内角与外角是邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得到边数．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a+c+a﹣b＝3c+a﹣b．
（2）∵正多边形的内角与其外角的度数比为3：1
∴每一个外角为180°×＝45°，
∴边数＝360°÷45°＝8，
即这个多边形的边数为8．
20．（6分）如图，已知点A，B（3，﹣2）在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．
（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；
（2）在（1）的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此即可解决问题．
（2））作点B关于直线a的对称点B′，连接CB′与直线a的交点为M．
【解答】解：（1）写出与点A关于y轴对称的点C的坐标（﹣2，1），点C位置如图所示．
（2）①作点B关于直线a的对称点B′，
②连接CB′与直线a的交点为M．
点M就是所求的点．（理由是两点之间线段最短）
21．（6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
【分析】首先根据AC∥DE，利用平行线的性质可得：∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，再根据∠ACD＝∠B证出∠D＝∠B，再由∠ACB＝∠E，AC＝CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE．
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
22．（7分）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
【分析】利用①④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求解∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
【解答】解：①④作为已知条件，证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
23．（7分）如图：是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成26°角，DA与CB相交成37°角，现小燕测得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就断定这块模板是合格的，这是为什么？
【分析】延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，根据三角形内角和定理可求出∠F和∠E的度数，即可判断．
【解答】解：如图，延长DA，CB相交于点F，延长BA，CD相交于点E，
∵∠C+∠ADC＝88°+55°＝143°，
∴∠F＝180°﹣143°＝37°，
∵∠C+∠ABC＝88°+66°＝154°，
∴∠E＝180°﹣154°＝26°，
故这块模板是合格的．
24．（8分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积．
【分析】根据垂线段最短得出PF⊥OB，PF的值，最小值为4cm，根据角平分线的性质得出PE＝PF＝4cm，根据三角形的面积公式求出△PEO的面积，再求出△PGE的面积即可．
【解答】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，
∴当PF⊥OB，PF的值，最小值为4cm，
∵OC为∠AOB的角平分线，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝4cm，
∴S△PEO＝，
∵G为OP的中点，
∴OG＝PG，
∴S△PGE＝S△PEO＝12cm2．
25．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝3，求DF的长．
【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到CE＝CF，即可得△CEF是等腰三角形；
（2）先求得CE＝DC＝3，然后由CE＝CF进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°；
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°；
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
∴△CEF为等腰三角形；
（2）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝3，
又∵CE＝CF，
∴CF＝3，
∴DF＝DC+CF＝3+3＝6．
26．（12分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到AB＝AC，AD＝AE，证明∠BAD＝∠EAC，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，进而证明结论；
（2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，进而证明结论；
（3）根据题意补全图形，仿照（2）的证明方法证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）解：结论BC＝CE+CE不成立，猜想BC＝CE﹣CD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；
（3）补全图形如图3所示，结论：BC＝CD﹣CE，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE．
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