2021-2022学年广西玉林市容县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广西玉林市容县九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广西玉林市容县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3＝ C．2y﹣x＝1 D．x2＝2x﹣1
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）方程2x2﹣3x+2＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3和﹣2 B．2和﹣3 C．2和3 D．﹣3和2
4．（3分）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥1时，y随x增大而增大
6．（3分）方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解的情况是（　　）
A．x＝3 B．x＝5 C．x1＝3，x2＝5 D．无解
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
8．（3分）一个矩形的周长为30，则矩形的面积y与矩形一边长x的函数关系为（　　）
A．y＝x（15﹣x） B．y＝x（30﹣x） C．y＝x（30﹣2x） D．y＝x（15+x）
9．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B． C． D．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，P，Q分别是AE，DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案填写在答题卡中的横线上）
13．（3分）设x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　 　．
14．（3分）若是二次函数，则m＝　 　．
15．（3分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+2023的值为 　 　．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是　 　．

17．（3分）如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 　 　．

18．（3分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，⑤3a+c＝0．其中正确的命题是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分．将解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．）
19．（8分）解方程：
（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；
（2）x2+2x﹣8＝0．
20．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两根分别是x1，x2，求x1+x2+x1•x2的值．
21．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

22．（8分）已知x+＝且0＜x＜1，求x2﹣的值．
23．（8分）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点
（1）求A、B两点的坐标．
（2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围．

24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，求四边形ABCD的面积．

26．（12分）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上求一点M，使得BM﹣CM最大．


2021-2022学年广西玉林市容县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3＝ C．2y﹣x＝1 D．x2＝2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）方程2x2﹣3x+2＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3和﹣2 B．2和﹣3 C．2和3 D．﹣3和2
【分析】根据方程得出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣3x+2＝0
二次项系数为2，一次项系数为﹣3，
故选：B．
4．（3分）若x＝1是关于x的方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得：12﹣2×1+c＝0，
∴1﹣2+c＝0，
∴c＝1，
故选：C．
5．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥1时，y随x增大而增大
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为直线x＝1，故B不正确；
顶点坐标为（1，2），故C不正确；
对称轴为直线x＝1，当x≥1时，y随x的增大而增大，故D正确；
故选：D．
6．（3分）方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解的情况是（　　）
A．x＝3 B．x＝5 C．x1＝3，x2＝5 D．无解
【分析】观察方程发现等式的左右两边都有因式x﹣3，所以我们把x﹣3看成一个整体，把等号右边的式子移到等号的左边，然后提取公因式后，可化为两式相乘为0的形式，即可求出方程的两个解．
【解答】解：x（x﹣3）＝5（x﹣3），
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5．
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
8．（3分）一个矩形的周长为30，则矩形的面积y与矩形一边长x的函数关系为（　　）
A．y＝x（15﹣x） B．y＝x（30﹣x） C．y＝x（30﹣2x） D．y＝x（15+x）
【分析】首先根据矩形的周长可得矩形的两边长分别为x，15﹣x，再根据矩形的面积公式可得答案．
【解答】解：∵矩形的周长为30，一边长x，
∴另一边长为15﹣x，
∴面积y＝x（15﹣x），
故选：A．
9．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝mx+m经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论．
【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；
A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意；
C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意；
故选：A．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B． C． D．
【分析】先判断出x＝4时，y≤0，当x＝5时，y＞0，解不等式，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，
∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
∵抛物线与x轴交于点A，B．
∴抛物线开口向上，
∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∵m＞0，
∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，
∴m≤，
当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，
∴m＞，
∴＜m≤，
故选：B．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，P，Q分别是AE，DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】证明△ADE为等边三角形，利用y＝×PH×EQ＝××（4﹣x）＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵BC＝4，E为BC的中点，则BE＝2，
在Rt△ABE中，AE＝，BE＝2，则AE＝4，
同理可得ED＝4＝AE＝AD，
故△ADE为等边三角形，则∠AED＝60°，
∵PE＝QD＝x，则QE＝4﹣x，
在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，

则PH＝PEsin∠AED＝x•sin60°＝，
则y＝×PH×EQ＝×（4﹣x）＝，
该函数为开口向下的抛物线，x＝2时，y的最大值为，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案填写在答题卡中的横线上）
13．（3分）设x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　　．
【分析】根据方程的系数，结合“两根之和等于﹣”，即可求出x1+x2＝．
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝．
故答案为：．
14．（3分）若是二次函数，则m＝　2　．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵是二次函数，
∴m2﹣m＝2，m2+m≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
15．（3分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+2023的值为 　2021　．
【分析】先把m代入方程得到m2﹣3m+1＝0，变形后整体代入要求解的代数式．
【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1．
∴2m2﹣6m+2023
＝2（m2﹣3m）+2023
＝2×（﹣1）+2023
＝﹣2+2023
＝2021．
故答案为：2021．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是　19　．

【分析】先由△ABC是等边三角形得出AC＝AB＝BC＝10，根据图形旋转的性质得出AE＝CD，BD＝BE，故可得出AE+AD＝AD+CD＝AC＝10，由∠EBD＝60°，BE＝BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE＝BD＝9，故△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+BD＝19．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝10，
∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，
∴AE+AD＝AD+CD＝AC＝10，
∵∠EBD＝60°，BE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝9，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+BD＝19．
故答案为：19．
17．（3分）如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 　　．

【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵正方形OABC的面积为18，
∴正方形OABC的边长为3，
∴∠BOC＝45°，OB＝6，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝3，
∴BD＝＝3，
∴点B的坐标为（3，3），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（3）2＝3，
解得a＝．
故答案为：．

18．（3分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，⑤3a+c＝0．其中正确的命题是 　③④⑤　．

【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；利用抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；利用x＝1时，y＝0和b＝2a可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，所以②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以④正确；
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
把b＝2a代入得a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，所以⑤正确．
故答案为：③④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．将解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．）
19．（8分）解方程：
（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；
（2）x2+2x﹣8＝0．
【分析】（1）先移项提取公因式，得到两个一元一次方程，再分别求解即可；
（2）先把等号左边因式分解，得到两个一元一次方程，再分别求解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣5）＝2x﹣10，
x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝2，x2＝5；
（2）x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
20．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两根分别是x1，x2，求x1+x2+x1•x2的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2，代入求值即可．
【解答】（1）证明：一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的根的判别式为：Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4≥4＞0．
所以不论m取任何实数，原方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2，
∴x1+x2+x1•x2＝﹣2．
21．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

【分析】（1）根据平移的性质分别找出对应点连接即可，由图形可知点的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A1（5，﹣3）；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；A2（﹣5，3）．

22．（8分）已知x+＝且0＜x＜1，求x2﹣的值．
【分析】根据完全平方公式进行变形求解．
【解答】解：原式＝（x+）（x﹣），
∵，
∴（x+）2＝，
∴x2+＝﹣2＝，
∴（x﹣）2＝x2﹣2+＝﹣2＝，
又∵0＜x＜1，
∴x﹣＜0，
∴x﹣＝﹣，
∴原式＝＝﹣．
23．（8分）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点
（1）求A、B两点的坐标．
（2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围．

【分析】（1）联立两函数解析式求解即可；
（2）根据函数图象写出抛物线直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）联立，
解得：或，
所以A、B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）；
（2）由图可知，﹣1＜x＜0时，y1＞y2．
24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；

（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，求四边形ABCD的面积．

【分析】延长CD到P，作AM⊥CP，垂足为M，作AN⊥CB，垂足为N，证明Rt△AMD≌Rt△ANC（AAS），由全等三角形的性质得出AM＝AN，由等腰直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：延长CD到P，作AM⊥CP，垂足为M，作AN⊥CB，垂足为N，

在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°．
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠ABQ+ABC＝180°，
∴∠ADM＝∠B，
在Rt△AMD和Rt△ANC中，
，
∴Rt△AMD≌Rt△ANC（AAS），
∴AM＝AN，
∴S四边形ABCD＝S正方形AMCN＝＝18．
26．（12分）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上求一点M，使得BM﹣CM最大．

【分析】（1）用待定系数法即可得答案；
（2）连接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，设点P坐标为（m，﹣+1），用m的代数式表示S△PBC＝﹣，即可得△PBC面积的最大值为，点P坐标为；
（3）由抛物线y＝﹣得对称轴为直线x＝1，作点C关于直线x＝1的对称点C′，则MC＝MC′，点C′坐标为（2，1），当M，C′，B三点共线时，BM﹣C'M＝BC′，此时BM﹣C'M最大，即BM﹣CM最大，点M就是直线BC′与抛物线对称轴x＝1的交点，设BC′的函数解析式为：y＝kx+n，由待定系数法即得直线BC′的关系式为：y＝﹣x+3，从而可得点M坐标为（1，2）．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得，，解得，，
∴抛物线解析式为：y＝﹣；
（2）连接PO，作△POB的高PE，△CPO的高PD，如图：

设点P坐标为（m，﹣+1），
S△PBC＝S△PCO+S△PBO﹣S△CBO
＝×1•m+×3×（﹣m2+m+1）﹣×1×3
＝﹣
＝﹣，
当m＝时，△PBC面积的最大，最大值为，
此时点P坐标为；
（3）由抛物线y＝﹣得，对称轴为直线x＝1，
作点C关于直线x＝1的对称点C′，则MC＝MC′，

∴点C′坐标为（2，1）
在△MC′B中，BM﹣C'M＜BC′，即BM﹣CM＜BC′，
当M，C′，B三点共线时，BM﹣C'M＝BC′，此时BM﹣C'M最大，即BM﹣CM最大，点M就是直线BC′与抛物线对称轴x＝1的交点，如图：

设BC′的函数解析式为：y＝kx+n，
把B（3，0）和点C′（2，1）代入得，，
解得，，
∴直线BC′的关系式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴BM﹣CM最大时，点M坐标为（1，2）．