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2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上．
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．5a﹣3a＝3 B．a2•a5＝a10 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
5．（3分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
6．（3分）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
11．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡相应题号上．
13．（3分）十边形的外角和是 °．
14．（3分）当分式的值为0时，x的值为 ．
15．（3分）因式分解：a3﹣16a＝ ．
16．（3分）化简：﹣÷ ．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝ °．
18．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明），将解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（6分）计算：．
20．（6分）解分式方程：+2＝．
21．（6分）化简：（1﹣）÷，并选择一个你喜欢的a值代入求值．
22．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点F为CB延长线上一点，点E在AB上，且AF＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若∠ACE＝27°，求∠CAF的度数．
23．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
24．（9分）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am•an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣4）（n﹣4）的值．
25．（10分）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多840元，且用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？
26．（12分）如图，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）若∠ADF＝α，∠DFE＝β，试探究α、β的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接CF，若DF⊥CF，求∠DCF的度数．
2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上．
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：A、x是单项式，故A不符合题意．
B、是分式，故B符合题意．
C、是单项式，故C不符合题意．
D、+1是多项式，故D不符合题意．
故选：B．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：B．
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．5a﹣3a＝3 B．a2•a5＝a10 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、5a﹣3a＝2a，故A不符合题意；
B、a2•a5＝a7，故B不符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
【分析】利用因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等，逐个分解做出判断．
【解答】解：∵2a﹣2b＝2（a﹣b），故选项A正确；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故选项B正确；
a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，故选项C错误；
﹣x2﹣x+2＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣（x﹣1）（x+2），故选项D正确．
故选：C．
6．（3分）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先能够找到所有的情况，然后根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得5，7，9；7，9，13；5，9，13都能组成三角形．
故有3个．
故选：C．
7．（3分）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，
B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；
C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF＝6，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴FA＝BF＝6，
∴AC＝FA+CF＝6+2＝8，
故选：C．
10．（3分）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
11．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④根据周角的定义即可判断；
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝180°，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡相应题号上．
13．（3分）十边形的外角和是 360 °．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故答案为：360．
14．（3分）当分式的值为0时，x的值为 0 ．
【分析】根据分式值为0的条件列方程和不等式求解．
【解答】解：由题意可得2x＝0且2﹣x≠0，
解得：x＝0，
故答案为：0．
15．（3分）因式分解：a3﹣16a＝ a（a+4）（a﹣4） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4），
故答案为：a（a+4）（a﹣4）
16．（3分）化简：﹣÷ ．
【分析】将除法转化为乘法，然后算乘法，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝ 120 °．
【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC＝90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE＝∠CED＝30°，即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
18．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明），将解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（6分）计算：．
【分析】首先分别利用0指数幂的定义、负指数幂的定义及算术平方根的定义化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．
【解答】解：
＝2﹣1﹣2+3
＝2．
20．（6分）解分式方程：+2＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
21．（6分）化简：（1﹣）÷，并选择一个你喜欢的a值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝1．
22．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点F为CB延长线上一点，点E在AB上，且AF＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若∠ACE＝27°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）根据HL可证明△ABF≌△CBE；
（2）由等腰直角三角形的性质可求出∠BAC＝∠BCA＝45°，求出∠BCE＝18°，由全等三角形的性质得出∠BCE＝∠BAF＝18°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠ACE＝27°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣27°＝18°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠BCE＝∠BAF＝18°，
∴∠CAF＝∠CAB+∠BAF＝45°+18°＝63°．
23．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′C交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣2×1﹣1×4﹣1×3＝．
24．（9分）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am•an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣4）（n﹣4）的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方化简，整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形得到（m﹣n）2，根据多项式乘多项式法则展开，整体代入求值即可．
【解答】解：（1）∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝am+n﹣amn
＝a3﹣a2，
当a＝2时，原式＝8﹣4＝4；
（2）∵m+n＝3，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1，
∴原式＝1+mn﹣4（m+n）+16
＝1+2﹣12+16
＝7．
25．（10分）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多840元，且用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？
【分析】（1）设A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格为（x﹣840）元，由题意：用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种型号电脑y台，由题意：学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格为（x﹣840）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝5040，
经检验：x＝5040是原方程的解，且符合题意，
则x﹣840＝4200，
答：A种型号电脑每台价格为5040元，B种型号电脑每台价格为4200元；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：5040y+4200（20﹣y）≤90000，
解得：y≤7，
∴最多可购买A种型号电脑7台．
答：最多可购买A种型号电脑7台．
26．（12分）如图，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）若∠ADF＝α，∠DFE＝β，试探究α、β的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接CF，若DF⊥CF，求∠DCF的度数．
【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD＝∠ACB＝90°，再根据题意得∠EAF＝∠DAF，即可证得结论；
（2）利用全等三角形性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（3）过点F作FM⊥FA交AC于点M，可得出△AFM为等腰直角三角形，再利用ASA证明△ADF≌△MCF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS）；
（2）2α+β＝90°．理由如下：
如图1，由（1）知：△EAF≌△DAF，
∴∠AFE＝∠AFD＝∠DFE，
∵∠ADF＝α，∠DFE＝β，
∴∠AFD＝β，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴α+β+135°＝180°，
∴2α+β＝90°；
（3）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，
∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，
即△AFM为等腰直角三角形，
∴FA＝FM，∠FMA＝45°，
∴∠FMC＝180°﹣∠FMA＝135°，
∴∠FMC＝∠FAD＝135°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFM+∠CFM＝∠DFC＝90°，
又∵∠DFM+∠DFA＝∠AFM＝90°，
∴∠CFM＝∠DFA，
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴FD＝FC，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°．
2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上．
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．5a﹣3a＝3 B．a2•a5＝a10 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
5．（3分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
6．（3分）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
11．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡相应题号上．
13．（3分）十边形的外角和是 °．
14．（3分）当分式的值为0时，x的值为 ．
15．（3分）因式分解：a3﹣16a＝ ．
16．（3分）化简：﹣÷ ．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝ °．
18．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明），将解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（6分）计算：．
20．（6分）解分式方程：+2＝．
21．（6分）化简：（1﹣）÷，并选择一个你喜欢的a值代入求值．
22．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点F为CB延长线上一点，点E在AB上，且AF＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若∠ACE＝27°，求∠CAF的度数．
23．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
24．（9分）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am•an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣4）（n﹣4）的值．
25．（10分）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多840元，且用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？
26．（12分）如图，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）若∠ADF＝α，∠DFE＝β，试探究α、β的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接CF，若DF⊥CF，求∠DCF的度数．
2021-2022学年广西玉林市博白县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上．
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（ ）
A．x B． C． D．
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：A、x是单项式，故A不符合题意．
B、是分式，故B符合题意．
C、是单项式，故C不符合题意．
D、+1是多项式，故D不符合题意．
故选：B．
3．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x≥﹣2 D．x≥2
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：B．
4．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．5a﹣3a＝3 B．a2•a5＝a10 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、5a﹣3a＝2a，故A不符合题意；
B、a2•a5＝a7，故B不符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
【分析】利用因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等，逐个分解做出判断．
【解答】解：∵2a﹣2b＝2（a﹣b），故选项A正确；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故选项B正确；
a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，故选项C错误；
﹣x2﹣x+2＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣（x﹣1）（x+2），故选项D正确．
故选：C．
6．（3分）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先能够找到所有的情况，然后根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得5，7，9；7，9，13；5，9，13都能组成三角形．
故有3个．
故选：C．
7．（3分）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，
B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；
C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF＝6，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴FA＝BF＝6，
∴AC＝FA+CF＝6+2＝8，
故选：C．
10．（3分）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
11．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠BAE+∠DAC＝180°，其中结论正确的个数是（ ）（注：等腰三角形的两个底角相等）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④根据周角的定义即可判断；
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝180°，故④正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡相应题号上．
13．（3分）十边形的外角和是 360 °．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故答案为：360．
14．（3分）当分式的值为0时，x的值为 0 ．
【分析】根据分式值为0的条件列方程和不等式求解．
【解答】解：由题意可得2x＝0且2﹣x≠0，
解得：x＝0，
故答案为：0．
15．（3分）因式分解：a3﹣16a＝ a（a+4）（a﹣4） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4），
故答案为：a（a+4）（a﹣4）
16．（3分）化简：﹣÷ ．
【分析】将除法转化为乘法，然后算乘法，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝ 120 °．
【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC＝90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE＝∠CED＝30°，即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
18．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明），将解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（6分）计算：．
【分析】首先分别利用0指数幂的定义、负指数幂的定义及算术平方根的定义化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．
【解答】解：
＝2﹣1﹣2+3
＝2．
20．（6分）解分式方程：+2＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
21．（6分）化简：（1﹣）÷，并选择一个你喜欢的a值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝1．
22．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点F为CB延长线上一点，点E在AB上，且AF＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若∠ACE＝27°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）根据HL可证明△ABF≌△CBE；
（2）由等腰直角三角形的性质可求出∠BAC＝∠BCA＝45°，求出∠BCE＝18°，由全等三角形的性质得出∠BCE＝∠BAF＝18°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠ACE＝27°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣27°＝18°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠BCE＝∠BAF＝18°，
∴∠CAF＝∠CAB+∠BAF＝45°+18°＝63°．
23．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′C交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；
（3）根据网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣2×1﹣1×4﹣1×3＝．
24．（9分）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am•an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣4）（n﹣4）的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方化简，整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形得到（m﹣n）2，根据多项式乘多项式法则展开，整体代入求值即可．
【解答】解：（1）∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝am+n﹣amn
＝a3﹣a2，
当a＝2时，原式＝8﹣4＝4；
（2）∵m+n＝3，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1，
∴原式＝1+mn﹣4（m+n）+16
＝1+2﹣12+16
＝7．
25．（10分）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购A、B两种型号电脑．已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多840元，且用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．
（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？
【分析】（1）设A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格为（x﹣840）元，由题意：用25200元买A种型号电脑的台数与用21000元买B种型号电脑的台数一样多．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A种型号电脑y台，由题意：学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格为（x﹣840）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝5040，
经检验：x＝5040是原方程的解，且符合题意，
则x﹣840＝4200，
答：A种型号电脑每台价格为5040元，B种型号电脑每台价格为4200元；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：5040y+4200（20﹣y）≤90000，
解得：y≤7，
∴最多可购买A种型号电脑7台．
答：最多可购买A种型号电脑7台．
26．（12分）如图，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）若∠ADF＝α，∠DFE＝β，试探究α、β的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接CF，若DF⊥CF，求∠DCF的度数．
【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD＝∠ACB＝90°，再根据题意得∠EAF＝∠DAF，即可证得结论；
（2）利用全等三角形性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（3）过点F作FM⊥FA交AC于点M，可得出△AFM为等腰直角三角形，再利用ASA证明△ADF≌△MCF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS）；
（2）2α+β＝90°．理由如下：
如图1，由（1）知：△EAF≌△DAF，
∴∠AFE＝∠AFD＝∠DFE，
∵∠ADF＝α，∠DFE＝β，
∴∠AFD＝β，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴α+β+135°＝180°，
∴2α+β＝90°；
（3）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，
∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，
即△AFM为等腰直角三角形，
∴FA＝FM，∠FMA＝45°，
∴∠FMC＝180°﹣∠FMA＝135°，
∴∠FMC＝∠FAD＝135°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFM+∠CFM＝∠DFC＝90°，
又∵∠DFM+∠DFA＝∠AFM＝90°，
∴∠CFM＝∠DFA，
在△ADF和△MCF中，
，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴FD＝FC，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠DCF＝45°．
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