数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算课堂教学ppt课件

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它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
这种运算叫做向量的数乘，
特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？
当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；
当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定零向量与任意向量平行. 平行向量也叫共线向量.
结论： b = λa b // a .
若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？
(1)当a≠0， b≠0时，
若 | b| ＝ μ | a | ，
当a与b同向时， b= μ a，
当a与b反向时， b= -μ a，
存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
(2)当a≠0， b=0时，
(3)当a=0， b≠0时，
不存在这样的实数λ，使得b=λa.
(4)当a=0， b=0时，
λ取任意实数，都使得b=λa.
当a=0， b≠0时，
不存在实数λ，使得b=λa.
当a=0， b=0时，
b//a ( a ≠ 0 )
存在唯一一个实数λ，使得b=λa
b // a b = λa
存在唯一一个实数λ，使得
存在 实数λ，使得
此时，λ可以取任意实数.
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )
故不存在这样的实数λ.
(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( )
证明：先证必要性
(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；
证明：先证必要性 当a=b=0时，
证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立.
证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，
证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0，
证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0， 所以，存在唯一实数k，使得b=ka，
证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0， 所以，存在唯一实数k，使得b=ka， 取λ=k，μ=1，此时结论成立.
(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )
存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线
猜想：A，B，C三点共线.
分析：只需证 ，
∴ A，B，C三点共线.
向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.
与非零向量a同向的单位向量为_______ .
设为λa (λ > 0) ，
与非零向量a共线的单位向量为_____.
由向量b－ta与 共线，
定理：b//a ( a ≠ 0 )
由于 a，b不共线，
∵b－ta与 共线，
唯一 ，使得
a = b，
∴
解得 t =
定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一一个实数λ，使b=λa.
1. 运用定理，证明向量共线，两直线平行， 三点共线等类型的问题；
2. 运用定理，转化命题.
向量在解决几何问题中的工具性
1．已知a，b是不共线的向量，且 ， ， ，则( )．
(A) A，B，D三点共线
(B) A，B，C三点共线
(C) B，C，D三点共线
(D) A，C，D三点共线
2．已知若 ， 是不共线的向量，且 ， ，若a与b是共线向量，求实数k的值．