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湖北省武汉硚口区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省武汉硚口区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，9 D．6，6，10
3．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（ ）
A．80° B．75° C．85° D．88°
6．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，AE是等腰Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BF∥AC，且BF＝CE．连接CF交AE于点D，交AB于点G，点P是线段AD上的动点，点Q是线段AG上的动点，连接PG，PQ，下列四个结论：①AE⊥CF；②BF＝BG；③CE+AC＝AB；④PG+PQ≥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
12．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的腰长是 ．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点．若BE＝5，BC＝8，则△BCD的周长是 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为 ．
15．AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝10，则AD的取值范围是 ．
16．如图，在长方形ABCD巾，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共18分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
18．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
20．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
21．如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题．
（1）直接写出∠ABC的大小；
（2）在图1中，画△ABC的高AF，BD；
（3）在图2中，
①画△ABC的中线BE；
②在△ABC的高AF上画点P，连接BP，EP，使∠APB＝∠APE．
22．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
23．在等边△ABC中，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，求∠ACF的大小；
（2）如图2，点D是边AB的中点．
①求证：∠FCE＝∠FEC；
②如图3，连接AF，当AF最小时，直接写出的值．
24．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．
（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；
（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．
①求证：CE＝CF；
②求证：点D是AF的中点；
③求证：S△ACD＝S△BCE．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，9 D．6，6，10
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、5+6＝11，不能组成三角形；
C、4+4＜9，不能组成三角形；
D、6+6＞10，能够组成三角形．
故选：D．
3．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
4．点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2）．
故选：B．
5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（ ）
A．80° B．75° C．85° D．88°
【分析】根据方向角的定义可得∠SAB＝45°，∠SAC＝10°，∠NBC＝85°，再根据平行线的性质，角的和差关系求出∠ABC，∠BAC，再依据三角形的内角和求出答案即可．
解：如图，根据方向角的定义可知，∠SAB＝45°，∠SAC＝10°，∠NBC＝85°，
∴∠BAC＝∠SAB+∠SAC＝45°+10°＝55°，
∵BN∥AS，
∴∠SAB＝∠NBA＝45°，
∴∠ABC＝∠NBC﹣∠NBA＝85°﹣45°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：C．
6．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°解决此题．
解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．
B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．
C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．
D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．
故选：B．
7．用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明三角形全等即可．
解：在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据高定义求出∠CDB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝2BD，AB＝2BC，再把BD＝1代入求出即可．
解：∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝30°，BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
故选：C．
9．如图，在△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于点F，然后通过折叠的性质得到AE、BE的长，然后结合∠C＝2∠BDE得到∠ADE＝∠AED，进而得到AD＝AE，再设DE＝DC＝x，DM＝DN＝m，BF＝n，通过证明△DNC∽△BFC得到m、n、x的关系，最后利用等面积法求得x的值即为DE的长．
解：由折叠得，∠DCB＝∠DEB，BC＝BE＝6，∠DBC＝∠DBE，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，∠EDC＝2∠BDE，
∵∠DCB＝2∠BDE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝2，
如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，则DN＝DM，
过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于点F，则∠N＝∠F＝90°，
∵∠NCD＝∠FCB，
∴△NCD∽△FCB，
∴，
设DE＝DC＝x，DM＝DN＝m，BF＝n，
∴，
∴n＝，
∵S△ABD＝，
∴，
化简得，n＝4m，
∴4m＝，
∴x＝．
故选：A．
10．如图，AE是等腰Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BF∥AC，且BF＝CE．连接CF交AE于点D，交AB于点G，点P是线段AD上的动点，点Q是线段AG上的动点，连接PG，PQ，下列四个结论：①AE⊥CF；②BF＝BG；③CE+AC＝AB；④PG+PQ≥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△CBF，可得∠CAE＝∠BCF，由余角的性质可证AE⊥CF，故①正确；由角平分线的性质和余角的性质可求AG＝AC，BF＝BG，故②正确；由线段数量关系可证BF＝BG＝CE，可得AB＝AG+BG＝AC+CE，故③正确；由三角形的三边关系可得PG+PQ≥AB，即可求解．
解：∵BF∥AC，
∴∠CBF+∠BCA＝180°，
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
又∵AC＝BC，BF＝CE，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠CAE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠FCA＝90°，
∴∠FCA+∠CAE＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∴AE⊥CF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠BCF＝∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠ACF＝∠F＝∠AGD＝67.5°＝∠BGF，
∴AG＝AC，BF＝BG，故②正确；
∴BF＝BG＝CE，
∴AB＝AG+BG＝AC+CE，故③正确；
如图，连接PC，CQ，过点C作CH⊥AB于H，
∵BC＝CA，∠BCA＝90°，CH⊥AB，
∴CH＝BH＝AH＝AB，
∵AG＝AC，AE⊥CF，
∴AE是CG的中垂线，
∴PC＝PG，
∴PG+PQ＝PC+PQ≥CQ，
∵点Q是线段AG上的动点，
∴CQ≥CH＝AB，
∴PG+PQ≥AB，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线．
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．
解：五边形（n＞3）从一个顶点出发可以引5﹣3＝2条对角线．
故答案为：2．
12．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的腰长是 9 ．
【分析】根据等腰三角形性质求出：①腰是4时，②腰是9时，根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形后，即可求出答案．
解：①当腰是4时，三边是4、4、9，根据三角形三边关系定理不能组成三角形；
②当腰是9时，三边是4、9、9，能构成三角形，
故答案为：9．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点．若BE＝5，BC＝8，则△BCD的周长是 18 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝2BE＝10，AD＝BD，再由△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC即可得出结论．
解：∵AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点，BE＝5，
∴AB＝2BE＝10，AD＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10+8＝18．
故答案为：18．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为 20°或70° ．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可．
解：①如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图2，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝∠BAD＝×40°＝20°．
故答案为：70°或20°．
15．AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝10，则AD的取值范围是 1＜AD＜8 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：10﹣8＜AE＜10+8，
∴1＜AD＜8，
故答案为：1＜AD＜8．
16．如图，在长方形ABCD巾，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为 ．
【分析】作MH⊥BC于H，由∠DBC＝30°，得MH＝BM，即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，然后通过含30°角的直角三角形的性质求出EH的长即可．
解：如图，作MH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴MH＝BM，CD＝BD＝3，BC＝3，
∴EM+BM＝EM+MH，
即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，
∵将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，
∴∠EBC＝2∠DBC＝60°，EB＝BC＝3，
∴BH＝BE＝，
∴EH＝＝，
∴EM+BM的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共18分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比360°多900°，由此列出方程即可解出边数．
解：设边数为n，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝360°+900°，
所以（n﹣2）×180°＝1260°，
所以n﹣2＝7，
所以n＝9．
答：这个多边形的边数是9．
18．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
【分析】欲证明∠A＝∠D，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
【分析】由∠1＝∠2据可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
20．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质得到∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，
∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°；
（2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∵AD⊥CE，
∴DE＝DC．
21．如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题．
（1）直接写出∠ABC的大小；
（2）在图1中，画△ABC的高AF，BD；
（3）在图2中，
①画△ABC的中线BE；
②在△ABC的高AF上画点P，连接BP，EP，使∠APB＝∠APE．
【分析】（1）根据网格直接得出答案；
（2）根据三角形三条高所在直线相交于一点即可；
（3）根据矩形的性质可找到AC的中点．
解：（1）∠ABC＝45°；
（2）如图：作高AF，CG交于点O，连接BO交AC于D，
（3）如图，①作出以AC为对角线的矩形的另一条对角线，交点即为E点，BE即为中线；
②作点B关于AF的对称点B'，连接BE交AC于P，
则∠BPF＝∠B'PF，
∴∠APB＝∠APE．
22．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
【分析】（1）设∠A＝x，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠A＝x，∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x，∠ACB＝∠CBD＝2x，再由三角形内角和定理求出x＝36°即可；
（2）①证△DEC≌△DFC（AAS），得DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，再证△DEH≌△DFH（SAS），得EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，即可得出结论；
②在CA上截取CG＝CB，连接DG，由全等三角形的性质得DE＝DF，CE＝CF，再证△DEG≌△DFB（SAS），得DG＝DB，∠DGE＝∠B，然后证AG＝DG，即可得出结论．
【解答】（1）解：设∠A＝x，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x，
∵CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x；
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠CBD＝2x，
∴∠DCB＝x，
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）①证明：由（1）得：∠ACD＝∠A＝x，∠DCB＝x，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△DEC≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，
∵DH＝DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，
∴CD垂直平分EF；
②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：
在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：
由①得：△DEH≌△DFH，
∴DE＝DF，CE＝CF，
∵CG＝CB，
∴CG﹣CE＝CB﹣CF，
即GE＝BF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEG＝∠DFB＝90°，
∴△DEG≌△DFB（SAS），
∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，
由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，
∴∠DGE＝2∠A，
∵∠DGE＝∠A+∠GDA，
∴∠A＝∠GDA，
∴AG＝DG，
∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．
23．在等边△ABC中，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，求∠ACF的大小；
（2）如图2，点D是边AB的中点．
①求证：∠FCE＝∠FEC；
②如图3，连接AF，当AF最小时，直接写出的值．
【分析】（1）证明△BAE≌△CAF（SAS），可得∠ABC＝∠ACF＝60°；
（2）①如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT．证明△BDE≌△TCF（SAS），可得结论；
②如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，由（2）可知，点F在CD的垂直平分线上，当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，证明△ADF≌△HED（AAS），推出AD＝EH＝BC，可得结论．
解：（1）如图1中，
∵△ABC，△AEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，AB＝AC，AE＝AF，
即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF＝60°；
（2）①证明：如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT．
∵BD＝AD，BT＝CT，AB＝BC，
∴BD＝BT，
∵∠B＝60°，
∴△BDT是等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，
∴同法可证，△BDE≌△TDF（SAS），
∴BE＝FT，∠B＝∠DTF＝60°，
∵∠BTD＝60°，
∴∠FTC＝∠B＝60°，
∵BD＝TC，∠B＝∠FTC，BE＝TF，
∴△BDE≌△TCF（SAS），
∴DE＝CF，
∵EF＝DE，
∴FE＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC；
②解：如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H
∵DF＝EF＝CF，
∴点F在CD的垂直平分线上，
∴当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI＝BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE＝180°，∠BED+60°+∠BDE＝180°，
∴∠ADF＝∠BED，
在△ADF和H△DE中，
，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE＝AD＝AB＝BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D为AB中点，DH∥AI，
∴BH＝BI＝BC，BE＝BC，
∴＝．
24．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．
（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；
（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．
①求证：CE＝CF；
②求证：点D是AF的中点；
③求证：S△ACD＝S△BCE．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥y轴于点H．证明△AHC≌△COB（AAS），可得AH＝OC＝4，CH＝OB＝8，可得结论；
（2）①证明△ECA≌△FCB（ASA），可得结论；
②如图2中，过点F作FN⊥CD于点N，过点A作AM⊥CD于点M．利用三次全等解决问题即可；
③设OE＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示出两个三角形的面积，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥y轴于点H．
∵点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），
∴OC＝4，OB＝8，
∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACH＝∠CBO，
在△AHC和△COB中，
，
∴△AHC≌△COB（AAS），
∴AH＝OC＝4，CH＝OB＝8，
∴OH＝CH﹣CO＝8﹣4＝4，
∴A（﹣4，﹣4）；
（2）证明：①如图2中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBF＝45°，
∵AE⊥AB，
∴∠EAC＝∠CAB＝∠CBF＝45°，
∴CE⊥CF，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠FCB，
在△ECA和△FCB中，
，
∴△ECA≌△FCB（ASA），
∴CE＝CF；
②如图2中，过点F作FN⊥CD于点N，过点A作AM⊥CD于点M．
∵∠ECF＝∠EOC＝∠CNF＝90°，
∴∠ECO+∠FCN＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ECO＝∠CFN，
在△EOC和△CNF中，
，
∴△EOC≌△CNF（AAS），
∴OC＝FN，
同法可证，△BOC≌△CMA（AAS），
∴OC＝AM，
在△FND和△AMD中，
，
∴△FND≌△AMD，
∴DF＝AD；
③设OE＝a，OB＝b，OC＝c，
∵△EOC≌△CNF，△BOC≌△CMA，
∴CN＝OE＝a，CM＝OB＝b，OC＝AM＝c，
∴MN＝b﹣a，
∵△FND≌△AMD，
∴DN＝DM＝（b﹣a），
∴CD＝DN+CN＝（a+b），
∵S△ACD＝•CD•AM＝•（a+b）•AM＝（a+b）•c，S△BCE＝•EB•CO＝（a+b）•OC＝（a+b）•c，
∴S△ACD＝S△ECB．
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，9 D．6，6，10
3．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（ ）
A．80° B．75° C．85° D．88°
6．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，AE是等腰Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BF∥AC，且BF＝CE．连接CF交AE于点D，交AB于点G，点P是线段AD上的动点，点Q是线段AG上的动点，连接PG，PQ，下列四个结论：①AE⊥CF；②BF＝BG；③CE+AC＝AB；④PG+PQ≥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
12．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的腰长是 ．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点．若BE＝5，BC＝8，则△BCD的周长是 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为 ．
15．AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝10，则AD的取值范围是 ．
16．如图，在长方形ABCD巾，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共18分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
18．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
20．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
21．如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题．
（1）直接写出∠ABC的大小；
（2）在图1中，画△ABC的高AF，BD；
（3）在图2中，
①画△ABC的中线BE；
②在△ABC的高AF上画点P，连接BP，EP，使∠APB＝∠APE．
22．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
23．在等边△ABC中，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，求∠ACF的大小；
（2）如图2，点D是边AB的中点．
①求证：∠FCE＝∠FEC；
②如图3，连接AF，当AF最小时，直接写出的值．
24．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．
（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；
（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．
①求证：CE＝CF；
②求证：点D是AF的中点；
③求证：S△ACD＝S△BCE．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，9 D．6，6，10
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、5+6＝11，不能组成三角形；
C、4+4＜9，不能组成三角形；
D、6+6＞10，能够组成三角形．
故选：D．
3．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
4．点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2）．
故选：B．
5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（ ）
A．80° B．75° C．85° D．88°
【分析】根据方向角的定义可得∠SAB＝45°，∠SAC＝10°，∠NBC＝85°，再根据平行线的性质，角的和差关系求出∠ABC，∠BAC，再依据三角形的内角和求出答案即可．
解：如图，根据方向角的定义可知，∠SAB＝45°，∠SAC＝10°，∠NBC＝85°，
∴∠BAC＝∠SAB+∠SAC＝45°+10°＝55°，
∵BN∥AS，
∴∠SAB＝∠NBA＝45°，
∴∠ABC＝∠NBC﹣∠NBA＝85°﹣45°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：C．
6．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°解决此题．
解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．
B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．
C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．
D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．
故选：B．
7．用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明三角形全等即可．
解：在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据高定义求出∠CDB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝2BD，AB＝2BC，再把BD＝1代入求出即可．
解：∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝30°，BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
故选：C．
9．如图，在△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于点F，然后通过折叠的性质得到AE、BE的长，然后结合∠C＝2∠BDE得到∠ADE＝∠AED，进而得到AD＝AE，再设DE＝DC＝x，DM＝DN＝m，BF＝n，通过证明△DNC∽△BFC得到m、n、x的关系，最后利用等面积法求得x的值即为DE的长．
解：由折叠得，∠DCB＝∠DEB，BC＝BE＝6，∠DBC＝∠DBE，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，∠EDC＝2∠BDE，
∵∠DCB＝2∠BDE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝2，
如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，则DN＝DM，
过点B作BF⊥AC，交AC的延长线于点F，则∠N＝∠F＝90°，
∵∠NCD＝∠FCB，
∴△NCD∽△FCB，
∴，
设DE＝DC＝x，DM＝DN＝m，BF＝n，
∴，
∴n＝，
∵S△ABD＝，
∴，
化简得，n＝4m，
∴4m＝，
∴x＝．
故选：A．
10．如图，AE是等腰Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BF∥AC，且BF＝CE．连接CF交AE于点D，交AB于点G，点P是线段AD上的动点，点Q是线段AG上的动点，连接PG，PQ，下列四个结论：①AE⊥CF；②BF＝BG；③CE+AC＝AB；④PG+PQ≥AB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△CBF，可得∠CAE＝∠BCF，由余角的性质可证AE⊥CF，故①正确；由角平分线的性质和余角的性质可求AG＝AC，BF＝BG，故②正确；由线段数量关系可证BF＝BG＝CE，可得AB＝AG+BG＝AC+CE，故③正确；由三角形的三边关系可得PG+PQ≥AB，即可求解．
解：∵BF∥AC，
∴∠CBF+∠BCA＝180°，
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
又∵AC＝BC，BF＝CE，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠CAE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠FCA＝90°，
∴∠FCA+∠CAE＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∴AE⊥CF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠BCF＝∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠ACF＝∠F＝∠AGD＝67.5°＝∠BGF，
∴AG＝AC，BF＝BG，故②正确；
∴BF＝BG＝CE，
∴AB＝AG+BG＝AC+CE，故③正确；
如图，连接PC，CQ，过点C作CH⊥AB于H，
∵BC＝CA，∠BCA＝90°，CH⊥AB，
∴CH＝BH＝AH＝AB，
∵AG＝AC，AE⊥CF，
∴AE是CG的中垂线，
∴PC＝PG，
∴PG+PQ＝PC+PQ≥CQ，
∵点Q是线段AG上的动点，
∴CQ≥CH＝AB，
∴PG+PQ≥AB，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线．
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．
解：五边形（n＞3）从一个顶点出发可以引5﹣3＝2条对角线．
故答案为：2．
12．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的腰长是 9 ．
【分析】根据等腰三角形性质求出：①腰是4时，②腰是9时，根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形后，即可求出答案．
解：①当腰是4时，三边是4、4、9，根据三角形三边关系定理不能组成三角形；
②当腰是9时，三边是4、9、9，能构成三角形，
故答案为：9．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点．若BE＝5，BC＝8，则△BCD的周长是 18 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝2BE＝10，AD＝BD，再由△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC即可得出结论．
解：∵AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点，BE＝5，
∴AB＝2BE＝10，AD＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10+8＝18．
故答案为：18．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为 20°或70° ．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可．
解：①如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图2，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝∠BAD＝×40°＝20°．
故答案为：70°或20°．
15．AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝10，则AD的取值范围是 1＜AD＜8 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：10﹣8＜AE＜10+8，
∴1＜AD＜8，
故答案为：1＜AD＜8．
16．如图，在长方形ABCD巾，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为 ．
【分析】作MH⊥BC于H，由∠DBC＝30°，得MH＝BM，即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，然后通过含30°角的直角三角形的性质求出EH的长即可．
解：如图，作MH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴MH＝BM，CD＝BD＝3，BC＝3，
∴EM+BM＝EM+MH，
即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，
∵将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，
∴∠EBC＝2∠DBC＝60°，EB＝BC＝3，
∴BH＝BE＝，
∴EH＝＝，
∴EM+BM的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共18分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比360°多900°，由此列出方程即可解出边数．
解：设边数为n，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝360°+900°，
所以（n﹣2）×180°＝1260°，
所以n﹣2＝7，
所以n＝9．
答：这个多边形的边数是9．
18．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
【分析】欲证明∠A＝∠D，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
【分析】由∠1＝∠2据可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
20．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形外角的性质得到∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，
∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°；
（2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∵AD⊥CE，
∴DE＝DC．
21．如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题．
（1）直接写出∠ABC的大小；
（2）在图1中，画△ABC的高AF，BD；
（3）在图2中，
①画△ABC的中线BE；
②在△ABC的高AF上画点P，连接BP，EP，使∠APB＝∠APE．
【分析】（1）根据网格直接得出答案；
（2）根据三角形三条高所在直线相交于一点即可；
（3）根据矩形的性质可找到AC的中点．
解：（1）∠ABC＝45°；
（2）如图：作高AF，CG交于点O，连接BO交AC于D，
（3）如图，①作出以AC为对角线的矩形的另一条对角线，交点即为E点，BE即为中线；
②作点B关于AF的对称点B'，连接BE交AC于P，
则∠BPF＝∠B'PF，
∴∠APB＝∠APE．
22．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
【分析】（1）设∠A＝x，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠A＝x，∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x，∠ACB＝∠CBD＝2x，再由三角形内角和定理求出x＝36°即可；
（2）①证△DEC≌△DFC（AAS），得DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，再证△DEH≌△DFH（SAS），得EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，即可得出结论；
②在CA上截取CG＝CB，连接DG，由全等三角形的性质得DE＝DF，CE＝CF，再证△DEG≌△DFB（SAS），得DG＝DB，∠DGE＝∠B，然后证AG＝DG，即可得出结论．
【解答】（1）解：设∠A＝x，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x，
∵CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x；
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠CBD＝2x，
∴∠DCB＝x，
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）①证明：由（1）得：∠ACD＝∠A＝x，∠DCB＝x，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△DEC≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，
∵DH＝DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，
∴CD垂直平分EF；
②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：
在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：
由①得：△DEH≌△DFH，
∴DE＝DF，CE＝CF，
∵CG＝CB，
∴CG﹣CE＝CB﹣CF，
即GE＝BF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEG＝∠DFB＝90°，
∴△DEG≌△DFB（SAS），
∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，
由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，
∴∠DGE＝2∠A，
∵∠DGE＝∠A+∠GDA，
∴∠A＝∠GDA，
∴AG＝DG，
∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．
23．在等边△ABC中，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，求∠ACF的大小；
（2）如图2，点D是边AB的中点．
①求证：∠FCE＝∠FEC；
②如图3，连接AF，当AF最小时，直接写出的值．
【分析】（1）证明△BAE≌△CAF（SAS），可得∠ABC＝∠ACF＝60°；
（2）①如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT．证明△BDE≌△TCF（SAS），可得结论；
②如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，由（2）可知，点F在CD的垂直平分线上，当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，证明△ADF≌△HED（AAS），推出AD＝EH＝BC，可得结论．
解：（1）如图1中，
∵△ABC，△AEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，AB＝AC，AE＝AF，
即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF＝60°；
（2）①证明：如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT．
∵BD＝AD，BT＝CT，AB＝BC，
∴BD＝BT，
∵∠B＝60°，
∴△BDT是等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，
∴同法可证，△BDE≌△TDF（SAS），
∴BE＝FT，∠B＝∠DTF＝60°，
∵∠BTD＝60°，
∴∠FTC＝∠B＝60°，
∵BD＝TC，∠B＝∠FTC，BE＝TF，
∴△BDE≌△TCF（SAS），
∴DE＝CF，
∵EF＝DE，
∴FE＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC；
②解：如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H
∵DF＝EF＝CF，
∴点F在CD的垂直平分线上，
∴当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI＝BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE＝180°，∠BED+60°+∠BDE＝180°，
∴∠ADF＝∠BED，
在△ADF和H△DE中，
，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE＝AD＝AB＝BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D为AB中点，DH∥AI，
∴BH＝BI＝BC，BE＝BC，
∴＝．
24．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．
（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；
（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．
①求证：CE＝CF；
②求证：点D是AF的中点；
③求证：S△ACD＝S△BCE．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥y轴于点H．证明△AHC≌△COB（AAS），可得AH＝OC＝4，CH＝OB＝8，可得结论；
（2）①证明△ECA≌△FCB（ASA），可得结论；
②如图2中，过点F作FN⊥CD于点N，过点A作AM⊥CD于点M．利用三次全等解决问题即可；
③设OE＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示出两个三角形的面积，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥y轴于点H．
∵点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），
∴OC＝4，OB＝8，
∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACH＝∠CBO，
在△AHC和△COB中，
，
∴△AHC≌△COB（AAS），
∴AH＝OC＝4，CH＝OB＝8，
∴OH＝CH﹣CO＝8﹣4＝4，
∴A（﹣4，﹣4）；
（2）证明：①如图2中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBF＝45°，
∵AE⊥AB，
∴∠EAC＝∠CAB＝∠CBF＝45°，
∴CE⊥CF，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠FCB，
在△ECA和△FCB中，
，
∴△ECA≌△FCB（ASA），
∴CE＝CF；
②如图2中，过点F作FN⊥CD于点N，过点A作AM⊥CD于点M．
∵∠ECF＝∠EOC＝∠CNF＝90°，
∴∠ECO+∠FCN＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ECO＝∠CFN，
在△EOC和△CNF中，
，
∴△EOC≌△CNF（AAS），
∴OC＝FN，
同法可证，△BOC≌△CMA（AAS），
∴OC＝AM，
在△FND和△AMD中，
，
∴△FND≌△AMD，
∴DF＝AD；
③设OE＝a，OB＝b，OC＝c，
∵△EOC≌△CNF，△BOC≌△CMA，
∴CN＝OE＝a，CM＝OB＝b，OC＝AM＝c，
∴MN＝b﹣a，
∵△FND≌△AMD，
∴DN＝DM＝（b﹣a），
∴CD＝DN+CN＝（a+b），
∵S△ACD＝•CD•AM＝•（a+b）•AM＝（a+b）•c，S△BCE＝•EB•CO＝（a+b）•OC＝（a+b）•c，
∴S△ACD＝S△ECB．
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