2021-2022学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑

1．（3分）在△ABC中，AB＝3cm，BC＝7cm，若AC的长为整数，则AC的长可能是（　　）

A．10cm B．5cm C．4cm D．2cm

2．（3分）如图，△ABC≌△DBC，则∠ACB的对应角是（　　）

A．∠DCB B．∠ABC C．∠DBC D．∠BAC

3．（3分）如图中为轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

5．（3分）点P（﹣6，﹣5）关于x轴对称的点P′的坐标为（　　）

A．（6，﹣5） B．（﹣6，5） C．（6，5） D．（﹣6，﹣5）

6．（3分）如图，将△ABC向右平移acm（a＞0）得到△DEF，连接AD，若△ABC的周长是36cm，则四边形ABFD的周长是（　　）

A．（36+a）cm B．（72+a）cm C．（36+2a）cm D．（72+2a）cm

7．（3分）已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（　　）

A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8

8．（3分）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

9．（3分）下列有四个命题：

①如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等，

②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，

③如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等，

④如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．

其中说法正确的个数（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（3分）如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数1，3，6，10，…，记着a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝10，…，若a16﹣2an+n2＝a14（n为正整数），则n的值为（　　）

A．28 B．29 C．30 D．31

二、填空题（共6小题，每小题3，共18分）

11．（3分）平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，它有 　   　条对称轴．

12．（3分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，则∠B＝　   　．

13．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，E为DF的中点，FC∥AB，若BD＝3，FC＝8，则AB＝　   　．

14．（3分）如图，点C关于OA，OB的对称点分别为E、F，连EF，分别交OA、OB于G、H，若EF＝9，设△CGH的周长为a（a＞0），则将点P（a，﹣6）向上平移5个单位后的点P′的坐标为 　   　．

15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8，DE＝5，则△BCD的面积为 　   　．

16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②AD＝OE+OF；③若BD＝3，AG＝8，则AB＝11；④S△ACD：S△ABD＝CD：BD．其中正确的结论是 　   　．（只填写序号）

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）如图；以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（1，1）．

（1）直接写出点B，C，D的坐标．

（2）直接写出图中点A、点C关于y轴对称的点．

18．（8分）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．

（1）从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？

（2）从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？

19．（8分）如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B．求证：AD＝BE．

20．（8分）已知：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D．

（1）请探究∠BOC的度数与∠BDC的度数有什么数量关系？并证明你的结论．

（2）若△ABC的三个外角平分线的交点为D、E、F，请判断△DEF是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形？并证明你的结论．

21．（8分）已知：如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（6，0），C（1，0）．

（1）画出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣1）对称的△A1B1C1并直接写出点A1，B1，C1的坐标．

（2）若△PBC与△ABC全等，请在图中画出所有符合条件的△PBC（点P与点A重合除外），并直接写出点P的坐标．

22．（10分）已知：AD＝AC，AB＝AE，AD交BC于点F．

（1）如图1，若∠BAD＝∠CAE，设DE交BC于点N，交AC于点M，求证：∠AMD＝∠AFC．

（2）如图2，若∠BAC+∠DAE＝180°，且点F为BC的中点时，线段DE与线段AF之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明．

23．（10分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）如图1，若AB＝6，BC＝8，则S△ABD：S△BDC＝　   　．（直接写出结果）

（2）如图2，点P为BD延长线上的一点，PG⊥AC于点G，当∠A＝∠C+42°时，求∠P的度数．

（3）如图3，CM平分∠ACB的外角交BD的延长线于点M，连AM，点N是BC延长线上的一点且MA＝MN，请探究∠MNB与∠BMC之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．

24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，连AB．

（1）已知：OA＝OB．

①如图1，点C（3，0），连BC，过点A作AE⊥BC于点E，AE交OB于点F，若OA＝8，求线段BF的长．

②如图2，点G（4，3），连AG，OG，过点B作BP⊥AG于点P，过点O作OH⊥OG交BP的延长线于点H，求点H关于x轴或y轴对称的点的坐标．

（2）我们都知道，一副三角板一般都有两个不同的三角板，其中的一个如图三角板，其特点之一是两条直角边a，b满足a＝b，我们称它是等腰直角三角板．这样的三角形我们称它是等腰直角三角形．如图3，点D为△AOB的内角平分线的交点，过点D作DN⊥AB于点N，连DB，过点D作DM⊥BD交x轴于点M，若DN，求（BO﹣OM）的值．

2021-2022学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑

1．（3分）在△ABC中，AB＝3cm，BC＝7cm，若AC的长为整数，则AC的长可能是（　　）

A．10cm B．5cm C．4cm D．2cm

【解答】解：根据三角形的三边关系可得：7﹣3＜AC＜7+3，

解得：4＜AC＜10，

∵AC的长为整数，

∴AC＝5，6，7，8，9，

故选：B．

2．（3分）如图，△ABC≌△DBC，则∠ACB的对应角是（　　）

A．∠DCB B．∠ABC C．∠DBC D．∠BAC

【解答】解：∵△ABC≌△DBC，

∴∠ACB＝∠DCB，

故选：A．

3．（3分）如图中为轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：D．

4．（3分）若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

【解答】解：180°﹣120°＝60°，

360°÷60°＝6．

故选：C．

5．（3分）点P（﹣6，﹣5）关于x轴对称的点P′的坐标为（　　）

A．（6，﹣5） B．（﹣6，5） C．（6，5） D．（﹣6，﹣5）

【解答】解：点P（﹣6，﹣5）关于x轴对称的点P′的坐标为（﹣6，5），

故选：B．

6．（3分）如图，将△ABC向右平移acm（a＞0）得到△DEF，连接AD，若△ABC的周长是36cm，则四边形ABFD的周长是（　　）

A．（36+a）cm B．（72+a）cm C．（36+2a）cm D．（72+2a）cm

【解答】解：∵将周长为36cm的△ABC沿边BC向右平移a个单位得到△DEF，

∴AD＝a，BF＝BC+CF＝BC+a，DF＝AC，

又∵AB+BC+AC＝36cm，

∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝a+AB+BC+a+AC＝（36+2a）（cm）．

故选：C．

7．（3分）已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距等于8，点N是OB边上的任意一点，则下列选项中正确的是（　　）

A．MN≥8 B．MN≤8 C．MN＞8 D．MN＜8

【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于8，

∴点M到OB的距离为8，

∵点N是OB边上的任意一点，

∴MN≥8．

故选：A．

8．（3分）如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

【解答】解：如图．

由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4＝230°．

∴∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．

∵∠8＝∠6+∠7，

∴∠5+∠8＝130°．

∴∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝180°﹣130°＝50°．

故选：C．

9．（3分）下列有四个命题：

①如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等，

②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，

③如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等，

④如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．

其中说法正确的个数（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等，错误，三角形全等，必须有一条边相等．

②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，错误，斜边对应相等时，两个直角三角形不一定全等．

③如果两个三角形有两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等，错误SSA，两个三角形不一定全等．

④如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．正确．

故选：A．

10．（3分）如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数1，3，6，10，…，记着a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝10，…，若a16﹣2an+n2＝a14（n为正整数），则n的值为（　　）

A．28 B．29 C．30 D．31

【解答】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，

∴a16136，a14105，

∵a16﹣2an+n2＝a14，

∴136﹣2n2＝105，

解得n＝31．

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3，共18分）

11．（3分）平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，它有 　2　条对称轴．

【解答】解：根据轴对称图形的定义，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形有2条对称轴．

故答案为：2．

12．（3分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，则∠B＝　60°　．

【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，

∴∠C＝∠B+10°＝∠A+20°，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+20°）＝180°，

解得：∠A＝50°，

∴∠B＝60°；

故答案为：60°．

13．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，E为DF的中点，FC∥AB，若BD＝3，FC＝8，则AB＝　11　．

【解答】解：∵FC∥AB，

∴∠A＝∠ECF，

∵E为DF的中点，

∴DE＝FE，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD＝CF＝8，

∴AB＝AD+BD＝8+3＝11，

故答案为：11．

14．（3分）如图，点C关于OA，OB的对称点分别为E、F，连EF，分别交OA、OB于G、H，若EF＝9，设△CGH的周长为a（a＞0），则将点P（a，﹣6）向上平移5个单位后的点P′的坐标为 　（9，﹣1）　．

【解答】解：∵点C关于OA，OB的对称点分别为E、F，

∴OA是CE的垂直平分线，OB是CF的垂直平分线，

∴GE＝GC，HC＝HF，

∴EF＝EG+G+HF＝GC+GH+HC＝△CGH的周长，

∴a＝9，

∴点P（9，﹣6）向上平移5个单位后的点P′的坐标为（9，﹣1）．

故答案为：（9，﹣1）．

15．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8，DE＝5，则△BCD的面积为 　　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ECA＝90°，

∵AD⊥CE于D，

∴∠CAD+∠ECA＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE．

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴BE＝CD，CE＝AD＝8，

∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣5＝3，

∴S△CDBCD•BE3×3．

故答案为．

16．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②AD＝OE+OF；③若BD＝3，AG＝8，则AB＝11；④S△ACD：S△ABD＝CD：BD．其中正确的结论是 　①③④　．（只填写序号）

【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，

∴∠ABO＝∠CBO∠ABC，∠BAO＝∠CAO∠BAC，

∴∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣45°＝135°，

∴∠BOD＝45°，故①正确；

∵OF⊥AD，

∴∠DOF＝90°，

∴∠BOF＝135°，

∴∠BOF＝∠BOA，

又∵BO＝BO，∠ABO＝∠FBO，

∴△ABO≌△FBO（ASA），

∴AO＝FO，AB＝BF，

∵∠ADC+∠DAC＝90°＝∠ADC+∠F，

∴∠F＝∠DAC，

又∵∠AOF＝∠FOD＝90°，

∴△AOG≌△FOD（ASA），

∴OD＝OG，DF＝AG，

∴AD＝AO+OD＝OF+OG，

∵∠BEC＝90°﹣∠EBC，∠OGE＝∠CGF﹣90°﹣∠F，

∴∠BEC≠∠OGE，

∴OG≠OE，

∴AD≠OF+OE，故②错误；

∵BD＝3，AG＝DF＝8，

∴BF＝11，

∴AB＝11，故③正确；

∵S△ACDCD×AC，S△ABDBD×AC，

∴S△ACD：S△ABD＝CD：BD，故④正确；

故答案为①③④．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）如图；以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（1，1）．

（1）直接写出点B，C，D的坐标．

（2）直接写出图中点A、点C关于y轴对称的点．

【解答】解：（1）如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（1，1），

∴点B、C、D的坐标分别为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）；

（2）点A、点C关于y轴对称的点分别是点D、点B．

18．（8分）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．

（1）从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？

（2）从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？

【解答】解：（1）由题意可知，∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC＝40°，

∵DA∥BE，

∴∠DAB+∠EBA＝180°，

∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，

∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；

（2）过点C作CF∥DA，则CF∥EB，

∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，

∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．

19．（8分）如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B．求证：AD＝BE．

【解答】证明：∵点C是线段AB的中点，

∴AC＝CB，

∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，

∴DC＝EC，

∵DA⊥AB，EB⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），

∴AD＝BE．

20．（8分）已知：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D．

（1）请探究∠BOC的度数与∠BDC的度数有什么数量关系？并证明你的结论．

（2）若△ABC的三个外角平分线的交点为D、E、F，请判断△DEF是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形？并证明你的结论．

【解答】解：（1）∠BOC+∠BDC＝180°，理由如下：

如图所示：

∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，

∴∠3∠ABC，∠4∠ACB，

∴∠BOC＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A；

由题意得：∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，

∵∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，

∴∠1∠EBC（∠A+∠ACB），

∠2∠FCB（∠A+∠ABC），

∴∠1+∠2（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC）＝∠A（∠ACB+∠ABC）＝∠A+90°∠A＝90°∠A，

∴∠BDC＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°∠A，

∴∠BOC+∠BDC＝90°∠A+90°∠A＝180°；

（2）△DEF是锐角三角形，理由如下：

如图所示：

由题意得：∠GBC＝∠BAC+∠ACB，∠HCB＝∠BAC+∠ABC，

∵∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，

∴∠1∠GBC（∠BAC+∠ACB），

∠2∠HCB（∠BAC+∠ABC），

∴∠1+∠2（∠BAC+∠ACB）（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC（∠ACB+∠ABC）＝∠BAC+90°∠BAC＝90°∠BAC，

∴∠D＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°∠BAC；

同理可得：∠E＝90°∠ABC，∠F＝90°∠ACB，

∴∠D，∠E，∠F都是锐角，

故△DEF是锐角三角形．

21．（8分）已知：如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（6，0），C（1，0）．

（1）画出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣1）对称的△A1B1C1并直接写出点A1，B1，C1的坐标．

（2）若△PBC与△ABC全等，请在图中画出所有符合条件的△PBC（点P与点A重合除外），并直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）如图所示：

A1（﹣4，3），B1（﹣3，0），C1（﹣8，0）；

（2）点P坐标分别为（2，﹣3），（5，﹣3），（5，3）．

22．（10分）已知：AD＝AC，AB＝AE，AD交BC于点F．

（1）如图1，若∠BAD＝∠CAE，设DE交BC于点N，交AC于点M，求证：∠AMD＝∠AFC．

（2）如图2，若∠BAC+∠DAE＝180°，且点F为BC的中点时，线段DE与线段AF之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明．

【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，

∴∠BAC＝∠EAD，

在△BAC和△EAD中，

，

∴△BAC≌△EAD（SAS），

∴∠C＝∠D，

∵∠DNF＝∠CNM，

∴∠DFN＝∠CMN，

∴∠AFC＝∠AMD；

（2）解：DE＝2AF．

证明：延长AD至G，使AF＝GF，连接CG，

∵F为BC的中点，

∴BF＝CF，

在△AFB和△GFC中，

，

∴△AFB≌△GFC（SAS），

∴AB＝GC，∠BAF＝∠CGF，

∴AB∥CG，

∴∠BAC+∠ACG＝180°，

∵∠BAC+∠DAE＝180°，

∴∠ACG＝∠DAE，

∵AB＝AE，

∴AE＝CG，

在△DAE和△ACG中，

，

∴△DAE≌△ACG（SAS），

∴DE＝AG＝2AF，

∴DE＝2AF．

23．（10分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）如图1，若AB＝6，BC＝8，则S△ABD：S△BDC＝　3：4　．（直接写出结果）

（2）如图2，点P为BD延长线上的一点，PG⊥AC于点G，当∠A＝∠C+42°时，求∠P的度数．

（3）如图3，CM平分∠ACB的外角交BD的延长线于点M，连AM，点N是BC延长线上的一点且MA＝MN，请探究∠MNB与∠BMC之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．

【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，

∵BD平分∠ABC交AC于点D．

∴DE＝DF，

∴S△ABDAB•DE，S△BDCBC•DF，

∴S△ABD：S△BDC＝AB：BC＝6：8＝3：4，

故答案为：3：4；

（2）设∠C＝x，则∠A＝∠C+42°＝x+42°，

∴∠ABC＝180°﹣（∠A+∠C）＝138°﹣2x，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝69°﹣x，

∴∠PDG＝∠C+∠CBD＝x+69°﹣x＝69°，

∵PG⊥AC，

∴∠PGD＝90°，

∴∠P＝90°﹣∠PDG＝21°；

（3）∠MNB＝90°﹣∠BMC．

证明：如图3，过点M作MG⊥BN于点G，MQ⊥AC于点Q，ME⊥BA，交BA延长线于点E，

∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACN，

∴ME＝MG＝MQ，

又∵MA＝MN，

∴Rt△MAE≌Rt△MNG（HL），

∴∠MNG＝∠MAE，

∵ME＝MQ，MQ⊥AC，ME⊥BA，

∴AM平分∠EAC，

∵∠MCN﹣∠MBC＝∠BMC，

∴2∠MCN﹣2∠MBC＝2∠BMC，即∠ACN﹣∠ABC＝2∠BMC，

∴∠BAC＝∠ACN﹣∠ABC＝2∠BMC，

则∠MAE＝∠MAC＝∠MNB∠EAC（180°﹣∠BAC）（180°﹣2∠BMC）＝90°﹣∠BMC，

∴∠MNB＝90°﹣∠BMC．

24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，连AB．

（1）已知：OA＝OB．

①如图1，点C（3，0），连BC，过点A作AE⊥BC于点E，AE交OB于点F，若OA＝8，求线段BF的长．

②如图2，点G（4，3），连AG，OG，过点B作BP⊥AG于点P，过点O作OH⊥OG交BP的延长线于点H，求点H关于x轴或y轴对称的点的坐标．

（2）我们都知道，一副三角板一般都有两个不同的三角板，其中的一个如图三角板，其特点之一是两条直角边a，b满足a＝b，我们称它是等腰直角三角板．这样的三角形我们称它是等腰直角三角形．如图3，点D为△AOB的内角平分线的交点，过点D作DN⊥AB于点N，连DB，过点D作DM⊥BD交x轴于点M，若DN，求（BO﹣OM）的值．

【解答】解：（1）①∵点C（3，0），

∴OC＝3，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠AOB＝90°，

∴∠ACB+∠CBO＝90°＝∠ACB+∠EAC，

∴∠CBO＝∠EAC，

又∵AO＝BO，∠AOF＝∠BOC＝90°，

∴△AOF≌△BOC（ASA），

∴OC＝OF＝3，

∴OA＝OB＝8，

∴BF＝5；

②∵BP⊥AG，OH⊥OG，

∴∠BPA＝∠AOB＝∠GOH＝90°，

∴∠AOG＝∠BOH，

∵∠BAP+∠ABO+∠PAO＝90°，∠BAP+∠ABO+∠PBO＝90°，

∴∠PAO＝∠PBO，

又∵OA＝OB，

∴△AOG≌△BOH（ASA），

∴OG＝OH，

如图2，过点G作GM⊥x轴于M，点H作HN⊥y轴于N，

∴∠GMO＝∠HNO＝90°，

∵点G（4，3），

∴GM＝3，OM＝4，

∵∠GOH＝∠MON＝90°，

∴∠GOM＝∠HON，

又∵OG＝OH，

∴△GOM≌△HON（AAS），

∴HN＝GM＝3，OM＝ON＝4，

∴点H（3，﹣4），

∴点H关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣4），点H关于y轴对称的点的坐标为（3，4）；

（2）如图3，过点D作DF⊥OB于F，DE⊥AO于E，

∵点D为△AOB的内角平分线的交点，DN⊥AB，DF⊥OB，DE⊥AO，

∴DE＝DN＝DF，

∵DF⊥OB，DE⊥AO，

∴∠DEO＝∠DFO＝90°＝∠EOF，

∴四边形DFOE是矩形，

∴∠EDF＝∠BDM＝90°，OE＝DF，DE＝OF，

∴∠BDF＝∠EDM，

又∵DE＝DF，∠DFB＝∠DEM，

∴△DME≌△DBF（AAS），

∴EM＝BF，

∴BO﹣OM＝BF+OF﹣OM＝EO+OM+OF﹣OM＝2．