2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷1，共49页。试卷主要包含了数学课上，老师给出了如下问题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•丰台区期中）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三边垂直平分线的交点
2．（2019秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝6，CE＝5，则AC的长为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
4．（2021秋•海淀区校级期中）如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNE、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（　　）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
5．（2021秋•朝阳区校级期中）数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AB+CD＝AD．
小明是这样想的：要证明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一点F，再试图说明AF＝AB，DF＝CD即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点E作EF⊥AD交AD于点F；
②作EF＝EC，交AD于点F；
③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB+CD＝AD”的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
7．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
8．（2021秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BC＝2，AE＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．16 B．18 C．25 D．36
9．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F．下列结论错误的是（　　）

A．PD＝PE B．PD＝CP C．∠DPO＝∠EPO D．OD＝OE
10．（2021秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•东城区校级期中）若一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是　 　边形，它的内角和等于　 　度．
12．（2021秋•东城区校级期中）阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：
尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．
已知：∠AOB，
求作：∠A′O′B′＝∠AOB．

小米的作法如下：如图：
（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；
（5）过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是所求作的角．

老师说：“小米的做法正确．”
请回答：小米的作图依据是　 　．
13．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AC＝DF，AB＝DE，还可以添加的条件是　 　．

14．（2021秋•丰台区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AB交于点D，与AC交于点E，连接BE．如果AE＝16，那么BC＝　 　．

15．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是∠BAC内过顶点A的一条射线，作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D，E，将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，已知MN＝10，DE＝4，则BM的长度是　 　．

16．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　 　．

17．（2021秋•东城区校级期中）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝　 　°．

18．（2021秋•东城区校级期中）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰直角△CAD，使得∠DAC＝90°，连接BD，作CE⊥BD，若BE＝10，则CD＝　 　．

19．（2021秋•海淀区校级期中）下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：线段a．
求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．
作法：如图，
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；
（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的作图依据是：　 　．
20．（2021秋•海淀区校级期中）给出如下定义：点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：
①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；
②△ABC的“中立点”的个数为有限个；
③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；
④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．
所有正确结论的序号是　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，求x和y的值．

22．（2021秋•通州区期中）如图，A，B分别是线段OC，OD上的点，OC＝OD，OA＝OB．求证：△OAD≌△OBC．

23．（2021秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．

24．（2021秋•东城区期中）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是　 　≌　 　，全等的依据是　 　．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠　 　（　 　）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是　 　．

25．（2021秋•朝阳区期中）如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB＝AD，BC＝DC，两根木条的连接处是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工具的用途．
（1）小明发现用这个工具可以快速作出角平分线
在下面的几种用法中，能作出∠MON的平分线的有　 　．（写出所有正确的序号）
①OC是∠MON的平分线；②OB是∠MON的平分线；③OA是∠MON的平分线
（2）对于这个工具的其它用途，小兰发现可以用它作线段的垂直平分线．
请结合图2补全结论并给出证明．
已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC．
求证：　 　垂直平分　 　．
（3）对于这个工具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线．你同意吗？如果同意，请画示意图说明如何操作；如果不同意，请说明理由．

26．（2021秋•通州区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．

27．（2021秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE＝CF．

28．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．

29．（2021秋•朝阳区校级期中）图①、图②是4×4的正方形网格，A、B两点均在格点上．在图①、图②中各画一个顶点在格点、以AB为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等．

30．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，求BC的长．


2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•丰台区期中）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三边垂直平分线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（2019秋•丰台区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，

∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
3．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝6，CE＝5，则AC的长为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝6，再根据AC＝AE+CE即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝6，CE＝5，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+5＝11．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
4．（2021秋•海淀区校级期中）如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNE、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（　　）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】连CM，由点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到CM＝MB＝MA，∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，利用等角的余角相等得到∠AMF＝∠EMC，根据“SAS”可得△AFM≌△CEM，则S△AFM＝S△CEM，于是重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：重叠部分四边形CEMF的面积为a2．证明如下：
连CM，如图，

∵AC＝BC＝a，
∴S△ABC＝a2，
∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，
∴CM＝MB＝MA，
∴∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，
又∵△MNK为直角三角形，
∴∠EMF＝90°，
∴∠AMF＝∠EMC＝90°﹣∠CMF，
在△AFM和△CEM中，

∴△AFM≌△CEM（ASA），
∴S△AFM＝S△CEM，
∴重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB＝a2．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
5．（2021秋•朝阳区校级期中）数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AB+CD＝AD．
小明是这样想的：要证明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一点F，再试图说明AF＝AB，DF＝CD即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点E作EF⊥AD交AD于点F；
②作EF＝EC，交AD于点F；
③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB+CD＝AD”的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF＝AB，则得出结论；②作EF＝EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF＝AB．则可得出结论．
【解答】解：①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，

可得∠DFE＝90°，
则∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
②如图2，作EF＝EC，交AD于点F；

∵EF＝EC，DE＝DE，∠FDE＝∠CDE，
∴根据SSA不能证明△DEF≌△DCE，
∴这种辅助线的添加方式不能证明结论AD＝AB+CD．
③如图3，在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF，

在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（SAS）；
∴CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．
【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②不正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④
故选：B．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
7．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，

∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为8．
所以PA+PB的最小值为8．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
8．（2021秋•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BC＝2，AE＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．16 B．18 C．25 D．36
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】过点C作CF⊥DE于F，则CF＝BE，EF＝BC＝2，证△ADE≌△DCF（AAS），得DE＝CF＝BE，AE＝DF＝4，则BE＝CF＝DE＝DF+EF＝6，由三角形面积公式和矩形面积公式计算即可．
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，如图所示：
则CF＝BE，EF＝BC＝2，∠DFC＝90°，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵在△ADE与△DCF中，，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF＝BE，AE＝DF＝4，
∴BE＝CF＝DE＝DF+EF＝4+2＝6，
∴四边形ABCD的面积＝△ADE的面积+△DCF的面积+矩形BCFE的面积＝×4×6+×4×6+6×2＝36，
故选：D．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F．下列结论错误的是（　　）

A．PD＝PE B．PD＝CP C．∠DPO＝∠EPO D．OD＝OE
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据AAS证明△POE≌△POD（AAS），可得结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POE＝∠POD，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO，
在△POE和△POD中，
，
∴△POE≌△POD（AAS），
∴PE＝PD，∠EPO＝∠DPO，OE＝OD，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，EF是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线EF对称，
∴线段AB与直线EF的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝4，
∴PA+PC的最小值是4．
故选：B．

【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•东城区校级期中）若一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是　八　边形，它的内角和等于　1080　度．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】一个多边形的每一个内角都等于135°，内角与相邻的外角互补，因而每个外角是45°．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：边数是：360÷45＝8，内角和是：（8﹣2）•180＝1080°．
故答案为：八，1080．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
12．（2021秋•东城区校级期中）阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：
尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．
已知：∠AOB，
求作：∠A′O′B′＝∠AOB．

小米的作法如下：如图：
（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；
（5）过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是所求作的角．

老师说：“小米的做法正确．”
请回答：小米的作图依据是　全等三角形对应角相等　．
【考点】作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】根据作一个角等于已知角的过程可得△OCD≌△OC′D′，全等三角形的对应角相等．
【解答】解：根据作图过程可知：
在△OCD和△OC′D′中

所以△OCD≌△OC′D′（SSS）
所以∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．
故答案为：全等三角形对应角相等．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的过程．
13．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AC＝DF，AB＝DE，还可以添加的条件是　∠A＝∠D（答案不唯一）　．

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据已知条件知AC＝DF，AB＝DE．结合全等三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：还可以添加的条件是：∠A＝∠D，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
14．（2021秋•丰台区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AB交于点D，与AC交于点E，连接BE．如果AE＝16，那么BC＝　8　．

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】由垂直平分线的性质可求得BE＝EA，且可求得∠BEC＝2∠A＝30°，在Rt△BCE中可求得BC＝BE．
【解答】解：∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝16，
∴∠BCE＝2∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝BE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等求得BE的长是解题的关键．
15．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是∠BAC内过顶点A的一条射线，作BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D，E，将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，已知MN＝10，DE＝4，则BM的长度是　7　．

【考点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】计算题；图形的全等；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由折叠的性质得出AM＝AD，BM＝BD，AN＝AE，∠BDA＝∠BMA＝90°，∠AEC＝∠ANC＝90°，求出AM＝3，证明△AMB≌△CNA（AAS），由全等三角形的性质得出BM＝AN＝7．
【解答】解：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝90°，∠CEA＝90°，
∵将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，
∴△AMB≌△ADB，△ANC≌△AEC，
∴AM＝AD，BM＝BD，AN＝AE，∠BDA＝∠BMA＝90°，∠AEC＝∠ANC＝90°，
∵MN＝AM+AN＝AM+AD+DE，
∴2AM＝MN﹣DE＝10﹣4＝6，
∴AM＝3，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣3＝7，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM+∠CAN＝90°，
∵∠AMB＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAN，
在△AMB和△CNA中，
，
∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴BM＝AN＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为　　．

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝AD，CE＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴AF＝，CF＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝2﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
17．（2021秋•东城区校级期中）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝　72　°．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠B，根据平角的定义和∠1＝∠2，∠BAC＝36°，可以得到∠1的度数，从而可以得到∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝144°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝72°，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（2021秋•东城区校级期中）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰直角△CAD，使得∠DAC＝90°，连接BD，作CE⊥BD，若BE＝10，则CD＝　20　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】计算题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】过点A作AF⊥CD于点F，由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，求出∠EBC＝∠ACF＝45°，证明△BEC≌△CFA，由全等三角形的性质得出BE＝CF＝10，则可得出答案．
【解答】解：过点A作AF⊥CD于点F，

∵△CAD为等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，CA＝DA，
∴CF＝DF＝CD，∠CAF＝∠DAF＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+90°＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣15°＝45°，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ECB＝45°，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE＝CF＝10，
∴CD＝2CF＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（2021秋•海淀区校级期中）下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：线段a．
求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．
作法：如图，
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；
（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的作图依据是：　线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形　．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图．
【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意知，∵DE垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
其依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
②有两条边相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
20．（2021秋•海淀区校级期中）给出如下定义：点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：
①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；
②△ABC的“中立点”的个数为有限个；
③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；
④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．
所有正确结论的序号是　①④　．
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】对于结论①②，根据三角形的中线平分三角形的面积可判断；
对于结论③④，根据△ABC的“中立点”的定义可判断．
【解答】解：①∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；
故结论①正确；
②由①可知：三角形三条中线上的点（除顶点外）都是△ABC的“中立点”，所以△ABC的“中立点”的个数为无限个；
故结论②错误；
③根据②可知：△ABC的“中立点”有无数个，是△ABC内部所有的点；
故结论③错误；
④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．
故结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查三角形面积的运用和△ABC的“中立点”的理解和运用，需仔细分析题意，利用所给结论，结合三角形中线平分三角形面积即可解决问题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，求x和y的值．

【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出x，根据邻补角的概念计算求出y．
【解答】解：由三角形的外角性质可知，x+70＝x+x+10，
解得，x＝60，
y＝180﹣（60+70）＝50．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、邻补角的概念，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．（2021秋•通州区期中）如图，A，B分别是线段OC，OD上的点，OC＝OD，OA＝OB．求证：△OAD≌△OBC．

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据题意可得到，OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，从而可以得到△OAD≌△OBC．
【解答】证明：在△OAD和△OBC中，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（2021秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．

【考点】平行线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等边三角形的性质得出CD＝AD＝，由平行线的性质得出∠BAE＝∠ABC＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得出AE＝AB，则可得出答案．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵BD⊥AC，
∴CD＝AD＝，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC＝60°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB，
∴AE＝CD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
24．（2021秋•东城区期中）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是　△AME　≌　△ANE　，全等的依据是　 　．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠　CPA　（　两直线平行，内错角相等　）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是　角平分线上的点到角的两边的距离相等　．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形，利用画法得到AM＝AN，ME＝NE，加上AE公共，则可根据“SSS”判断△AME≌△ANE，从而得到∠MAE＝∠NAE；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质证明∠CAP＝∠BAP；
（3）根据角平分线的性质求解．
【解答】解：（1）如图1，AP为所作，
在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角），
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAP＝∠BAP，
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为△AME，△ANE，SSS；CPA，两直线平行，内错角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
25．（2021秋•朝阳区期中）如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB＝AD，BC＝DC，两根木条的连接处是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工具的用途．
（1）小明发现用这个工具可以快速作出角平分线
在下面的几种用法中，能作出∠MON的平分线的有　①③　．（写出所有正确的序号）
①OC是∠MON的平分线；②OB是∠MON的平分线；③OA是∠MON的平分线
（2）对于这个工具的其它用途，小兰发现可以用它作线段的垂直平分线．
请结合图2补全结论并给出证明．
已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC．
求证：　AC　垂直平分　BD　．
（3）对于这个工具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线．你同意吗？如果同意，请画示意图说明如何操作；如果不同意，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）由“SSS“可证△ACD≌△ACB，可得结论；
（2）由线段垂直平分线的判定可求解；
（3）两次运用上述操作，可得BD垂直平分AC，BD垂直平分EF，可得EF∥AC．
【解答】解：（1）由第一个图和第三个图中，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠ACB，
∴①③正确，
故答案为：①③，
（2）已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC，求证：AC垂直平分BD，

证明：∵AB＝AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵BC＝DC，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为：AC，BD；
（3）可以，
如图3，

由（2）可知：BD垂直平分AC，BD垂直平分EF，
∴AC⊥BD，EF⊥BD，
∴AC∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
26．（2021秋•通州区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，证得△CEF为等边三角形，得出∠F＝∠CEF＝60°，证明△ADB≌△DEF（AAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠EDF；
（2）全等三角形的性质得出由AB＝DF，BD＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）解：AB＝CD+CE．
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴AB＝CD+CE．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
27．（2021秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE＝CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】想办法证明△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
28．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD是△AEC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）E是边AC上一点，DE∥AB，作AC边上的高BF，根据题意补全图形判断∠CBF和∠ADE的数量关系，并说明理由．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）证明AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（2）结论：∠CBF＝∠ADE．证明∠CBF＝∠DAC，∠ADE＝∠DAC，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．

（2）结论：∠CBF＝∠ADE．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AB∥DE，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAC，
∵BF⊥CF，
∴∠BFC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBF＝∠DAC，
∴∠CBF＝∠ADE．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，同角的余角相等，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用同角的余角相等，证明角相等．
29．（2021秋•朝阳区校级期中）图①、图②是4×4的正方形网格，A、B两点均在格点上．在图①、图②中各画一个顶点在格点、以AB为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等．

【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【解答】解：如图，△ABC即为所求作（答案不唯一）．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，求BC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．
【解答】解：如图，延长AB、CD交于点E．

∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝2CD＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．

考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
5．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
11．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
12．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
13．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
19．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．　　（3）作已知线段的垂直平分线．　　（4）作已知角的角平分线．　　（5）过一点作已知直线的垂线．
20．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
22．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
23．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．