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2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷3
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2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•朝阳区校级期中）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（ ）
A．0.85m长的木条 B．0.15m长的木条
C．1m长的木条 D．0.5m长的木条
2．（2019秋•西城区校级期中）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
3．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，给出下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①若AB＝AC，AD⊥BC，则∠1＝∠2； ②若AB＝AC，∠1＝∠2，则BD＝DC；
③若AB＝AC，BD＝DC，则AD⊥BC；④若AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则∠1＝∠3；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
5．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，那么PD＝（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
6．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在∠AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于OB对称，若∠AOB＝45°，则△OP1P2是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，∠A＝28°，∠B＝45°，BC⊥DE于O，则∠D＝（ ）
A．17° B．27° C．32° D．45°
8．（2021秋•东城区校级期中）已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．给出下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③EF⊥AD；④图中共有5对全等三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021秋•西城区校级期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图，根据图形全等的知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•朝阳区校级期中）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为 ．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝ ，BE＝ ．
13．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为 ．
14．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC的角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，AB＝5，AC＝4，△AEF的周长为 ．
15．（2021秋•东城区校级期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为 ．
16．（2021秋•东城区校级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是 ．
17．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A1B1A2的边长为 ，△AnBnAn+1的边长为 ．
18．（2021秋•西城区校级期中）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC＝x°，则∠BFC的大小是 °．（用含x的式子表示）
19．（2021秋•海淀区校级期中）等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为 ．
20．（2021秋•西城区校级期中）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2
①在射线OA上截取线段OB＝a；
②分别以点O，点B为圆心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；
③连接CD，交OB于点E；
④在直线CE上截取线段EF＝b；
⑤连接OF，BF．
△OBF即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ ，OD＝ ，
∴CD是线段OB的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
求证：（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．
23．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，△ABC，
求作：一点P，使P到边BC两端点的距离相等，且点P到∠BAC的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
24．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
25．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M、OB于N．如果P′P″＝5cm，△PMN的周长为l，∠MPN度数为α，请根据以上信息完成作图，并算出l和α的值．
26．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，交BC延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．
27．（2021秋•西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连接AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．
28．（2019秋•海淀区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
29．（2021秋•东城区校级期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若A（﹣2，0），B（0，1），直接写出C点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索CD与AM的数量关系，并证明；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•朝阳区校级期中）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（ ）
A．0.85m长的木条 B．0.15m长的木条
C．1m长的木条 D．0.5m长的木条
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，应满足三角形的三边关系定理：任意两边之和＞第三边．
【解答】解：设三角形的第三边长为xm，由题意得：
0.5﹣0.35＜x＜0.5+0.35，
解得：0.15＜x＜0.85
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系定理，即任意两边之和＞第三边．
2．（2019秋•西城区校级期中）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由三角形内角和定理可求第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：由图形可得：第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵两个三角形全等，
∴α＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
3．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，给出下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①若AB＝AC，AD⊥BC，则∠1＝∠2； ②若AB＝AC，∠1＝∠2，则BD＝DC；
③若AB＝AC，BD＝DC，则AD⊥BC；④若AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则∠1＝∠3；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，①是真命题；
∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴BD＝DC，②是真命题；
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，③是真命题；
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠2+∠C＝90°，∠3+∠C＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，④是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形．
【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．
【解答】解：根据题意得：D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．
故选：B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，那么PD＝（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的定义可得∠AOB＝2∠AOP，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝PC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝×6＝3，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
6．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在∠AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于OB对称，若∠AOB＝45°，则△OP1P2是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；等腰直角三角形；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据轴对称的性质可得OP＝OP1＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，然后求出∠P1OP2＝2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】解：∵P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，
∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，
∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠AOP+∠BOP2+∠BOP＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2×45°＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键．
7．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，∠A＝28°，∠B＝45°，BC⊥DE于O，则∠D＝（ ）
A．17° B．27° C．32° D．45°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】首先根据三角形的外角的性质可得∠BCD的度数，再根据三角形的内角和可得∠D．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝45°，
∴∠BCD＝28°+45°＝73°．
∵BC⊥DE于O，
∴∠DOC＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣73°＝17°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题关键．
8．（2021秋•东城区校级期中）已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为30°，根据直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半，即可求得腰上的高的长．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，
∵∠B＝15°，AB＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∵CD为AB上的高，AC＝8，
∴CD＝AC＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
9．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．给出下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③EF⊥AD；④图中共有5对全等三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】①由AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据余角的性质，即可证得DA平分∠EDF；
②由在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，即可得AE＝AF，DE＝DF；
③由线段的垂直平分线的判定可得EF⊥AD；
④由全等三角形的判定方法，即可证得图中共有5对全等三角形．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣∠BAD，∠ADF＝90°﹣∠CAD，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴DA平分∠EDF，故①正确；
②∵AD是△ABC的平分线，DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE＝AF，DE＝DF，故②正确；
③∵AE＝AF，DE＝DF，
∴EF⊥AD，故③正确；
④如图，设AD与EF交于点O，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
在Rt△BED和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS）；
在△EDO和△FDO中，
，
∴△EDO≌△FDO（SAS）；
∴图中共有5对全等三角形，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（2021秋•西城区校级期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图，根据图形全等的知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
在△OCD与△O′C′D′中，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•朝阳区校级期中）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为 65°或115° ．
【考点】垂线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】此题可以分两种情况讨论得出结果．
【解答】解：如图：
图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，∠1＝65°，所以∠1＝∠2＝65°；
图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣∠1＝180°﹣65°＝115°．
综上所述，另一个角为65°或115°．
故答案为：65°或115°．
【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝ 4cm ，BE＝ 2cm ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得BD＝BC，根据∠B＝60°，可得∠BDE＝30°，根据直角三角形中特殊角的正弦值可求得BE的长，即可解题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝BC，
∵AB＝8cm，
∴BD＝4cm，
∵等边三角形各内角为60°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝BD＝×4cm＝2cm．
故答案为：4cm，2cm．
【点评】本题考查了等边三角形三线合一的性质，特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据特殊角的三角函数值求BE的长是解题的关键．
13．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为 13 ．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝6，再根据AC＝AE+CE即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝7，
∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
14．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC的角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，AB＝5，AC＝4，△AEF的周长为 9 ．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由平行线的性质和角平分线定义可得∠EDB＝∠EBD，证出ED＝EB，同理可得FD＝FC，则AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AB+AC，可求得△AEF的周长．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
同理可得：FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+4＝9；
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识；证出BE＝DE，DF＝CF是解题的关键．
15．（2021秋•东城区校级期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为 22.5° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，再根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA＝2：1，∠C＝90°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝∠A+∠A+2∠A＝90°，
解得∠A＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．
16．（2021秋•东城区校级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是 BF＝CE或BC＝EF或AC＝DF或∠ACB＝∠EFD或AC∥DF或∠B＝∠E或AB∥DE ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：根据HL，添加BC＝EF或BF＝CE，可得△ABC≌△DEF，
根据SAS，添加AC＝DF，可得△ABC≌△DEF，
根据AAS，添加∠ACB＝∠DFE或AC∥DF，可得△ABC≌△DEF，
根据ASA，添加∠B＝∠E或AB∥DE，可得△ABC≌△DEF，
故答案为BF＝CE或BC＝EF或AC＝DF或∠ACB＝∠EFD或AC∥DF或∠B＝∠E或AB∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A1B1A2的边长为 2 ，△AnBnAn+1的边长为 2n ．
【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案．
【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，即△A1B1A2的边长为2；
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠10＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝4＝22，B3A3＝2B2A3＝8＝23，
同理得A4B4＝8B1A2＝16＝24，A5B5＝16B1A2＝32＝25，
∴△AnBnAn+1的边长为2n，
故答案为：2，2n．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2是解题的关键．
18．（2021秋•西城区校级期中）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC＝x°，则∠BFC的大小是 （180﹣2x） °．（用含x的式子表示）
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝x，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2x，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣x，则∠C′+2x＝180°﹣∠B′﹣x，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC＝∠C＝x+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝180°﹣2x．
【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝x，
∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2x，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB＝∠C′MC，
∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣x，
∴∠C′+2x＝180°﹣∠B′﹣x，
∴∠C′+∠B′＝180°﹣3x，
∵∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B′＝x+∠ACD+∠B′＝x+∠C′+∠B′＝x+180°﹣3x＝180°﹣2x．
故答案为：（180﹣2x）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．
19．（2021秋•海淀区校级期中）等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为 100°或80° ．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝80°，
∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°．
②当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝80°，
∴∠DHE＝100°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
故答案为100°或80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2021秋•西城区校级期中）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 k＝2或k≥4 ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围．
【解答】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，即△AOB的形状与大小是唯一的；
以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，即△AOB'的形状与大小是唯一的；
综上所述，k的取值范围是k＝2或k≥4．
故答案为：k＝2或k≥4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2
①在射线OA上截取线段OB＝a；
②分别以点O，点B为圆心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；
③连接CD，交OB于点E；
④在直线CE上截取线段EF＝b；
⑤连接OF，BF．
△OBF即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ BC ，OD＝ BD ，
∴CD是线段OB的垂直平分线．（ 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到OC＝BC，OD＝BD，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得到CD⊥OB．
【解答】解：（1）如图，△OBF即为所求；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝BC，OD＝BD，
∴CD是线段OB的垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
故答案为BC，BD；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
求证：（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得DM＝DN，即可证Rt△ADN≌Rt△BDM；
（2）由题意可证：Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CM＝CN，由AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝BC＝2CM，可得CM的长．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DN＝DM，
∵∠DBM＝∠DAN，∠AND＝∠BMD，ND＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）；
（2）∵DC＝DC，DN＝DM，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）
∴CM＝CN，
∵Rt△ADN≌Rt△BDM，
∴BM＝AN，
∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝2，
∴，1+2CM＝2，
∴CM＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，△ABC，
求作：一点P，使P到边BC两端点的距离相等，且点P到∠BAC的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；应用意识．
【分析】作线段BC的垂足平分线MN，作∠BAC的角平分线AQ，AQ交MN于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）求出∠B＝∠CAE，AC＝AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠CAE＝∠ACB＝60°，AC＝AB，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠BAD＝∠CAE＝60°，
∵∠FDG＝60°，
∴△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M、OB于N．如果P′P″＝5cm，△PMN的周长为l，∠MPN度数为α，请根据以上信息完成作图，并算出l和α的值．
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；应用意识．
【分析】连接OP，由对称的性质得：OA、OB分别是PP′和PP″的中垂线，由中垂线的性质得：PM＝P′M，PN＝P′N，P′O＝PO，PO＝P″O，再根据等腰三角形三线合一的性质求出∠P′OP″的度数，同时求出l的长，再根据对称性求出α即可．
【解答】解：根据信息完成作图，如图所示，连接OP，OP′，OP″．
∵P与P′关于OA对称，
∴OA是PP′的中垂线，
∴P′M＝PM，P′O＝PO，
同理得：PN＝P″N，PO＝P″O，
∴∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠AOB＝2×40°＝80°，
∴△PMN的周长＝l＝PM+PN+MN＝P′M+P″N+MN＝P′P″＝5cm，
∴OP′＝OP″，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝50°，
∵∠OP′M＝∠OPM，∠OP″N＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP′M+∠OP″N＝100°，
∴α＝100°，l＝5cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质、中垂线的性质、等腰三角形三线合一的性质，明确对称轴是对称点连线的中垂线是关键，并熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，这在等腰三角形中经常运用．
26．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，交BC延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】首先证明∠AEF＝∠AFE，再利用三角形的外角的性质证明∠G＝（∠ACB﹣∠B），即可解决问题
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG⊥AD，
∴∠AHF＝∠ANE＝90°，
∵∠AEF+∠BAD＝90°，∠AFH+∠CAD＝90°，
∴∠AEF＝∠AFH，
∵∠ACB＝∠G+∠CFG，∠AEF＝∠B+∠G，∠CFG＝∠AFE，
∴∠ACB﹣∠G＝∠B+∠G，
∴∠G＝（∠ACB﹣∠B），
∵∠B＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠G＝15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
27．（2021秋•西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连接AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】先证明△APB≌△QAC，得∠BAP＝∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF＝90°即可得AP⊥AQ．
【解答】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，
∵∠CQA+∠QAF＝90°，
∴∠BAP+∠QAF＝90°．
即AP⊥AQ
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
28．（2019秋•海淀区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】根据BE＝CF得到BF＝CE，又AB＝DC，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】解：△OEF的形状为等腰三角形．
理由如下：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
．
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠DEC．
∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
29．（2021秋•东城区校级期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
【考点】等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】利用①④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求解∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
【解答】解：①④作为已知条件，证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，灵活运用等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若A（﹣2，0），B（0，1），直接写出C点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索CD与AM的数量关系，并证明；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数据分析观念．
【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）证明△ADE≌△ADC（ASA），则AB＝BC；再证明△ABM≌△CBE（ASA），则AM＝EC＝2CD；
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解答】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，∠BOA＝∠BDC＝90°，∠CBD＝∠BAO，AB＝BC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝1，BD＝OA＝2，
则OD＝BD﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C点坐标（1，﹣1）；
（2）如图2，延AB，CD交于点E．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴CD＝DE，
∵∠EAD+∠E＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠BAM＝∠BCE，
∵∠ABM＝∠CBE＝90°，AB＝BC，
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴AM＝EC＝2CD，
即AM＝2CD；
（3）PB长度不变化，PB＝3，理由：
如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，∠AOB＝∠BGE＝90°，∠BAO＝∠EBG，AB＝BE，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，∠EPG＝∠FPB，∠EGP＝∠FBP＝90°，BF＝EG，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝3．
【点评】本题为三角形综合题，考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
17．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
19．三角形综合题
三角形综合题．
20．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
23．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•朝阳区校级期中）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（ ）
A．0.85m长的木条 B．0.15m长的木条
C．1m长的木条 D．0.5m长的木条
2．（2019秋•西城区校级期中）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
3．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，给出下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①若AB＝AC，AD⊥BC，则∠1＝∠2； ②若AB＝AC，∠1＝∠2，则BD＝DC；
③若AB＝AC，BD＝DC，则AD⊥BC；④若AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则∠1＝∠3；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
5．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，那么PD＝（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
6．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在∠AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于OB对称，若∠AOB＝45°，则△OP1P2是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，∠A＝28°，∠B＝45°，BC⊥DE于O，则∠D＝（ ）
A．17° B．27° C．32° D．45°
8．（2021秋•东城区校级期中）已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．给出下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③EF⊥AD；④图中共有5对全等三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021秋•西城区校级期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图，根据图形全等的知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•朝阳区校级期中）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为 ．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝ ，BE＝ ．
13．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为 ．
14．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC的角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，AB＝5，AC＝4，△AEF的周长为 ．
15．（2021秋•东城区校级期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为 ．
16．（2021秋•东城区校级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是 ．
17．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A1B1A2的边长为 ，△AnBnAn+1的边长为 ．
18．（2021秋•西城区校级期中）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC＝x°，则∠BFC的大小是 °．（用含x的式子表示）
19．（2021秋•海淀区校级期中）等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为 ．
20．（2021秋•西城区校级期中）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2
①在射线OA上截取线段OB＝a；
②分别以点O，点B为圆心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；
③连接CD，交OB于点E；
④在直线CE上截取线段EF＝b；
⑤连接OF，BF．
△OBF即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ ，OD＝ ，
∴CD是线段OB的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
求证：（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．
23．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，△ABC，
求作：一点P，使P到边BC两端点的距离相等，且点P到∠BAC的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
24．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
25．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M、OB于N．如果P′P″＝5cm，△PMN的周长为l，∠MPN度数为α，请根据以上信息完成作图，并算出l和α的值．
26．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，交BC延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．
27．（2021秋•西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连接AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．
28．（2019秋•海淀区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
29．（2021秋•东城区校级期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若A（﹣2，0），B（0，1），直接写出C点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索CD与AM的数量关系，并证明；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•朝阳区校级期中）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（ ）
A．0.85m长的木条 B．0.15m长的木条
C．1m长的木条 D．0.5m长的木条
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，应满足三角形的三边关系定理：任意两边之和＞第三边．
【解答】解：设三角形的第三边长为xm，由题意得：
0.5﹣0.35＜x＜0.5+0.35，
解得：0.15＜x＜0.85
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系定理，即任意两边之和＞第三边．
2．（2019秋•西城区校级期中）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由三角形内角和定理可求第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：由图形可得：第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵两个三角形全等，
∴α＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
3．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，给出下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①若AB＝AC，AD⊥BC，则∠1＝∠2； ②若AB＝AC，∠1＝∠2，则BD＝DC；
③若AB＝AC，BD＝DC，则AD⊥BC；④若AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则∠1＝∠3；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，①是真命题；
∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴BD＝DC，②是真命题；
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，③是真命题；
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠2+∠C＝90°，∠3+∠C＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，④是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．19
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形．
【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．
【解答】解：根据题意得：D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．
故选：B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2021秋•东城区校级期中）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，那么PD＝（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的定义可得∠AOB＝2∠AOP，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝PC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝×6＝3，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
6．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在∠AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于OB对称，若∠AOB＝45°，则△OP1P2是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；等腰直角三角形；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据轴对称的性质可得OP＝OP1＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，然后求出∠P1OP2＝2∠AOB，再根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】解：∵P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，
∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，
∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠AOP+∠BOP2+∠BOP＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2×45°＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键．
7．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，∠A＝28°，∠B＝45°，BC⊥DE于O，则∠D＝（ ）
A．17° B．27° C．32° D．45°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】首先根据三角形的外角的性质可得∠BCD的度数，再根据三角形的内角和可得∠D．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝45°，
∴∠BCD＝28°+45°＝73°．
∵BC⊥DE于O，
∴∠DOC＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣73°＝17°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题关键．
8．（2021秋•东城区校级期中）已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为30°，根据直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半，即可求得腰上的高的长．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，
∵∠B＝15°，AB＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∵CD为AB上的高，AC＝8，
∴CD＝AC＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
9．（2021秋•东城区校级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．给出下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③EF⊥AD；④图中共有5对全等三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】①由AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据余角的性质，即可证得DA平分∠EDF；
②由在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，即可得AE＝AF，DE＝DF；
③由线段的垂直平分线的判定可得EF⊥AD；
④由全等三角形的判定方法，即可证得图中共有5对全等三角形．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣∠BAD，∠ADF＝90°﹣∠CAD，
∴∠ADE＝∠ADF，
∴DA平分∠EDF，故①正确；
②∵AD是△ABC的平分线，DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE＝AF，DE＝DF，故②正确；
③∵AE＝AF，DE＝DF，
∴EF⊥AD，故③正确；
④如图，设AD与EF交于点O，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
在Rt△BED和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS）；
在△EDO和△FDO中，
，
∴△EDO≌△FDO（SAS）；
∴图中共有5对全等三角形，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（2021秋•西城区校级期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图，根据图形全等的知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
在△OCD与△O′C′D′中，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•朝阳区校级期中）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为 65°或115° ．
【考点】垂线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】此题可以分两种情况讨论得出结果．
【解答】解：如图：
图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，∠1＝65°，所以∠1＝∠2＝65°；
图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣∠1＝180°﹣65°＝115°．
综上所述，另一个角为65°或115°．
故答案为：65°或115°．
【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．
12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝ 4cm ，BE＝ 2cm ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得BD＝BC，根据∠B＝60°，可得∠BDE＝30°，根据直角三角形中特殊角的正弦值可求得BE的长，即可解题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝BC，
∵AB＝8cm，
∴BD＝4cm，
∵等边三角形各内角为60°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝BD＝×4cm＝2cm．
故答案为：4cm，2cm．
【点评】本题考查了等边三角形三线合一的性质，特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据特殊角的三角函数值求BE的长是解题的关键．
13．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC的长为 13 ．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】先根据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝6，再根据AC＝AE+CE即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE＝7，
∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
14．（2021秋•东城区校级期中）如图，△ABC的角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，AB＝5，AC＝4，△AEF的周长为 9 ．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由平行线的性质和角平分线定义可得∠EDB＝∠EBD，证出ED＝EB，同理可得FD＝FC，则AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AB+AC，可求得△AEF的周长．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
同理可得：FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+4＝9；
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识；证出BE＝DE，DF＝CF是解题的关键．
15．（2021秋•东城区校级期中）如图在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为 22.5° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，再根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA＝2：1，∠C＝90°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝∠A+∠A+2∠A＝90°，
解得∠A＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．
16．（2021秋•东城区校级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是 BF＝CE或BC＝EF或AC＝DF或∠ACB＝∠EFD或AC∥DF或∠B＝∠E或AB∥DE ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：根据HL，添加BC＝EF或BF＝CE，可得△ABC≌△DEF，
根据SAS，添加AC＝DF，可得△ABC≌△DEF，
根据AAS，添加∠ACB＝∠DFE或AC∥DF，可得△ABC≌△DEF，
根据ASA，添加∠B＝∠E或AB∥DE，可得△ABC≌△DEF，
故答案为BF＝CE或BC＝EF或AC＝DF或∠ACB＝∠EFD或AC∥DF或∠B＝∠E或AB∥DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A1B1A2的边长为 2 ，△AnBnAn+1的边长为 2n ．
【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案．
【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，即△A1B1A2的边长为2；
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠10＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝4＝22，B3A3＝2B2A3＝8＝23，
同理得A4B4＝8B1A2＝16＝24，A5B5＝16B1A2＝32＝25，
∴△AnBnAn+1的边长为2n，
故答案为：2，2n．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2是解题的关键．
18．（2021秋•西城区校级期中）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC＝x°，则∠BFC的大小是 （180﹣2x） °．（用含x的式子表示）
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝x，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2x，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣x，则∠C′+2x＝180°﹣∠B′﹣x，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC＝∠C＝x+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝180°﹣2x．
【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝x，
∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2x，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB＝∠C′MC，
∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣x，
∴∠C′+2x＝180°﹣∠B′﹣x，
∴∠C′+∠B′＝180°﹣3x，
∵∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B′＝x+∠ACD+∠B′＝x+∠C′+∠B′＝x+180°﹣3x＝180°﹣2x．
故答案为：（180﹣2x）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．
19．（2021秋•海淀区校级期中）等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为 100°或80° ．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝80°，
∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°．
②当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝80°，
∴∠DHE＝100°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
故答案为100°或80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2021秋•西城区校级期中）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是 k＝2或k≥4 ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围．
【解答】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，即△AOB的形状与大小是唯一的；
以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，即△AOB'的形状与大小是唯一的；
综上所述，k的取值范围是k＝2或k≥4．
故答案为：k＝2或k≥4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2
①在射线OA上截取线段OB＝a；
②分别以点O，点B为圆心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；
③连接CD，交OB于点E；
④在直线CE上截取线段EF＝b；
⑤连接OF，BF．
△OBF即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ BC ，OD＝ BD ，
∴CD是线段OB的垂直平分线．（ 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到OC＝BC，OD＝BD，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得到CD⊥OB．
【解答】解：（1）如图，△OBF即为所求；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝BC，OD＝BD，
∴CD是线段OB的垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
故答案为BC，BD；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
求证：（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得DM＝DN，即可证Rt△ADN≌Rt△BDM；
（2）由题意可证：Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CM＝CN，由AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝BC＝2CM，可得CM的长．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DN＝DM，
∵∠DBM＝∠DAN，∠AND＝∠BMD，ND＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）；
（2）∵DC＝DC，DN＝DM，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）
∴CM＝CN，
∵Rt△ADN≌Rt△BDM，
∴BM＝AN，
∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝2，
∴，1+2CM＝2，
∴CM＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，△ABC，
求作：一点P，使P到边BC两端点的距离相等，且点P到∠BAC的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不要求写作法）
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；应用意识．
【分析】作线段BC的垂足平分线MN，作∠BAC的角平分线AQ，AQ交MN于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）求出∠B＝∠CAE，AC＝AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠CAE＝∠ACB＝60°，AC＝AB，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠BAD＝∠CAE＝60°，
∵∠FDG＝60°，
∴△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（2021秋•朝阳区校级期中）已知：如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M、OB于N．如果P′P″＝5cm，△PMN的周长为l，∠MPN度数为α，请根据以上信息完成作图，并算出l和α的值．
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；应用意识．
【分析】连接OP，由对称的性质得：OA、OB分别是PP′和PP″的中垂线，由中垂线的性质得：PM＝P′M，PN＝P′N，P′O＝PO，PO＝P″O，再根据等腰三角形三线合一的性质求出∠P′OP″的度数，同时求出l的长，再根据对称性求出α即可．
【解答】解：根据信息完成作图，如图所示，连接OP，OP′，OP″．
∵P与P′关于OA对称，
∴OA是PP′的中垂线，
∴P′M＝PM，P′O＝PO，
同理得：PN＝P″N，PO＝P″O，
∴∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠AOB＝2×40°＝80°，
∴△PMN的周长＝l＝PM+PN+MN＝P′M+P″N+MN＝P′P″＝5cm，
∴OP′＝OP″，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝50°，
∵∠OP′M＝∠OPM，∠OP″N＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP′M+∠OP″N＝100°，
∴α＝100°，l＝5cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质、中垂线的性质、等腰三角形三线合一的性质，明确对称轴是对称点连线的中垂线是关键，并熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，这在等腰三角形中经常运用．
26．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，交BC延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】首先证明∠AEF＝∠AFE，再利用三角形的外角的性质证明∠G＝（∠ACB﹣∠B），即可解决问题
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG⊥AD，
∴∠AHF＝∠ANE＝90°，
∵∠AEF+∠BAD＝90°，∠AFH+∠CAD＝90°，
∴∠AEF＝∠AFH，
∵∠ACB＝∠G+∠CFG，∠AEF＝∠B+∠G，∠CFG＝∠AFE，
∴∠ACB﹣∠G＝∠B+∠G，
∴∠G＝（∠ACB﹣∠B），
∵∠B＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠G＝15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
27．（2021秋•西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连接AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】先证明△APB≌△QAC，得∠BAP＝∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF＝90°即可得AP⊥AQ．
【解答】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，
∵∠CQA+∠QAF＝90°，
∴∠BAP+∠QAF＝90°．
即AP⊥AQ
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
28．（2019秋•海淀区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
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【专题】图形的全等．
【分析】根据BE＝CF得到BF＝CE，又AB＝DC，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】解：△OEF的形状为等腰三角形．
理由如下：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
．
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠DEC．
∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
29．（2021秋•东城区校级期中）在一次数学课上，老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．
写出你的选择，并证明．
【考点】等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】利用①④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求解∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
【解答】解：①④作为已知条件，证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，灵活运用等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若A（﹣2，0），B（0，1），直接写出C点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索CD与AM的数量关系，并证明；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数据分析观念．
【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）证明△ADE≌△ADC（ASA），则AB＝BC；再证明△ABM≌△CBE（ASA），则AM＝EC＝2CD；
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解答】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，∠BOA＝∠BDC＝90°，∠CBD＝∠BAO，AB＝BC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝1，BD＝OA＝2，
则OD＝BD﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C点坐标（1，﹣1）；
（2）如图2，延AB，CD交于点E．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴CD＝DE，
∵∠EAD+∠E＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠BAM＝∠BCE，
∵∠ABM＝∠CBE＝90°，AB＝BC，
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴AM＝EC＝2CD，
即AM＝2CD；
（3）PB长度不变化，PB＝3，理由：
如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，∠AOB＝∠BGE＝90°，∠BAO＝∠EBG，AB＝BE，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，∠EPG＝∠FPB，∠EGP＝∠FBP＝90°，BF＝EG，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝3．
【点评】本题为三角形综合题，考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
7．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
17．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
19．三角形综合题
三角形综合题．
20．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
23．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
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