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2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（1，﹣2）
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
5．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠ACD D．∠A＝∠BOD
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
7．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
8．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
9．（3分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（ ）
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
11．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（ ）
A． B． C． D．2π
12．（3分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
13．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ cm．
16．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
17．（3分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根 ．
18．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 cm．
19．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题7小题，共63分）
20．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（x+3）2﹣4（x+3）﹣5＝0．
21．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
24．（9分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．
26．（12分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2的函数关系式；
（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；
（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．
2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】代入数据求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（1，﹣2）
【分析】根据中心对称图形的性质即可解答．
【解答】解：∵点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，
∴对应点坐标为（1，﹣2），
故选：D．
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠ACB＝35°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°．
故选：B．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC＝5，CE＝4；然后根据勾股定理求得OE＝2；最后利用线段间的和差关系求得BE＝OB﹣OE求得BE的长度即可．
【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5；
又∵AB⊥CD于E，CD＝8，
∴CE＝CD＝4（垂径定理）；
在Rt△COE中，OE＝3（勾股定理），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，即BE＝2；
故选：A．
5．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠ACD D．∠A＝∠BOD
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：连接DA，
∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，
∴CM＝MD，∠CAB＝∠DAB，
∵2∠DAB＝∠BOD，
∴∠CAB＝∠BOD，
故选：D．
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴顶点由（﹣2，﹣3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．
故选：C．
7．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
8．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCF，根据三角形的外角的性质求出∠CBF，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠A＝55°，
∵∠CBF是△ABE的一个外角，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝85°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝40°，
故选：C．
9．（3分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（ ）
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y＝0，求x的正数值．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：﹣x2+x+＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，
∴x＝10，
故选：D．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】根据抛物线与x轴两交点分别是（﹣1，0），（5，0），先求对称轴，再借助对称轴求解．
【解答】解：由抛物线与x轴交点坐标可知，对称轴是直线x＝＝2，
而x＝1，x＝3对应的两点也关于直线x＝2对称，
所以函数值也相等．
故选：B．
11．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（ ）
A． B． C． D．2π
【分析】首先判定三角形为等边三角形，再利用弧长公式计算．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠COB＝80°，
∵OA＝4，
∴的长＝＝π，
故选：C．
12．（3分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得＝，继而可得＝，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD＝R，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
13．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ 5 cm．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
16．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≥0且m≠1 ．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥0且m≠1．
故答案为：m≥0且m≠1．
17．（3分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根 x＝2﹣ ．
【分析】利用一元二次方程两根之和为﹣＝4，设出方程的另一根，即可列方程求解．
【解答】解：设方程的两根为x1，x2，设x1＝2+由题意知
x1+x2＝2++x2＝4，
∴x2＝2﹣．
故答案为：x＝2﹣．
18．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 1 cm．
【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm，
∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，
∴＝3π，
解得：R＝3，
由题意可得：2πr＝，
解得：r＝1．
故答案为：1．
19．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，
得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0＝（﹣6+3）2+h，
解得：h＝﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题7小题，共63分）
20．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（x+3）2﹣4（x+3）﹣5＝0．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）分解因式得：（x+3﹣5）（x+3+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣4．
21．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【分析】（1）根据中心对称性质即可画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【解答】解：（1）如图1，△DCE即为所求；
（2）如图2，△DCE即为所求．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
【分析】①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，
②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：①根据题意得：
Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得：m，
②根据题意得：
x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
x12+x22+x1x2﹣17
＝﹣x1x2﹣17
＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17
＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴m的值为．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
【分析】欲证明AM＝EN，只要证明△ABM≌△EBN即可解决问题．
【解答】证明：由旋转性质可知：BN＝BM，
∵△BAE为等边三角形，
∴∠EBA＝60°，BA＝BE，
又∵∠MBN＝60°，
∴∠NBE＝∠MBA，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△ABM≌△EBN（SAS），
∴AM＝EN．
24．（9分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）等量关系为：售价P×销售数量x﹣生产x只玩具熊猫的成本＝1750，把相关数值代入求解即可．
（2）设每天所获利润为W，根据题意可表示出w与x的二次函数关系，再根据二次函数最值的求法，求得最值即可．
【解答】解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W＝（170﹣2x）x﹣（500+30x）
＝﹣2x2+140x﹣500
＝﹣2（x2﹣70x）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352）+2×352﹣500
＝﹣2（x﹣35）2+1950．
当x＝35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可知D是BC的中点，利用中位线的性质可知OD∥AB，从而可知∠ODE＝∠BED＝90°．
（2）过点O作OG⊥AB于点G，所以∠AEF＝∠AGO＝90°，从而可知OG∥EF，四边形OGED是矩形，利用含30度角的直角三角形的性质以及矩形的性质值即可求出答案．
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AC是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE＝∠BED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，
∴∠AEF＝∠AGO＝90°，
∴OG∥EF，四边形OGED是矩形，
∴∠AOG＝∠F＝30°，
∵OA＝4，
∴AG＝2，
由勾股定理可知：OG＝2，
∴DE＝OG＝2．
26．（12分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2的函数关系式；
（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；
（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的轴对称性质解答；
（3）利用待定系数法确定直线AC解析式，然后根据直线与抛物线的交点求得PQ的长度．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（﹣1，2），
∴把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2的顶点为（2，﹣1），
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；
（2）点A坐标为（4，3），它关于直线x＝2对称的点为（0，3），
由图象知当y2＜y1时，0＜m＜4；
（3）点A的坐标为（4，3），点C的坐标为（2，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
所以直线AC的解析式为y＝2x﹣5．
设点P的坐标为（t，2t﹣5），则点Q的坐标为（t，t2﹣4t+3），
∴PQ＝﹣t2+6t﹣8．
∴当t＝时，PQ最长．
当t＝3时，2t﹣5＝1，
∴点P的坐标为（3，1）．
2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（1，﹣2）
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
5．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠ACD D．∠A＝∠BOD
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
7．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
8．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
9．（3分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（ ）
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
11．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（ ）
A． B． C． D．2π
12．（3分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
13．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ cm．
16．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
17．（3分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根 ．
18．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 cm．
19．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题7小题，共63分）
20．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（x+3）2﹣4（x+3）﹣5＝0．
21．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
24．（9分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．
26．（12分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2的函数关系式；
（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；
（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．
2021-2022学年山东省临沂市郯城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】代入数据求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（1，﹣2）
【分析】根据中心对称图形的性质即可解答．
【解答】解：∵点P（﹣1，2）绕点原点O旋转180°，
∴对应点坐标为（1，﹣2），
故选：D．
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠ACB＝35°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°．
故选：B．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC＝5，CE＝4；然后根据勾股定理求得OE＝2；最后利用线段间的和差关系求得BE＝OB﹣OE求得BE的长度即可．
【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5；
又∵AB⊥CD于E，CD＝8，
∴CE＝CD＝4（垂径定理）；
在Rt△COE中，OE＝3（勾股定理），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，即BE＝2；
故选：A．
5．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠ACD D．∠A＝∠BOD
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：连接DA，
∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，
∴CM＝MD，∠CAB＝∠DAB，
∵2∠DAB＝∠BOD，
∴∠CAB＝∠BOD，
故选：D．
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴顶点由（﹣2，﹣3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．
故选：C．
7．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
8．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCF，根据三角形的外角的性质求出∠CBF，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠A＝55°，
∵∠CBF是△ABE的一个外角，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝85°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝40°，
故选：C．
9．（3分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（ ）
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y＝0，求x的正数值．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：﹣x2+x+＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，
∴x＝10，
故选：D．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】根据抛物线与x轴两交点分别是（﹣1，0），（5，0），先求对称轴，再借助对称轴求解．
【解答】解：由抛物线与x轴交点坐标可知，对称轴是直线x＝＝2，
而x＝1，x＝3对应的两点也关于直线x＝2对称，
所以函数值也相等．
故选：B．
11．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（ ）
A． B． C． D．2π
【分析】首先判定三角形为等边三角形，再利用弧长公式计算．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠COB＝80°，
∵OA＝4，
∴的长＝＝π，
故选：C．
12．（3分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得＝，继而可得＝，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD＝R，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
13．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ 5 cm．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
16．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≥0且m≠1 ．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥0且m≠1．
故答案为：m≥0且m≠1．
17．（3分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根 x＝2﹣ ．
【分析】利用一元二次方程两根之和为﹣＝4，设出方程的另一根，即可列方程求解．
【解答】解：设方程的两根为x1，x2，设x1＝2+由题意知
x1+x2＝2++x2＝4，
∴x2＝2﹣．
故答案为：x＝2﹣．
18．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 1 cm．
【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm，
∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，
∴＝3π，
解得：R＝3，
由题意可得：2πr＝，
解得：r＝1．
故答案为：1．
19．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，
得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0＝（﹣6+3）2+h，
解得：h＝﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题7小题，共63分）
20．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）（x+3）2﹣4（x+3）﹣5＝0．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）分解因式得：（x+3﹣5）（x+3+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣4．
21．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【分析】（1）根据中心对称性质即可画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【解答】解：（1）如图1，△DCE即为所求；
（2）如图2，△DCE即为所求．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．
【分析】①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，
②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：①根据题意得：
Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得：m，
②根据题意得：
x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
x12+x22+x1x2﹣17
＝﹣x1x2﹣17
＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17
＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴m的值为．
23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．求证：AM＝EN．
【分析】欲证明AM＝EN，只要证明△ABM≌△EBN即可解决问题．
【解答】证明：由旋转性质可知：BN＝BM，
∵△BAE为等边三角形，
∴∠EBA＝60°，BA＝BE，
又∵∠MBN＝60°，
∴∠NBE＝∠MBA，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△ABM≌△EBN（SAS），
∴AM＝EN．
24．（9分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）等量关系为：售价P×销售数量x﹣生产x只玩具熊猫的成本＝1750，把相关数值代入求解即可．
（2）设每天所获利润为W，根据题意可表示出w与x的二次函数关系，再根据二次函数最值的求法，求得最值即可．
【解答】解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W＝（170﹣2x）x﹣（500+30x）
＝﹣2x2+140x﹣500
＝﹣2（x2﹣70x）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352）+2×352﹣500
＝﹣2（x﹣35）2+1950．
当x＝35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可知D是BC的中点，利用中位线的性质可知OD∥AB，从而可知∠ODE＝∠BED＝90°．
（2）过点O作OG⊥AB于点G，所以∠AEF＝∠AGO＝90°，从而可知OG∥EF，四边形OGED是矩形，利用含30度角的直角三角形的性质以及矩形的性质值即可求出答案．
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AC是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE＝∠BED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，
∴∠AEF＝∠AGO＝90°，
∴OG∥EF，四边形OGED是矩形，
∴∠AOG＝∠F＝30°，
∵OA＝4，
∴AG＝2，
由勾股定理可知：OG＝2，
∴DE＝OG＝2．
26．（12分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2的函数关系式；
（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；
（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的轴对称性质解答；
（3）利用待定系数法确定直线AC解析式，然后根据直线与抛物线的交点求得PQ的长度．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（﹣1，2），
∴把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2的顶点为（2，﹣1），
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；
（2）点A坐标为（4，3），它关于直线x＝2对称的点为（0，3），
由图象知当y2＜y1时，0＜m＜4；
（3）点A的坐标为（4，3），点C的坐标为（2，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
所以直线AC的解析式为y＝2x﹣5．
设点P的坐标为（t，2t﹣5），则点Q的坐标为（t，t2﹣4t+3），
∴PQ＝﹣t2+6t﹣8．
∴当t＝时，PQ最长．
当t＝3时，2t﹣5＝1，
∴点P的坐标为（3，1）．
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