2021-2022学年山东省青岛市李沧实验初中、爱迪学校九年级（上）期中数学试卷 解析版

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2021-2022学年山东省青岛市李沧实验初中、爱迪学校九年级（上）期中数学试卷
一.选择题本大题共8小题，其中每小题3分，共24分。在以下每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将答案填在题目后面的表格中。
1．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
2．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的面积等于对角线乘积的一半
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≥﹣4 D．k≥4
4．（3分）某次活动课上，要在某个小组中随机挑选2名同学上台表演，已知这个小组共有2名男同学，2名女同学，那么恰好挑选1名男同学和1名女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　）

A．18° B．19° C．20° D．40°
6．（3分）根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（　　）
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x2+5x﹣3
﹣3.00
﹣1.69
﹣0.25
1.31
3.00
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.50
C．0.50＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
7．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连接FH，则下列结论正确的有几个（　　）
（1）AD＝DF；（2）＝；（3）＝﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共6小题每题3分共18分）请将答案填在题目后面的表格中
9．（3分）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝　 　．
10．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为0.75”，则这个袋中白球大约有 　 　个．
11．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 　 　．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝2，CE＝3，AF＝4，那么DF的长为 　 　．

13．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 　 　．

14．（3分）在一个长为3，宽为m（m＜3）的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形（称为第一次操作）；再在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝2时，m的值为 　 　．
三.解答题（共9小题）
15．（4分）已知△ABC，求作菱形ADEF使顶点D、E、F分别在AB、BC、AC上．

16．（14分）解方程：
（1）x2﹣10x﹣10＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（3）关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+m＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另外一个根．
17．（6分）小明与小亮共同发明了一种“字母棋”进行比胜负的游戏，他们用三种字母做成5颗棋子（棋子除字母外其它均相同），其中A棋1颗，B棋2颗，C棋2颗．

“字母棋”的游戏规则为：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出两颗棋子，若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜，其余情况视为平局，游戏重新进行．在游戏刚准备进行时，数学课代表小军对游戏的公平性产生了怀疑，请你通过列表或画树状图的方法帮助小军同学验证这个游戏公平吗？请说明理由．
18．（7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

19．（7分）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边BC的长为 　 　米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AB的长．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

21．（10分）在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．
（1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？
（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？
22．（10分）[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　 　条线段，高共有 　 　条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　 　线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC．F交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t＝1时，求EF长；
（2）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（3）用含有时间t的代数式表示△PEF的面积；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使△PEF的面积是矩形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年山东省青岛市李沧实验初中、爱迪学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题本大题共8小题，其中每小题3分，共24分。在以下每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将答案填在题目后面的表格中。
1．（3分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
2．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的面积等于对角线乘积的一半
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可作出判断．
【解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意．
故选：D．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≥﹣4 D．k≥4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4k＝16﹣4k＝0，
解得：k＝4．
故选：A．
4．（3分）某次活动课上，要在某个小组中随机挑选2名同学上台表演，已知这个小组共有2名男同学，2名女同学，那么恰好挑选1名男同学和1名女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出1名男同学和1名女同学的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中1名男同学和1名女同学的结果数为8种，
所以恰好挑选1名男同学和1名女同学的概率＝＝．
故选：A．
5．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　）

A．18° B．19° C．20° D．40°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠E＝∠CAE，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解．
【解答】解：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝19°；
故选：B．
6．（3分）根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（　　）
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x2+5x﹣3
﹣3.00
﹣1.69
﹣0.25
1.31
3.00
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.50
C．0.50＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
【分析】由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，根据以上分析，结合选项所给的x的范围，即可得到答案．
【解答】解：由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，
∴方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是0.50＜x＜0.75，
故选：C．
7．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由翻折的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，
由翻折的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，
设AE＝EF＝x，
∴，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2＝EF2，
∴，
∴，
故选：A．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连接FH，则下列结论正确的有几个（　　）
（1）AD＝DF；（2）＝；（3）＝﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）利用折叠的性质得出∠BAE＝∠EAH＝22.5°，进而得出∠DAF＝67.5°，利用三角形内角和得出∠AFD＝67.5°，证明AD＝DF正确；
（2）利用角平分线的性质得出EB＝EH，再利用三角形面积公式得出＝，正确；
（3）根据tan∠BAE＝tan22.5°≈0.41，利用菱形得出FH＝BE，进而得出＝﹣1，正确；
（4）我们根据折叠的性质就能得出BE＝EH，BF＝FH，只要再证出BE＝BF就能得出BEHF是菱形，可用角的度数进行求解，得出∠BFA的度数，那么就能求出∠BFE的度数，在直角三角形ABE中，有了∠BAE的度数，就能求出∠AEB的度数，这样得出BE＝BF后就能证出BEHF是菱形了．
【解答】解：（1）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴∠BAE＝∠EAH＝22.5°，
∴∠DAF＝67.5°，
∴∠AFD＝67.5°，
∴AD＝DF，
故（1）正确；
（2）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴△ABE≌△AEH，
∴BE＝EH，
∴＝，
故（2）正确；
（3）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴∠BAE＝22.5°，
∴tan∠BAE＝tan22.5°＝，
（4）∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合，
∴BE＝EH，BF＝FH，
又∵FH∥BC，
∴∠AEB＝∠EFH，
又∵∠AEB＝∠AFH，
∴∠AFH＝∠EFH，
∴BE＝EH＝FB＝BH，
∴四边形BEHF是菱形，
故（4）正确；
∴tan∠BAE＝，
故（3）正确．
故选：D．
二.填空题（共6小题每题3分共18分）请将答案填在题目后面的表格中
9．（3分）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝　6　．
【分析】根据已知条件求出a＝2b，c＝2d，e＝2f，根据a+c+e＝12得出2b+2d+2f＝12，再求出答案即可．
【解答】解：∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∵a+c+e＝12，
∴2b+2d+2f＝12，
等式两边都除以2，得b+d+f＝6，
故答案为：6．
10．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为0.75”，则这个袋中白球大约有 　2　个．
【分析】用黑球的个数除以球的总个数等于0.75列出关于n的方程，解之即可．
【解答】解：根据题意知＝0.75，
解得n＝2，
经检验n＝2是分式方程的解，
∴这个袋中白球大约有2个，
故答案为：2．
11．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 　200（1+x）+200（1+x）2＝1000　．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
故答案为：200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC＝2，CE＝3，AF＝4，那么DF的长为 　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 　　．

【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝，
∴AC＝2，CG＝，
∴CF＝，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故答案为：．
14．（3分）在一个长为3，宽为m（m＜3）的矩形纸片上，剪下一个面积最大的正方形（称为第一次操作）；再在剩下的矩形上剪下一个面积最大的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝2时，m的值为 　1或2　．
【分析】由题意第一次操作后剩下的矩形长是宽的2倍，由此列出方程方程即可解决问题．
【解答】解：由题意第一次操作后剩下的矩形长是宽的2倍，由此可得：3﹣m＝2m或m＝2（3﹣m），
解得m＝1或2，
故答案为1或2
三.解答题（共9小题）
15．（4分）已知△ABC，求作菱形ADEF使顶点D、E、F分别在AB、BC、AC上．

【分析】利用菱形的判定，先作∠BAC的平分线AE，再作AE的垂值平分线分别交AB、AC于E、F，然后可判断AD＝ED＝FD＝AF，从而得到四边形ADEF为菱形．
【解答】解：如图，四边形ADEF为所作．

16．（14分）解方程：
（1）x2﹣10x﹣10＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（3）关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+m＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另外一个根．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到3（x﹣5）2+2（5﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先把x＝﹣1代入方程得m+1﹣m+m＝0，则苛求出m＝﹣4，则原方程化为3x2+4x+1＝0，设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得﹣1×t＝，然后求出t即可．
【解答】解：（1）x2﹣10x＝10，
x2﹣10x+25＝35，
（x﹣5）2＝35，
x﹣5＝±，
所以x1＝5+，x2＝5﹣；
（2）3（x﹣5）2+2（5﹣x）＝0，
（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，
x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，
所以x1＝，x2＝；
（3）把x＝﹣1代入方程得m+1﹣m+m＝0，
解得m＝﹣4，
原方程化为3x2+4x+1＝0，
设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得﹣1×t＝，
即t＝﹣．
17．（6分）小明与小亮共同发明了一种“字母棋”进行比胜负的游戏，他们用三种字母做成5颗棋子（棋子除字母外其它均相同），其中A棋1颗，B棋2颗，C棋2颗．

“字母棋”的游戏规则为：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出两颗棋子，若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜，其余情况视为平局，游戏重新进行．在游戏刚准备进行时，数学课代表小军对游戏的公平性产生了怀疑，请你通过列表或画树状图的方法帮助小军同学验证这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到A棋的有8种情况，摸到两颗相同的棋子的有4种情况，再求得小明胜与小亮胜的概率，比较概率的大小，即可得出结论．
【解答】解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，摸到A棋的有8种情况，摸到两颗相同的棋子的有4种情况，
∴P（小明胜）＝＝，P（小亮胜）＝＝，
∵P（小明胜）≠P（小亮胜），
∴这个游戏不公平．
18．（7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD＝CD，根据菱形的判定得出即可；
【解答】（1）证明：连接DF，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF＝BE，
∵AE＝DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AD为中线，
∴DC＝BD，
∴AF＝DC；
（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：
∵AF＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD为中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；

19．（7分）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边BC的长为 　（36﹣2x）　米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AB的长．

【分析】（1）设AB＝x米，则CD＝AB＝x米，利用BC的长＝篱笆的长+门的宽﹣2AB，即可用含x的代数式表示出BC的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18米，即可确定AB的长．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则CD＝AB＝x米，
∴BC＝34+2﹣2AB＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米．
故答案为：（36﹣2x）．
（2）依题意得：x（36﹣2x）＝160，
化简得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意．
答：AB的长为10米．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
21．（10分）在“新型冠状肺炎病毒”流行期间，日常抑菌刻不容缓，某商场积极响应国家号召，帮助广大客户抗击疫情，为此重磅推出75%酒精．根据市场调查：这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，已知每瓶75%酒精进价为15元．
（1）若商场把75%酒精的销售单价定为21元，则商场每天的销量是多少瓶？
（2）如果商场卖这种酒精一天的利润要达到350元，又要把更多的优惠给顾客，那么这种酒精的销售单价应该定为多少元？
【分析】（1）根据这种酒精销售单价定为25元时，每天可售出20瓶，若销售单价每瓶降低1元，每天可多售10瓶，可得现在销售数量为20+10×（25﹣21）个，依此计算即可求解；
（2）根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．
【解答】解：（1）20+10×（25﹣21）
＝20+40
＝60（瓶）．
故商场每天的销量是60瓶；

（2）设这种酒精的销售单价应该定为x元，
依题意得：（x﹣15）[20+10（25﹣x）]＝350，
整理得：x2﹣42x+440＝0，
解得：x1＝22，x2＝20，
∵要把更多的优惠给顾客，
∴这种酒精的销售单价应该定为20元．
故这种酒精的销售单价应该定为20元．
22．（10分）[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　27　个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　6　条线段，高共有 　21　条线段，所以图中共有 　378　个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　　线段，所以图中共有 　　个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【分析】[问题探究]：
（3）把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
（4）先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
（5）先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解；
[结论应用]
（6）由（5）的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，列出方程求解即可．
【解答】解：[问题探究]：
（3）3×3×3＝27（个）．
故答案为：27．
（4）4×3÷2＝6（条），
7×6÷2＝21（条），
3×6×21＝378（个）．
故答案为：6，21，378．
（5）长、宽、高各有 线段，所以图中共有个长方体．
[结论应用]
（6）依题意有：
＝3375
＝15，
解得n1＝5，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴5×5×5＝125（个）．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是125个．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC．F交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t＝1时，求EF长；
（2）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（3）用含有时间t的代数式表示△PEF的面积；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使△PEF的面积是矩形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理知AC＝10cm，由题意得AE＝2cm，DE＝6cm，根据EF∥AC知△DEF∽△DAC，据此得，代入计算即可；
（2）由DE∥CP且∠D＝∠C知DE＝CP时，四边形EPCD为矩形，据此求解可得；
（3）证△DEF∽△DAC得，据此求得DF＝（6﹣t）cm，CF＝tcm，根据△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF可求解；
（4）先求出△PEF的面积，代入（3）的式子，可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
当t＝1时，AE＝2cm，
则DE＝6cm，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，即＝，
解得：EF＝cm；
（2）由题意知AE＝2tcm，CP＝tcm，
则DE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EPCD是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形EPCD为矩形；
（3）∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，即＝，
解得：DF＝6﹣t，
则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6﹣t）＝tcm，
则△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF＝×（8﹣2t+t）×6﹣×（8﹣2t）×（6﹣t）﹣×t×t＝﹣t2+9t，
即△PEF的面积＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；
（4）存在，
∵矩形ABCD面积＝6×8＝48（cm2），
∴△PEF的面积＝×48＝8（cm2），
∴﹣t2+9t＝8，
解得：t＝或，
∴当t＝或时，使△PEF的面积是矩形ABCD面积的．