山东省日照市东港区新营中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年山东省日照市东港区新营中学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(    )

A. 三内角之比为：： B. 三边长的平方之比为：：
C. 三边长之比为：： D. 三内角之比为：：

3.  在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为和的两条线段，则平行四边形的周长为(    )

A. 或 B. 或 C.  D. 无法确定

4.  若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线，一定是(    )

A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等

5.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将长方形纸片折叠，使点落上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(    )

A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形

7.  如图，中，，斜边，为的中点，是上一点，且，延长到，使，连结，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在长方形中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图方式摆放，刚好放下个；如果按图方式摆放，刚好放下个．若，则按图方式摆放时，剩余部分的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，菱形，点、、、均在坐标轴上．，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，化简二次根式的正确结果为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(    )
 

A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以

12.  课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间如右图，，，从三角板的刻度可知，小聪想知道砌墙砖块的厚度每块砖的厚度相等，下面为砌墙砖块厚度的平方是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  要使等式成立的的值为______ ．

14.  如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为______．

15.   已知菱形的边长为，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为______．

16.  如图，在边长为的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
；
．

18.  本小题分
已知是的整数部分，是的小数部分，求的值．

19.  本小题分
由于大风，山坡上的一颗树甲被从点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部处，已知米，米，两棵树的水平距离为米，求这棵树原来的高度．
 

20.  本小题分
已知中，，，，为边上的高．
判断的形状，并说明理由．
求的长；
若动点从点出发，沿着运动，速度为，设运动时间为秒，为何值时，为等腰三角形直接写出的值．

21.  本小题分
如图，中，点是上一点，点是的中点，过点作，交的延长线于点．
求证：；
连接，如果点是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是菱形，证明你的结论．

22.  本小题分
【问题发现与证明】
如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到，使解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

【问题拓展与应用】
如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，所以选项的计算正确；
B、，所以选项的计算正确；
C、，所以选项的计算正确；
D、，所以选项的计算错误．
故选D．
根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据分母有理化对进行判断；根据合并同类二次根式对进行判断；根据二次根式的性质对计算判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，三角形的内角和定理．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理逆定理和三角形内角和为进行判断能否构成直角三角形即可．
【解答】
解：、设最小的角为，则其余的两个角分别是，，根据三角形的内角和定理可得，
解得，则最大的角为，不能构成直角三角形，故此选项合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、设最小的内角为，则其余的两个内角分别是，，根据三角形的内角和定理可得，解得，则最大的内角为，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：设的平分线交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
当，时，如图，
则，，
；
当，时，如图，
则，，
，
平行四边形的周长为或，
故选：．
设的平分线交于点，可证明，再分两种情况讨论，一是，，则，；二是，时，则，，分别求出平行四边形的周长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，即，，
，，
故选：．
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，注意被开方数是小数的要化成分数计算，且保证分母是完全平方数，根据进行化简．
先将被开方数化成分数，观察四个选项，再化简为，开方，注意要把化为，代入即可．
【解答】

解：，故ABD错误，C正确．
故选C．

6.【答案】 

【解析】解：将长方形纸片折叠，落在上的处，
，
折痕为，沿剪下，
四边形为矩形，
四边形为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选：．
将长方形纸片折叠，使点落上的处，可得到，折痕为，沿剪下，故四边形为矩形，且有一组邻边相等，故四边形为正方形．
本题考查了正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，和翻折变换．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
图中，，图中，，
小直角三角形的斜边长为，
图中纸盒底部剩余部分的长为；
故选：．
由题意得出图中，，图中，，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为，进而得出答案．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值为，

四边形是菱形，，点，
，，
是等边三角形，
，
即的最小值是，
故选：．
根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值，求出此时的最小值即可．
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
二次根式有意义，，结合已知条件得，化简即可得出最简形式．
【解答】

解：，
和同号，
中的，
，
，，
，
故选：．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了图形的简拼，属于基础题．
根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形，图乙可以拼一个边长为的正方形．
【解答】
解：所作图形如图所示，

甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在中，，
，
解得，，
故选：．
根据全等三角形的判定定理证明≌，进而利用勾股定理，在中，，求出即可．
本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的应用，得出，是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义需满足：且，
解得：，
要使等式成立，
则或，
解得：或，
综上所述：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形，
连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中，分别是，的中点，
底面周长是，
，
，，
，
，
蚂蚁经过的最短距离为；
故答案为：．
先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长．
本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
根据题意得，应分与在的同侧与异侧两种情况进行讨论．
本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系，这是解决本题的关键．
【解答】
解：当与在的异侧时：连接交于，
，，
到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，
在直角中，，
，，
，
；
当与在的同侧时：连接并延长交于点
；
当与重合时，，与矛盾，舍去．
的长为或．
故答案为或．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长、交于点，
四边形是正方形，
，，
，
是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
如图，延长、交于点，利用正方形性质和等边三角形性质可得：，，，运用解直角三角形可得，，再求得，根据直角三角形性质得出答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形，关键是利用正方形性质和等边三角形性质解答，题目的综合性很好，难度不大．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
；
原式


． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算即可；
先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式即可；
先把各二次根式化为最简二次根式和利用积的乘方法则计算，再利用平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，，
，
． 

【解析】首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，代入即可解决问题．
此题主要考查了无理数的估算能力，用“夹逼法”正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：延长，过点作交延长线于点，

由题意可得：，，
故BD，
，则，
即，
则，
，则，
故AC．
答：这棵树原来的高度是米． 

【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，得出的长是解题关键，属于中档题．
首先构造直角三角形，进而求出的长，进而求出的长，即可得出答案．
 

20.【答案】解：是直角三角形，
理由：，，，
，
，
是直角三角形．
，是直角三角形，
，
，
．
，，，，
为等腰三角形时，分三种情况：
如果，那么点在上，，此时秒；
如果，那么点在上，，，此时秒；
如果，那么点在的垂直平分线与的交点处，即在的中点，此时，秒，
当时，，
综上可知，当或或或时，为等腰三角形． 

【解析】利用勾股定理的逆定理判断即可．
利用面积法可知，，由此求出即可．
份点在线段上，在线段上，分别求出点的运动路程，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
≌，
；
解：当时，四边形是菱形，证明如下：
由知，，
，
四边形是平行四边形，
，
是直角三角形，
点是的中点，
，
四边形是菱形． 

【解析】由，得，，又，可证≌，即得；
由，，知四边形是平行四边形，若，点是的中点，可得，即得四边形是菱形．
本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
 

22.【答案】【问题发现与证明】证明：四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
【问题拓展与应用】解：正方形的边长为，
，，
在中，，，
，
，
由【问题发现与证明】可知，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
在中，． 

【解析】【问题发现与证明】：根据题意易通过证明≌，则，，根据可得，进而得到，因此可通过证明≌，得到，以此即可证明；
【问题拓展与应用】：根据勾股求得，则，由【问题发现与证明】可知，，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求得，在中，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，理解题意，构造合适全等三角形解决问题是解题关键．