2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区三校联考九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区三校联考九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区三校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝0 B．（x+3）2＝x2 C．x2﹣5y＝0 D．
2．（3分）关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过（2，6） B．图象位于一、三象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
3．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．6 D．﹣4
4．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为（　　）

A． B．8 C．10 D．16
5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知△ABC与△DEF是位似三角形，且AB＝3DE，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1
7．（3分）永州市2019年底城市绿地面积是144万平方米，计划到2021年底城市绿地面积提高到225万平方米，则平均每年的增长率为（　　）
A．20% B．25% C．30% D．15%
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
9．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数y＝，y＝的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是（　　）

A． B．1 C． D．2
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在双曲线上，则y1，y2大小关系为：y1　 　y2．
12．（3分）若，则＝　 　．
13．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为　 　cm．

14．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0为一元二次方程，则m＝　 　．
15．（3分）现测得身高为1.6米的甲同学的影长为1.2米，那么同一时刻影长为9米的乙旗杆的高度是 　 　米．
16．（3分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△AOB＝5，则k＝　 　．

17．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
18．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB＝1：9，则S△DOC：S△BOC＝　 　．

三、解答题
19．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）
20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．

22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
23．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？

24．如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求的值．

25．阅读下列材料：已知实数p、q满足p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且p•q≠1，求的值．
解：∵1﹣q﹣q2＝0，q≠0，∴每一项都除以q2得，
又∵p2﹣p﹣1＝0且，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得，
∴．
根据材料中所提供的方法，解答下列问题：
（1）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值；
（2）已知实数p、q满足p2﹣2p﹣1＝0，1﹣2q﹣q2＝0且p•q≠1，求的值．
26．如图，正方形ABCD的边长为1，动点E在AD边上从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）求证：△ABE∽△DEH；
（2）若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大？并求出y的最大值．
（3）连接BH，试探究：当点E运动到边AD的什么位置时，△BEH∽△BAE？并说明理由．


2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区三校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝0 B．（x+3）2＝x2 C．x2﹣5y＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．整理，得6x+9＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过（2，6） B．图象位于一、三象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、反比例函数中，当x＝2时，y＝6，即该函数图象经过点（2，6），说法正确，不合题意；
B、反比例函数的图象位于第一、三象限，说法正确，不合题意；
C、反比例函数的图象关于直线y＝x对称，说法正确，不合题意；
D、反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，说法错误，符合题意．
故选：D．
3．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．6 D．﹣4
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝1，再利用乘法公式展开得到（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝1，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝1+4+1＝6．
故选：C．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为（　　）

A． B．8 C．10 D．16
【分析】由DE：EA＝2：3得DE：DA＝2：5，根据EF∥AB，可证△DEF∽△DAB，已知EF＝4，利用相似比可求AB，由平行四边形的性质CD＝AB求解．
【解答】解：∵DE：EA＝2：3，
∴DE：DA＝2：5，
又∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，即＝，解得AB＝10，
由平行四边形的性质，得CD＝AB＝10．
故选：C．
5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
6．（3分）已知△ABC与△DEF是位似三角形，且AB＝3DE，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1
【分析】根据位似图形的性质即可解答．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∵AB＝3DE，
∴△ABC与△DEF的周长之比为3：1，
故选：C．
7．（3分）永州市2019年底城市绿地面积是144万平方米，计划到2021年底城市绿地面积提高到225万平方米，则平均每年的增长率为（　　）
A．20% B．25% C．30% D．15%
【分析】设每年平均增长的百分率是x，根据某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，可列方程求解．
【解答】解：设每年平均增长的百分率是x，
144（1+x）2＝225，
解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．
即每年平均增长的百分率是25%．
故选：B．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：B．
9．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数y＝，y＝的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】连接OA、OB，先根据三角形面积公式得到S△PAB＝S△OAB，然后利用反比例函数k的几何意义得到S△OAB＝×2+×|﹣1|，于是有S△PAB＝．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵直线x＝2平行y轴，
∴S△PAB＝S△OAB，
∵S△OAB＝×2+×|﹣1|＝，
∴S△PAB＝．
故选：C．

10．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】如图，以AD为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，DP1，AP2，DP2．则△ADP1∽△DCP1，△ADP2∽△DCP2，取CD的中点P3，连接AP3，DP3，则△ADP3∽△DCP3，由此可得结论．
【解答】解：如图，以AD为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，DP1，AP2，DP2．

则△ADP1∽△DCP1，△ADP2∽△DCP2，
取CD的中点P3，连接AP3，DP3，则△ADP3∽△DCP3，
故选：B．
二、填空题
11．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在双曲线上，则y1，y2大小关系为：y1　＞　y2．
【分析】分别把A（﹣3，y1），B（1，y2）代入，求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在双曲线上，
∴y1＝﹣＝1，y2＝﹣＝﹣3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
12．（3分）若，则＝　　．
【分析】利用已知条件可设a＝5t，b＝7t，c＝8t，然后进行分式的混合运算．
【解答】解：∵，
∴设a＝5t，b＝7t，c＝8t，
∴＝＝．
故答案为：．
13．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为　16　cm．

【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有而AB的值已知，所以可求出CD．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO
∴
又∵AB＝36
∴CD＝16．
14．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0为一元二次方程，则m＝　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|＝2且m﹣2≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0为一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）现测得身高为1.6米的甲同学的影长为1.2米，那么同一时刻影长为9米的乙旗杆的高度是 　12　米．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．
∴1.6：1.2＝旗杆的高度：9，
∴旗杆的高度为：12米．
故答案为：12．
16．（3分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△AOB＝5，则k＝　﹣10　．

【分析】利用三角形的面积表示出点A的横纵坐标的积，进而根据点A所在象限得到k的值．
【解答】解：设A的坐标为（x，y），
∵S△AOB＝5，
∴|xy|＝5，
∴|xy|＝10，
∵点A在第二象限，
∴k＝xy＝﹣10，
故答案为﹣10．
17．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜6且k≠2　．
【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得出Δ＝42﹣4（k﹣2）×1＞0且k﹣2≠0，求出k的取值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4（k﹣2）×1＞0且k﹣2≠0，
解得：k＜6且k≠2，
故答案为：k＜6且k≠2．
18．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB＝1：9，则S△DOC：S△BOC＝　1：3　．

【分析】根据在梯形ABCD中，AD∥BC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB＝1：9，可求＝，则S△AOD：S△DOC＝1：3，所以S△DOC：S△BOC＝1：3．
【解答】解：根据题意，AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∵S△AOD：S△COB＝1：9
∴＝
则S△AOD：S△DOC＝1：3
所以S△DOC：S△BOC＝3：9＝1：3．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2），
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣2﹣3＝0，
x1＝2，x2＝5．
20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有＝，从而算出BC的长．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝．
∵EC＝8.7m，ED＝2.7m，
∴CD＝6m．
∵AB＝1.8m，
∴AC＝BC+1.8m，
∴＝，
解得：BC＝4，即窗口底边离地面的高为4m．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．

【分析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（1，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）反比例函数的图象上，
∴m＝xy＝﹣2×1＝﹣2，
∴．
在中，当x＝1时，y＝﹣2，
∴点B（1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，﹣2）两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1．
（2）由图象可得，时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】设每件衬衫应降价x元，根据平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，可列方程求解．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+5x）件，每件利润为（44﹣x）元，
依题意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，
整理，得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或x＝4（为了减少库存，不符合题意舍去）．
故每件衬衫应降价36元．
23．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？

【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
【解答】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．
24．如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求的值．

【分析】（1）根据B坐标为（6，0），得到OB＝6，根据等腰三角形的性质得到OH＝BH＝OB＝3，根据勾股定理得到AH＝＝＝4，求得A坐标为（3，4），于是得到结论；
（2）设C坐标为（6，m），根据y＝（x＞0）经过点C，求得BC＝2，根据相似三角形的性质得到＝，根据三角形的中位线定理得到MH＝BC＝×2＝1于是得到结论．
【解答】解：（1）∵B坐标为（6，0），
∴OB＝6，
∵AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，
∴OH＝BH＝OB＝3，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2，
∴AH＝＝＝4，
∴A坐标为（3，4），
∵y＝（x＞0）经过点A，
∴4＝，
∴k＝12，
∴双曲线表达式为y＝（x＞0）；
（2）设C坐标为（6，m），
∵y＝（x＞0）经过点C，
∴m＝＝2，
∴BC＝2，
∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AM∥CB，
∴△ADM∼△ABC，
∴＝，
∵OH＝BH，
∴OM＝CM，
∴MH是△OBC的中位线，
∴MH＝BC＝×2＝1，
∴AM＝AH﹣MH＝3，
∴＝．
25．阅读下列材料：已知实数p、q满足p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且p•q≠1，求的值．
解：∵1﹣q﹣q2＝0，q≠0，∴每一项都除以q2得，
又∵p2﹣p﹣1＝0且，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得，
∴．
根据材料中所提供的方法，解答下列问题：
（1）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值；
（2）已知实数p、q满足p2﹣2p﹣1＝0，1﹣2q﹣q2＝0且p•q≠1，求的值．
【分析】（1）讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，a、b可看作是方程x2﹣x﹣1＝0的根，利用根与系数关系得a+b＝15，ab＝﹣5，通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把1﹣2q﹣q2＝0变形为，则p、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得p+＝2，p•＝﹣1，再把变形（p+）2﹣2p•，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，
∴当a＝b时，原式＝1+1＝2；
当a≠b时，a、b可看作是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
由根与系数关系得a+b＝15，ab＝﹣5，
∴；
故值为﹣47或2．
（2）∵1﹣2q﹣q2＝0，q≠0，
∴每一项都除以q2得，
又p2﹣2p﹣1＝0，且，
∴p、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实根，
由根与系数关系得p+＝2，p•＝﹣1，
∴＝（p+）2﹣2p•＝22﹣2×（﹣1）＝6．
26．如图，正方形ABCD的边长为1，动点E在AD边上从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）求证：△ABE∽△DEH；
（2）若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大？并求出y的最大值．
（3）连接BH，试探究：当点E运动到边AD的什么位置时，△BEH∽△BAE？并说明理由．

【分析】（1）证明∠AEB＝∠DHE，根据相似三角形的判定方法可得出答案；
（2）证明△ABE∽△DEH，根据相似三角形的性质得到y与x的函数关系式，根据二次函数的性质计算，得到答案；
（3）根据相似三角形的判定定理证明即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D＝∠BEH＝90°，
∴∠AEB＝∠DHE，
∴△ABE∽△DEH．
（2）解：∵△ABE∽△DEH．
∴．
∴．
∴y＝﹣x2+x＝，
∴当时，y有最大值为．
（3）解：当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴．
∴．
又∵△ABE∽△DEH，
∴．
又∵，
∴．
又∠DAB＝∠FEB＝90°，
∴△BEH∽△BAE．