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2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，8cm
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（ ）
A．60° B．54° C．56° D．66°
5．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105° B．75° C．65° D．55°
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为 ．
12．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝ 度．
14．（3分）如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为 ．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
19．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
20．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 ．
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 ．
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线BF（保留作图痕迹）．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF：CF＝3：4，CF＝8，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，O为AE与BD交点．
（1）求证：AE＝BD；
（2）如图2，连接MN，求证：MN∥BE；
（3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，∠ABC＝90°，BC＝AB．
（1）如图1，A（﹣5，0），B（0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出C的坐标．
（2）如图1，B（0，﹣2），BF⊥y轴，D在y轴上，BD＝AO，连接CD并延长交BF于点E，请求出BE的长度；
（3）如图2，A（﹣n，0），H在AC延长线上，过H（m，n）作HG⊥x轴于G，探究线段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知：
A、3+4＝7，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+3＝6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、5+2＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、5﹣4＜8＜5+4，能够组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．（3分）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（ ）
A．60° B．54° C．56° D．66°
【分析】先根据全等三角形的性质，判断∠α＝∠1，再根据三角形内角和定理，求得∠α的度数，即可得出∠1．
【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，b，c的夹角为对应角
∴∠α＝∠1
又∵∠α＝180°﹣54°﹣60°＝66°
∴∠1＝66°
故选：D．
5．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°＝1080°，
∴n＝8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由AC＝4，AD＝3CD可求出CD的长，由BD平分∠ABC，利用角平分线的性质可求出DE的长．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AC＝4，AD＝3CD，
∴CD＝AC＝1．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝1．
故选：A．
7．（3分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105° B．75° C．65° D．55°
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△DBE＝S△ABD，S△DCE＝S△ADC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×8＝4（cm2）．
故选：B．
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判断⑤；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断②，根据BE是∠ABC的平分线，，所以AE＝，故④错误．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴，
∴AE＝，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为 70°或55° ．
【分析】分顶角为70°和底角为70°两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角．
【解答】解：
当顶角为70°时，则底角＝＝55°；
当底角为70°时，则顶角为180°﹣2×70°＝40°，符合题意；
故答案为：70°或55°．
12．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝ 18 度．
【分析】利用了三角形内角和等于180°计算即可知．
【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x．
根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A＝180°，
即2x+2x+x＝180°，
所以x＝36°，∠C＝2x＝72°．
在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°．
故填18°．
14．（3分）如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 7cm ．
【分析】根据折叠性质得到DC＝DE，BE＝BC＝6cm，则AE＝2cm，再根据三角形周长定义得到△AED周长＝AD+DE+AE，然后利用DC代替DE得到△AED周长＝AD+DC+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）．
【解答】解：∵过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴DC＝DE，BE＝BC＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∵△AED周长＝AD+DE+AE
＝AD+DC+AE
＝AC+AE
＝5cm+2cm
＝7cm．
故答案为7cm．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
∴S△ABD+S△DBC＝24，
∵AB＝6，BC＝8，
∴R+＝24，
解得：R＝，
即DF＝，
∴点D到边AB的距离是，
故答案为：．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为 2.5或8.5 ．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，如图1，证明△ABC≌△DAG，则∠HGC＝∠C＝60°，DG＝AC＝4，再证明△GHC是等边三角形，计算DH＝13，BH＝4；在Rt△DHE中，∠HDE＝30°，根据直角三角形30°角的性质求EH＝DH＝6.5，从而得EC的长．延长AC至G，使AG＝BC＝13，连接GD，CD，设AD，BC交于F，根据等边三角形的性质得到AD＝BD，∠ABD＝∠C＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ADG＝∠BDC，DG＝CC，推出△CDG是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：如图1，延长CA至G，使AG＝BC＝13，连接GD并延长，交CB的延长线于H，
∵△ADB是等边三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAG+∠BAC＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC+∠BAC＝120°，
∴∠DAG＝∠ABC，
在△ABC和△DAG中，
，
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴∠HGC＝∠C＝60°，DG＝AC＝4，
∴△GHC是等边三角形，
∴GH＝GC＝HC＝13+4＝17，
∠DHC＝60°，
∴DH＝13，BH＝4，
∵DE⊥BC，
∴∠DEH＝90°，
在Rt△DHE中，∠HDE＝30°，
∴EH＝DH＝6.5，
∴BE＝EH﹣BH＝6.5﹣4＝2.5；
如图2，延长AC至G，使AG＝BC＝13，连接GD，CD，
设AD，BC交于F，
∵△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠C＝60°，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAD＝∠CBD，
在△ADG和△BDC中，
，
∴△ADG≌△BDC（SAS），
∴∠ADG＝∠BDC，DG＝CC，
∴∠BDC﹣∠ADC＝∠ADG﹣∠ADC，
即∠ADB＝∠CDG＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠DCG＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵CD＝CG＝AG﹣AC＝BC﹣AC＝9，
∴CE＝CD＝4.5，
∴BE＝BC﹣CE＝8.5，
综上所述，BE的长为2.5或8.5，
故答案为：2.5或8.5，
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
【分析】由∠1＝∠2据可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
19．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
【分析】题中没有指明6cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：能构成有一边长为6cm的等腰三角形，理由如下：
①当6cm为底时，腰长＝7cm；
②当6cm为腰时，底边＝8cm；
故能构成有一边长为6cm的等腰三角形．
20．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 12 ．
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 （4，﹣2） ．
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线BF（保留作图痕迹）．
【分析】（1）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（2）分别作出点A、B关于y轴的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；
（3）根据网格特点作CF′⊥CA，再利用网格作BF″⊥AC，与AC的交点即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积为4×5﹣×1×5﹣×3×4﹣×1×4＝12，
故答案为：12；
（2）如图所示，△DEC即为所求，点E的坐标为（4，﹣2），
（3）如图所示，BF即为所求．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF：CF＝3：4，CF＝8，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，由“AAS”可证△ACE≌△ACF，可得AF＝AE，CE＝CF，由“HL”可证Rt△CBE≌Rt△CDF，可得∠ADC＝∠CBE，由平角的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得S△CBE＝S△CDF，S△ACE＝S△ACF，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
、
∵CA平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（AAS），
∴AF＝AE，CE＝CF，
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°；
（2）∵AF：CF＝3：4，CF＝8，
∴AF＝6，
∴S△ACF＝AF×CF＝24，
∵Rt△CBE≌Rt△CDF，△ACE≌△ACF，
∴S△CBE＝S△CDF，S△ACE＝S△ACF，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACE+S△ACF＝2S△ACF＝48．
23．（10分）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，O为AE与BD交点．
（1）求证：AE＝BD；
（2）如图2，连接MN，求证：MN∥BE；
（3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可证得△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE＝BD．
（2）△CMN是等边三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM＝∠CAN，根据ASA可证明△BCM≌△ACN，得到CM＝CN，又∠MCN＝60°，可知△CMN是等边三角形，得到∠CMN＝60°，由∠ACB＝60°，得到∠CMN＝∠ACB，所以MN∥BC．
（3）由等边三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE＝90°，将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形，可证明△BCD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180，
∴∠ACD＝60°，∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠DCE，
即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝AE．
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBM＝∠CAN．
在△BCM和△ACN中，
，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CMN＝∠ACB，
∴MN∥BC．
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝58°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝32°，∠DAC＝∠BAC﹣58°＝2°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝28°，
∵∠ACD＝28°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝32°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝120°，
∴∠ADE＝360°﹣∠ADB﹣∠BDC﹣∠EDC＝360°﹣90°﹣120°﹣60°＝90°，
将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形，
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴∠EAC＝∠CBD＝60°﹣32°＝28°，
∴∠DAE＝2°+28°＝30°，
在Rt△ADE中，DE＝1，∠DAE＝30°，
∴AE＝BD＝2．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，∠ABC＝90°，BC＝AB．
（1）如图1，A（﹣5，0），B（0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出C的坐标．
（2）如图1，B（0，﹣2），BF⊥y轴，D在y轴上，BD＝AO，连接CD并延长交BF于点E，请求出BE的长度；
（3）如图2，A（﹣n，0），H在AC延长线上，过H（m，n）作HG⊥x轴于G，探究线段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过C作CR⊥y轴于R，证△AOB≌△BRC（AAS），得BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，则OR＝BR﹣OB＝3，即可求解；
（2）由（1）得CR＝BO＝2，BR＝AO＝5，再证△BDE≌△RDC（ASA），得BE＝CR＝BO＝2即可；
（3）在OG上取一点M，使MG＝BO，连接HM幷延长交AB的延长线于N，证△ABO≌△HMG（SAS），得∠BAO＝∠MHG，AB＝HM，再证△AHN是等腰直角三角形，得∠BAH＝∠MHA＝45°，然后证△ABH≌△HMA（SAS），得BH＝MA，即可得出结论．
【解答】解：（1）过C作CR⊥y轴于R，如图1所示：
则∠BRC＝90°，
∵A（﹣5，0），B（0，﹣2），
∴OA＝5，OB＝2，
∵∠AOB＝∠ABC＝∠BRC＝90°，
∴∠ABO+∠CBR＝90°，∠CBR+∠BCR＝90°，
∴∠ABO＝∠BCR，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BRC（AAS），
∴BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，
∴OR＝BR﹣OB＝3，
∴C（2，3）；
（2）由（1）得：CR＝BO＝2，BR＝AO＝5，
∵BD＝AO，
∴BD＝BR，
∴BD＝RD，
∵BF⊥y轴，
∴∠EBD＝90°＝∠CRD，
又∵∠BDE＝∠RDC，
∴△BDE≌△RDC（ASA），
∴BE＝CR＝BO＝2；
（3）AG＝BH+BO，证明如下：
在OG上取一点M，使MG＝BO，连接HM幷延长交AB的延长线于N，如图2所示：
∵A（﹣n，0），
∴AO＝n，
∵HG⊥x轴于G，H（m，n），
∴OG＝m，HG＝n，
∴AO＝HG，
∵∠AOB＝∠HGM＝90°，
∴△ABO≌△HMG（SAS），
∴∠BAO＝∠MHG，AB＝HM，
∵∠AMN＝∠HMG，
∴∠ANM＝∠HGM＝90°，
∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠BAC＝45°，
∴△AHN是等腰直角三角形，
∴∠BAH＝∠MHA＝45°，
又∵AB＝HM，AH＝HA，
∴△ABH≌△HMA（SAS），
∴BH＝MA，
∵AG＝AM+MG，
∴AG＝BH+BO．
2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，8cm
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（ ）
A．60° B．54° C．56° D．66°
5．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105° B．75° C．65° D．55°
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为 ．
12．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝ 度．
14．（3分）如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为 ．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
19．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
20．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 ．
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 ．
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线BF（保留作图痕迹）．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF：CF＝3：4，CF＝8，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，O为AE与BD交点．
（1）求证：AE＝BD；
（2）如图2，连接MN，求证：MN∥BE；
（3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，∠ABC＝90°，BC＝AB．
（1）如图1，A（﹣5，0），B（0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出C的坐标．
（2）如图1，B（0，﹣2），BF⊥y轴，D在y轴上，BD＝AO，连接CD并延长交BF于点E，请求出BE的长度；
（3）如图2，A（﹣n，0），H在AC延长线上，过H（m，n）作HG⊥x轴于G，探究线段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cm D．4cm，5cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知：
A、3+4＝7，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+3＝6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、5+2＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、5﹣4＜8＜5+4，能够组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．（3分）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（ ）
A．60° B．54° C．56° D．66°
【分析】先根据全等三角形的性质，判断∠α＝∠1，再根据三角形内角和定理，求得∠α的度数，即可得出∠1．
【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，b，c的夹角为对应角
∴∠α＝∠1
又∵∠α＝180°﹣54°﹣60°＝66°
∴∠1＝66°
故选：D．
5．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°＝1080°，
∴n＝8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由AC＝4，AD＝3CD可求出CD的长，由BD平分∠ABC，利用角平分线的性质可求出DE的长．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AC＝4，AD＝3CD，
∴CD＝AC＝1．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝1．
故选：A．
7．（3分）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105° B．75° C．65° D．55°
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则S阴影等于（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△DBE＝S△ABD，S△DCE＝S△ADC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×8＝4（cm2）．
故选：B．
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN； ②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；
⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判断⑤；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，即可判断③，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断②，根据BE是∠ABC的平分线，，所以AE＝，故④错误．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，
∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正确；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN
∴③正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正确；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴，
∴AE＝，
∴④错误，
即正确的有4个，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形一个内角等于70°，则它的底角为 70°或55° ．
【分析】分顶角为70°和底角为70°两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角．
【解答】解：
当顶角为70°时，则底角＝＝55°；
当底角为70°时，则顶角为180°﹣2×70°＝40°，符合题意；
故答案为：70°或55°．
12．（3分）点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标为 （﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝ 18 度．
【分析】利用了三角形内角和等于180°计算即可知．
【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x．
根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A＝180°，
即2x+2x+x＝180°，
所以x＝36°，∠C＝2x＝72°．
在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°．
故填18°．
14．（3分）如图，三角形纸牌中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED周长为 7cm ．
【分析】根据折叠性质得到DC＝DE，BE＝BC＝6cm，则AE＝2cm，再根据三角形周长定义得到△AED周长＝AD+DE+AE，然后利用DC代替DE得到△AED周长＝AD+DC+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）．
【解答】解：∵过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴DC＝DE，BE＝BC＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∵△AED周长＝AD+DE+AE
＝AD+DC+AE
＝AC+AE
＝5cm+2cm
＝7cm．
故答案为7cm．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
∴S△ABD+S△DBC＝24，
∵AB＝6，BC＝8，
∴R+＝24，
解得：R＝，
即DF＝，
∴点D到边AB的距离是，
故答案为：．
16．（3分）△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝4，BC＝13，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥BC于E，则BE的长为 2.5或8.5 ．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，如图1，证明△ABC≌△DAG，则∠HGC＝∠C＝60°，DG＝AC＝4，再证明△GHC是等边三角形，计算DH＝13，BH＝4；在Rt△DHE中，∠HDE＝30°，根据直角三角形30°角的性质求EH＝DH＝6.5，从而得EC的长．延长AC至G，使AG＝BC＝13，连接GD，CD，设AD，BC交于F，根据等边三角形的性质得到AD＝BD，∠ABD＝∠C＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ADG＝∠BDC，DG＝CC，推出△CDG是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：如图1，延长CA至G，使AG＝BC＝13，连接GD并延长，交CB的延长线于H，
∵△ADB是等边三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAG+∠BAC＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC+∠BAC＝120°，
∴∠DAG＝∠ABC，
在△ABC和△DAG中，
，
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴∠HGC＝∠C＝60°，DG＝AC＝4，
∴△GHC是等边三角形，
∴GH＝GC＝HC＝13+4＝17，
∠DHC＝60°，
∴DH＝13，BH＝4，
∵DE⊥BC，
∴∠DEH＝90°，
在Rt△DHE中，∠HDE＝30°，
∴EH＝DH＝6.5，
∴BE＝EH﹣BH＝6.5﹣4＝2.5；
如图2，延长AC至G，使AG＝BC＝13，连接GD，CD，
设AD，BC交于F，
∵△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠C＝60°，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAD＝∠CBD，
在△ADG和△BDC中，
，
∴△ADG≌△BDC（SAS），
∴∠ADG＝∠BDC，DG＝CC，
∴∠BDC﹣∠ADC＝∠ADG﹣∠ADC，
即∠ADB＝∠CDG＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠DCG＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵CD＝CG＝AG﹣AC＝BC﹣AC＝9，
∴CE＝CD＝4.5，
∴BE＝BC﹣CE＝8.5，
综上所述，BE的长为2.5或8.5，
故答案为：2.5或8.5，
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．
【分析】由∠1＝∠2据可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
19．（8分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？
【分析】题中没有指明6cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：能构成有一边长为6cm的等腰三角形，理由如下：
①当6cm为底时，腰长＝7cm；
②当6cm为腰时，底边＝8cm；
故能构成有一边长为6cm的等腰三角形．
20．（8分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）直接写出△ABC的面积为 12 ．
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 （4，﹣2） ．
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线BF（保留作图痕迹）．
【分析】（1）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（2）分别作出点A、B关于y轴的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；
（3）根据网格特点作CF′⊥CA，再利用网格作BF″⊥AC，与AC的交点即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积为4×5﹣×1×5﹣×3×4﹣×1×4＝12，
故答案为：12；
（2）如图所示，△DEC即为所求，点E的坐标为（4，﹣2），
（3）如图所示，BF即为所求．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD于F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）若AF：CF＝3：4，CF＝8，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，由“AAS”可证△ACE≌△ACF，可得AF＝AE，CE＝CF，由“HL”可证Rt△CBE≌Rt△CDF，可得∠ADC＝∠CBE，由平角的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得S△CBE＝S△CDF，S△ACE＝S△ACF，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
、
∵CA平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（AAS），
∴AF＝AE，CE＝CF，
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°；
（2）∵AF：CF＝3：4，CF＝8，
∴AF＝6，
∴S△ACF＝AF×CF＝24，
∵Rt△CBE≌Rt△CDF，△ACE≌△ACF，
∴S△CBE＝S△CDF，S△ACE＝S△ACF，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACE+S△ACF＝2S△ACF＝48．
23．（10分）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，O为AE与BD交点．
（1）求证：AE＝BD；
（2）如图2，连接MN，求证：MN∥BE；
（3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可证得△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE＝BD．
（2）△CMN是等边三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM＝∠CAN，根据ASA可证明△BCM≌△ACN，得到CM＝CN，又∠MCN＝60°，可知△CMN是等边三角形，得到∠CMN＝60°，由∠ACB＝60°，得到∠CMN＝∠ACB，所以MN∥BC．
（3）由等边三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE＝90°，将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形，可证明△BCD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180，
∴∠ACD＝60°，∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠DCE，
即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝AE．
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBM＝∠CAN．
在△BCM和△ACN中，
，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CMN＝∠ACB，
∴MN∥BC．
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝58°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝32°，∠DAC＝∠BAC﹣58°＝2°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝28°，
∵∠ACD＝28°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝32°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝120°，
∴∠ADE＝360°﹣∠ADB﹣∠BDC﹣∠EDC＝360°﹣90°﹣120°﹣60°＝90°，
将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形，
∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴∠EAC＝∠CBD＝60°﹣32°＝28°，
∴∠DAE＝2°+28°＝30°，
在Rt△ADE中，DE＝1，∠DAE＝30°，
∴AE＝BD＝2．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，∠ABC＝90°，BC＝AB．
（1）如图1，A（﹣5，0），B（0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出C的坐标．
（2）如图1，B（0，﹣2），BF⊥y轴，D在y轴上，BD＝AO，连接CD并延长交BF于点E，请求出BE的长度；
（3）如图2，A（﹣n，0），H在AC延长线上，过H（m，n）作HG⊥x轴于G，探究线段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过C作CR⊥y轴于R，证△AOB≌△BRC（AAS），得BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，则OR＝BR﹣OB＝3，即可求解；
（2）由（1）得CR＝BO＝2，BR＝AO＝5，再证△BDE≌△RDC（ASA），得BE＝CR＝BO＝2即可；
（3）在OG上取一点M，使MG＝BO，连接HM幷延长交AB的延长线于N，证△ABO≌△HMG（SAS），得∠BAO＝∠MHG，AB＝HM，再证△AHN是等腰直角三角形，得∠BAH＝∠MHA＝45°，然后证△ABH≌△HMA（SAS），得BH＝MA，即可得出结论．
【解答】解：（1）过C作CR⊥y轴于R，如图1所示：
则∠BRC＝90°，
∵A（﹣5，0），B（0，﹣2），
∴OA＝5，OB＝2，
∵∠AOB＝∠ABC＝∠BRC＝90°，
∴∠ABO+∠CBR＝90°，∠CBR+∠BCR＝90°，
∴∠ABO＝∠BCR，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BRC（AAS），
∴BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，
∴OR＝BR﹣OB＝3，
∴C（2，3）；
（2）由（1）得：CR＝BO＝2，BR＝AO＝5，
∵BD＝AO，
∴BD＝BR，
∴BD＝RD，
∵BF⊥y轴，
∴∠EBD＝90°＝∠CRD，
又∵∠BDE＝∠RDC，
∴△BDE≌△RDC（ASA），
∴BE＝CR＝BO＝2；
（3）AG＝BH+BO，证明如下：
在OG上取一点M，使MG＝BO，连接HM幷延长交AB的延长线于N，如图2所示：
∵A（﹣n，0），
∴AO＝n，
∵HG⊥x轴于G，H（m，n），
∴OG＝m，HG＝n，
∴AO＝HG，
∵∠AOB＝∠HGM＝90°，
∴△ABO≌△HMG（SAS），
∴∠BAO＝∠MHG，AB＝HM，
∵∠AMN＝∠HMG，
∴∠ANM＝∠HGM＝90°，
∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠BAC＝45°，
∴△AHN是等腰直角三角形，
∴∠BAH＝∠MHA＝45°，
又∵AB＝HM，AH＝HA，
∴△ABH≌△HMA（SAS），
∴BH＝MA，
∵AG＝AM+MG，
∴AG＝BH+BO．
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