初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.4 平移课时训练

这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.4 平移课时训练，共51页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。

专题5.3-5.4平行线的性质、平移
典例体系(本专题共72题50页)

一、知识点
1.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图所示。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
3.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行(或共线)且相等；②对应线段相等③对应角相等
二、考点点拨与训练
考点1:应用平行线的性质求角度
典例：(2020·山西太原市·八年级期末)如图，，平分交于点E，若，则( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
∵∠1＝64°
∴∠BAC＝180°－64°＝116°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝∠BAC＝58°
∵AC∥BD
∴∠2＝180°－∠EAC＝122°
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查平角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半．
巩固练习
1．(2019·甘肃庆阳市·七年级期中)如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是( )

A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°
【答案】D
【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
2．(2020·成都市金牛实验中学校七年级月考)如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则( )．

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
纸条两边平行，
(两直线平行，同位角相等)，
又三角板为直角三角形，
，

(两直线平行，内错角相等)，
．
故选C．
3．(2020·沈阳市雨田实验中学八年级期末)如图，于点，，，则( )

A．112° B．122° C．132° D．142°
【答案】C
【详解】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°−42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故选：C．
4．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵a∥b，

∴∠1＝∠3．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠2＝90°−∠3＝90°−56°＝34°，
故选：B．
5．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，直线a，b被直线c所截，，则的度数是( )

A．130° B．30° C．45° D．50°
【答案】D
【详解】
，
(两直线平行，同位角相等)，
故选：D．
6．(2020·四川攀枝花市·七年级期末)如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为( )

A．20° B．25° C．35° D．50°
【答案】A
【详解】
解：由题意得，AB∥DE，
如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=180°-125°=55°，
∴∠DCF=75°-55°=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．
故选：A．
7．(2021·河南新乡市·七年级期末)如图，，若，则的度数为____．

【答案】
【详解】如图，






故答案为：．
8．(2020·浙江金华市·七年级期中)在一个平面内，已知的两边与的两边分别平行，若，则__．
【答案】65°或115°
【详解】
如图，当∠A与∠B相等时，满足它们的两条边分别平行，此时∠B=65°；
当∠A与∠B互补时，满足它们的两条边分别平行，此时∠B=115°；
故答案为：65°或115°．

9．(2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末)如图，直线，直线与，均相交，若，则________．

【答案】
【详解】
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故填：142°

10．(2020·江苏镇江市·八年级期中)如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．

【答案】110
【详解】如图：

由折叠的性质可得，∠1＝∠3，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴∠2＝110°，
故答案为：110．
11．(2021·全国七年级)如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为__．

【答案】132°
【详解】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故答案为：132°．
12．(2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中)一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______．

【答案】
【详解】
由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故答案为．
13．(2020·成都市棕北中学)如图，，若，，则______．

【答案】12°
【详解】
解：∵AB∥EF，∠ABE=32°，
∴∠BEF=∠ABE=32°；
又∵CD∥EF，∠DCE=160°，
∴∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=20°；
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=32°-20°=12°．

故答案为：12．
14．(2020·宁波市惠贞书院七年级期中)如图，，，平分，，，为______°．

【答案】20
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵．
又∵，
∴．
∵平分，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠BCF＝20°
∵，
∴，
∴．
故答案为：20．
15．(2021·浙江宁波市·七年级期末)一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为()．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．

【答案】30°或45°或120°或135°或165°
【详解】
解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°

②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°

③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°

④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°

⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°
∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°

综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为30°或45°或120°或135°或165°
考点2：真假命题的判定
典例： (2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期末)下列四个命题中，真命题有( )
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②等角或同角的余角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】
解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
②等角或同角的余角相等，故原命题是真命题；
③三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，故原命题是假命题；
④当x和y都为负数时不满足条件，故原命题是假命题．
只有②是真命题，共1个．
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查命题与定理，正确掌握平行线的性质以及余角的性质与内外角性质和非负数的性质是解题的关键．
巩固练习
1．(2021·浙江杭州市·八年级期末)要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设( )
A．a=3，b=4 B．a=4， b=3 C．a=－3，b=－4 D．a=－4，b=－3
【答案】C
【详解】
解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意；
B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意；
C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意；
故选：C．
2．(2021·重庆南岸区·八年级期末)下列命题中，是假命题的是( )
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【详解】
解：A. 两直线平行，内错角相等，正确，真命题，不符合题意；
B. 两直线平行，同位角相等，正确，真命题，不符合题意；
C. 两直线平行，同旁内角相等，错误，假命题，符合题意；
D. 两直线平行，同旁内角互补，正确，真命题，不符合题意；
故选：C．
3．(2020·浙江杭州市·八年级其他模拟)用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中( )
A．没有一个内角小于 B．每一个内角都小于
C．至多有一个内角不小于 D．每一内角都大于
【答案】B
【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，
应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．
4．(2018·山东济南市·七年级期中)下列说法正确的是( )．
A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．同角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】C
【详解】
当两直线平行时，同位角相等，故选项A错误；
对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故选项B错误；
同角的补角相等，故选项C正确；
两直线平行，同旁内角互补，故选项D错误；
故选：C．
5．(2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末)下列命题是假命题的是( )
A．对顶角相等 B．两点之间线段最短
C．同角的余角相等 D．内错角相等
【答案】D
【详解】
根据相关定义A，B，C均正确，
对于D，当两直线平行时，内错角相等，故本选项是假命题，
故选：D．
6．(2021·福建三明市·七年级期末)下列命题中真命题是( )
A．如果，那么
B．两边分别相等且其中一组等边的对角也相等的两个三角形全等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【详解】
A.举反例：，但，故A错误；
B.SSA不能判定两个三角形全等，故B错误；
C.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故C错误；
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故D正确，
故选：D．
7．(2020·珠海市紫荆中学七年级期中)有下列命题，其中假命题有(　　)
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】
①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
8．(2021·四川成都市·八年级期末)下列命题中，真命题的是( )
A．同旁内角互补，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等 D．直角三角形两个锐角互补
【答案】A
【详解】
解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；
D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．
故选：A．
9．(2021·山东青岛市·八年级期末)下列句子，是命题的是(　　)
A．美丽的天空 B．相等的角是对顶角
C．作线段AB=CD D．你喜欢运动吗？
【答案】B
【详解】
解：A、美丽的天空，是描叙性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意；
B、相等的角是对顶角是命题，所以B选项符合题意；
C、作线段AB=CD，是描叙性语言，它不是命题，所以C选项不符合题意；
D、你喜欢运动吗？，是疑问句，没有对事物作出判断，它不是命题，所以D选项不符合题意．
故选：B．
11．(2021·四川省遂宁市第二中学校八年级月考)命题“等角的补角相等”的条件是( )
A．等角 B．这两个角相等 C．补角相等 D．两个角是等角的补角
【答案】D
【详解】
命题：等角的补角相等，
改写成“如果…,那么….”，
命题的题设：两个角是等角的补角，结论是这两个角相等．
故选择：D．
12．(2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末)下列命题为假命题的是( )
A．对顶角相等 B．如果，垂足为O，那么
C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【详解】
A、对顶角相等，是真命题；
B、如果，垂足为O，那么，是真命题；
C、经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项是假命题；
D、两直线平行，同位角相等，是真命题；
故选：C．
13．(2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟)能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：能说明命题“若，则”是假命题的一个反例是：
，，，但，
故选：A．
14．(2020·沈阳市第一二六中学八年级期末)下列命题是真命题的是( )
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0和1
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【答案】C
【详解】
A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，故A是假命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，例如：-1的倒数也是-1，故B是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1，故C是真命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的算术平方根也是1，故D是假命题；
故选：C．
15．(2021·山东青岛市·八年级期末)把命题“锐角小于90°”改写成“如果……那么……”的形式：______．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于90°
【详解】
题设是“一个角是锐角”，结论是“这个角小于90°”，
写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
16．(2020·浙江杭州市·九年级期中)用一组，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是____， ____
【答案】1(答案不唯一) -2(答案不唯一)
【详解】
解：当a=1，b=-2时，满足a＞b，
但是a2=1，b2=4，a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：1、-2．(答案不唯一)
17．(2020·安徽滁州市·八年级月考)命题“如果，那么”，是______(选填“真”或“假”)命题．
【答案】假
【详解】
解：∵，
∴令a=1，b=-1，
∴，， ，
故结论不成立，即命题是假命题，
故答案为：假．
考点3：平行线的性质与判定的综合应用
典例：．(2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期中)在三角形中，于点，是上一点，于点，点在上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长、交于点，若，请直接写出图中与互余的角，不需要证明．

【答案】(1)见解析；(2)、、、、
【详解】
(1)证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠FGB＝∠CDB＝90°，
∴FG∥CD，
∴∠BFG＝∠BCD，
又∵∠EDC＝∠BFG，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
(2)解：图中与∠B互余的角为∠BFG、∠BCD、∠A、∠G、∠CDE，理由如下：
∵FH⊥AB，CD⊥AB，
∴∠B＋∠BFG＝∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠BFG、∠BCD与∠B互余，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°，
∴∠A与∠B互余，
∵FG∥CD，DE∥BC，
∴∠G＝∠BFG，∠CDE＝∠G，
∴∠G、∠CDE与∠B互余．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
巩固练习
1．(2021·山东青岛市·八年级期末)已知：如图，直线，平分，．求：的度数．

【答案】∠2=65°．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
而∠ABC=∠1=50°，
∴∠BCD=130°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ACD=65°．
2．(2021·和平区·天津一中八年级期末)如图，，点E是线段上一点，且，．求的大小．

【答案】90°
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴·
∴．
∴

．
3．(2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末)如图，点、分别为、上的点，点、为上的点，连接，连接、交于点．已知，，若，求的度数．
请你将下面解答过程填写完整．

解：∵
∴________
∴(________________________)
∵
∴_______
∴(____________________________)
∴
∵
∴
【答案】见解析．
【详解】
解：∵，
∴，
∴(两直线平行，内错角相等)，
∵，
∴，
∴(同位角相等，两直线平行)，
∴，
∵，
∴．
4．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，已知，．

(1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
(2)若DE平分，，求的度数．
【答案】(1)DE∥BC；(2)72°
【详解】
解：(1)DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
(2)∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，
∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
5．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．

【答案】∠AED+∠D=180°，理由见解析
【详解】
解：∠AED+∠D=180°，
理由是：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
6．(2021·重庆万州区·七年级期末)补全解答过程：
如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．

解：∵EF∥AD，(已知)
∴∠2=　　　　，(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1=∠2，(已知)
∴∠1=∠3，(等量代换)
∴AB∥　　　　，(　　　)
∴∠AGD＋∠BAC=180°．(　　　)
∵∠BAC=70°，(已知)
∴∠AGD=　　　　．
【答案】∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°
【详解】
∵EF∥AD(已知)，
∴∠2=∠3．(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1=∠2，(已知)
∴∠1=∠3，(等量代换)
∴AB∥DG．(内错角相等，两直线平行)
∴∠BAC+∠AGD=180°．(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠BAC=70°，(已知)
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°．
7．(2020·四川资阳市·七年级期末)如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知

(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．(用表示)
【答案】(1)见解析(2)90°＋α
【详解】
解：(1)∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°
∴∠DFE＝∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF＝∠EAD；
(2)∵AB∥EF，
∴∠2＋∠BDE＝180°
又∵∠2＝α
∴∠BDE＝180°−α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1＝∠BDE＝(180°−α)
∴∠3＝180°− (180°−α)＝90°＋α．
8．(2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末)三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接BE，若，，求的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)100°；(3)12°．
【详解】
(1)证明：∵DE∥BC，
∴，
又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，
∴，
∴，

(2)解：过E作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
答：的度数是100°，

(3)解：∵BE平分， ，
∴，
∴，
∴设，则，
∵DE∥BC，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
答：的度数是12°．

9．(2021·全国七年级)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)CD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B的度数．

【答案】(1)CD与EF平行．理由见解析；(2)∠B=35°
【详解】
(1)CD与EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴EF∥CD；
(2)∵EF∥CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠ACB=∠3=115°，
∵∠A=30°，
∴∠B=35°．
10．(2021·全国七年级)已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2
(1)求证：AB∥CD
(2)若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度数．

【答案】(1)证明见解析；(2)30°
【详解】
(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNB＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2；
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠1，
∴AB∥CD；

(2)解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝30°．
11．(2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末)如图，已知，，．

(1)请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，平分，试求的度数．
【答案】(1)∠1=∠ABD，证明见解析；(2)∠ACF=55°．
【详解】
解：(1)∠1=∠ABD，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE，
∴∠3+∠CBD=180°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠CBD，
∴CF∥DB，
∴∠1=∠ABD．
(2)∵∠1=70°，CF∥DB，
∴∠ABD=70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴∠2=∠DBC=35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．
12．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图所示，直线分别与直线是好点B、F，且，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C．
(1)请判断直线与的位置关系，并说明理由
(2)请判断直线与的位置关系，并说明理由
(3)若，求的度数

【答案】(1)AC∥DG，理由见解析；(2)BE∥CF，理由见解析；(3)145°
【详解】
(1)AC∥DG
证明：∵∠1=∠2，∠2=∠BFG，
∴∠1=∠BFG，
∴AC∥DG，
(2)BE∥CF
证明：∵AC∥DG
∴∠ABF=∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF=∠ABF，∠CFB＝∠BFG，
∴∠EBF=∠CFB，
∴BE∥CF；
(3)∵AC∥DG，BE∥CF，∠C=35°，
∴∠C=∠CFG=35°，
∴∠CFG=∠BEG=35°，
∴∠BED=180°-∠BEG=145°．
13．(2020·哈尔滨市第四十七中学七年级月考)如图，，，， ，求：的度数．
请完成下面的推理和计算过程，并在括号内写明依据．

∵(已知)
∴ ① ( ② )
∵(已知)
∴ ③
∵(已知)
∴
∴ ④
∴ ⑤
∴( ⑥ )
∴ ⑦
∵
∴ ⑧° ．
【答案】①　②两直线平行，同位角相等　③　④　⑤　⑥内错角相等，两直线平行　⑦　⑧115°．
【详解】
证明∵(已知)
∴(两直线平行，同位角相等)
∵(已知)
∴
∵(已知)
∴
∴
∴
∴(内错角相等，两直线平行)
∴
∵
∴115°．
考点4：利用图形的平移解决问题
典例：(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，已知在每个小正方形的网格图形中，的顶点都在格点上，为格点．

(1)先将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后，(点，，所对应的顶点分别是，，)
(2)求出的面积；
(3)连结，，直接说出与的关系(不需要理由)．
【答案】(1)见解析；(2)8；(3)AD=BE且AD∥BE
【详解】
解：(1)如图，△DEF即为所作；
(2)S△DEF==8；
(3)如图，由平移可知：
AD=BE且AD∥BE．

方法或规律点拨
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
巩固练习
1．(2021·浙江温州市·七年级期末)将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为( )

A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【详解】
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2(x+y)+(2x+y)=16，
解得：x+y=4，
如图，
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2(x+y)+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2(AB+AD)=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2(24-x-y)=48-2(x+y)=48-8=40，
故选：D．
．
2．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为( )

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE=1cm，AF=AC+CF=AC+1cm，EF=BC；
又∵AB+AC+BC=10cm，
∴四边形ABEF的周长=BE+AB+AF+EF=1+AB+AC+1+BC=12cm．
故选：C．
3．(2021·山东烟台市·八年级期末)如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是( )

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】
解：∵△DEF是由△ABC向右平移8个单位长度得到，
∴BC=EF，CF=8，
∴BC=EF=EC+CF=4+8=12．
故选：B．
4．(2021·上海宝山区·七年级期末)如图，经过平移后得到，下列说法：

①
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面枳相等，其中正确的有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】
解：经过平移后得到，
∴，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
和的面积相等，故④正确；
四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等，
∴四边形和四边形的面枳不一定相等，故⑤不正确；
综上：正确的有4个
故选A．
5．(2020·上海松江区·七年级期末)如图，沿射线方向平移到(点E在线段上)，如果，，那么平移距离为( )

A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm
【答案】A
【详解】
解：根据平移的性质，
易得平移的距离=BE=8-5=3cm，
故选：A．
6．(2020·山东泰安市·泰山外国语学校八年级月考)如图，将周长为8的沿BC方向平移1个单位得到，则四边形ABFD的周长是( )

A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【详解】
解：∵将周长为8的沿BC方向平移1个单位得到，
∴AD=CF=1，AC=DF，AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10．
故选：B．
7．(2020·河南洛阳市·七年级期末)如图所示，沿平移后得到，则移动的距离是( )

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】C
【详解】∵△ABC沿BC平移后得到△A′B′C′，
∴△ABC移动的距离是BB′．
故选：C．
8．(2020·东营市实验中学七年级月考)如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿AB方向平移得到，，，下列结论：①；②；③：④；⑤阴影部分的面积为．其中正确的是( )

A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【详解】解：因为将沿AB方向平移得到，
所以，，DF∥AC，故①②正确；
所以，故④正确；
而BD与CH不一定相等，故③不正确；
因为，，
所以BH=2cm，
又因为BE=2cm，
所以阴影部分的面积=S△ABC－S△DBH= S△DEF－S△DBH=S梯形BEFH=，故⑤正确；
综上，正确的结论是①②④⑤．
故选：D．
9．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝(如图甲)．若把裂缝右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积可列式为_______．

【答案】bx
【详解】解：如图乙，
产生的裂缝的面积=S矩形ABCD-ab=(a+x)b-ab=bx(cm2)．
故答案为：bx．

10．(2021·上海浦东新区·七年级期末)如图，已知直角三角形，，厘米，厘米，厘米，将沿方向平移1.5厘米，线段在平移过程中所形成图形的面积为__________平方厘米．

【答案】6
【详解】
解：如图：线段在平移过程中所形成图形为平行四边形且底CE=1.5cm，高DF=AB=4cm，
所以线段在平移过程中所形成图形的面积为CE·DF=1.5×4=6cm2．
故答案为6．

12．(2020·上海宝山区·七年级期末)如图，已知中，、、，将沿直线BC向右平移得到，点A、B、C的对应点分别是、、，连接．如果四边形的周长为19，那么四边形的面积与的面积的比值是________．

【答案】
【详解】
解：过点A作BC上的高

由平移的性质可得=，且，
∴四边形为梯形
∵四边形的周长为19，
∴＋＋＋AB=19
∴＋5＋6＋＋4=19
∴2=4
∴=2
∴=2
∴=BC＋=8
∴四边形的面积与的面积的比为
故答案为：．
13．(2019·四川德阳市·八年级期末)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接，则的周长为________．

【答案】12
【详解】
平移两个单位得到的，
，，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
的周长为．
故答案为：12．
14．(2020·濮阳市第一中学九年级月考)如图，将Rt△ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt△DEF，已知AG=2，BE=4，DE=8，则阴影部分的面积是______．

【答案】28
【详解】
Rt△ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt△DEF，


故答案为：28．
15．(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．

【答案】
【详解】
解：根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高， 则红地毯至少要13+5=18米．
故答案为：．
16．(2019·甘肃庆阳市·七年级期中)如图，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，则阴影部分的面积是___

【答案】130cm2．
【详解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，
∴S阴影=S梯形MGHD=(DM+GH)•GM=(28-4+28)×5=130(cm2)．
故答案是130cm2．
17．(2020·山西大同市·七年级月考)如图，长方形的周长为，则图中虚线部分总长为____________．

【答案】15
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为：．
故答案为：15．
18．(2020·重庆市万州第三中学八年级期中)如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为__

【答案】48.
【详解】解:由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO(AB+OE)•BE×(10+6)×6＝48．
故答案为48．
考点5：作平行线辅助证明
典例：(2020·浙江杭州市·七年级其他模拟)已知：如图1，，点，分别为，上一点．

(1)在，之间有一点(点不在线段上)，连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
(2)如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系(不需证明)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】
解：(1)∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；

证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
(2)如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．

方法或规律点拨
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
巩固练习
1．(2020·浙江金华市·七年级期中)已知：如图1直线、被直线所截，．
(1)求证：；
(2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
(3)如图3，在(2)的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析；(3)．
【详解】
解：(1)如图1中，

，，
，
．
(2)结论：如图2中，．
理由：作．

，，
，
，，
，
，
同理可证：，
∵平分，平分，
，，
∵，，
；
(3)设，．，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
2．(2020·浙江金华市·七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

(1)如图(2)所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
(2)如图(3)所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
(3)如图(4)所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析
【详解】
(1)，理由如下：
如图所示，过点E作直线a，使得，
则，，(两直线平行，内错角相等)，
∴，
即：；

(2)，理由如下：
如图所示，过点E作直线b，使得，
则，，(两直线平行，同旁内角互补)，
∴，
∵，
∴，
即：；

(3)，理由如下：
如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，
则，，，，(两直线平行，内错角相等)，
∵，，
∴，
∴，
即：．

2．(2020·吉林长春市·七年级期末)(感知)如图①， ， ，．求的度数．
(提示：过点P作直线)
(探究)如图②，，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在线段AB上运动时，，，之间的数量关系为_______________．
(2)当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，直接写出，， 之间的数量关系为____________________________________________________________．

【答案】【感知】；【探究】(1)；(2)或．
【详解】
解：过点P作直线，
∵，
∴．
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴的度数为．
探究(1)．
如图②：作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；


(2)或．
如图③：当P在AM上时，作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
当P在OB上时，同理：．
综上所述，或．
3．(2020·河南新乡市·七年级期末)把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．
(1)如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
(2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
(3)如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．

【答案】(1)40°；(2)∠AEF+∠FGC=90°；(3)+=300°
【详解】
(1)∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=40°；
(2)如图,过点F作FP∥AB，

∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) +=300°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即−30°+−90°=180°，
整理得：+=300°．
4．(2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考)如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
(1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
(2)若点P在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
(3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
(4)若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

【答案】(1)证明见详解；(2)∠3＝∠2﹣∠1；(3)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，证明见详解；(4)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【详解】
解：(1)如图(1)证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，
∴∠EPF＝∠1+∠2．

(2)∠3＝∠2﹣∠1；
证明：如图2，过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠EPF＝∠2﹣∠1．

(3)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
证明：如图(3)，过P作PQ∥l1∥l2；
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；
∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；

(4)点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．
证明：如图(4)，过P作PQ∥l1∥l2；
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．

5．(2020·东营市实验中学七年级月考)已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．

(1)将直角如图1位置摆放，如果，则______；
(2)将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】(1)136°；(2)∠AOG+∠NEF＝90°，理由见解析；(3)当点P在GF上时，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【详解】
解：(1)如图1，作CP∥a，

∵，
∴CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°，
故答案为136°；
(2)∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如图2，作CP∥a，

则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
而∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°；
(3)如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，

∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG，

∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．