9 数学广角——集合

单元集体备课

数学广角主要是介绍一些重要的数学思想方法，让学生学习运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。本单元主要结合生活实例，让学生初步体会集合这种数学思想方法。本单元是逻辑思维训练的起始课，主要要求学生能根据提供的信息，借助集合，会进行判断、推理，得出结论，使学生初步接触和运用集合分析问题、解决问题，渗透集合的有关思想和方法。

教科书安排了一个例题，借助学生熟悉的素材——计算参加跳绳和踢毽比赛的人数，介绍如何用维恩（Venn）图表示出参加两项比赛的人数，同时启发思考怎样列式解决问题。通过提供丰富的练习内容，有层次地渗透集合知识，习题涉及学生在生活（比赛人数、水果品种、参观人数等）和学习（按要求填数、写成语等）中经常遇到的问题——求两个集合的并集或交集的元素个数。

维恩图属于全新的内容，教科书偏向于向学生介绍维恩图，让学生能读懂维恩图，不要求根据情境与需求创造维恩图。注重借助维恩图表示集合及其交、并，帮助学生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法。

虽然学生在计数和计算的学习中，已经接触了集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多的是两个集合间一一对应的运算。学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法，如分类等。对于两个集合的交集和并集，尤其是交集的体会并不多，而且在学习用画图的方法解决问题时，更多的是用列举法画出集合所有的元素，没有将一个集合的元素圈起来的经验积累。因此，学生很难自己想到画维恩图来表示每一组事物或数据，并用维恩图来解决具体问题中所要求的计算。教师在教学中要根据学生的实际情况把握好教学的起点和要求，恰当选择自主探索或有意义的接受学习的学习方式。

1.关注“冲突”，激发学生主动探究。课堂上，教师注意关注“冲突”，激发学生探究的欲望，让学生积极主动地投入到解决问题的活动中去，用个性化的思考和处理问题的方式解决问题，为他们自主构建知识的意义提供时空保障。

2.重视多元表征，感悟集合思想。学生在解决问题时会用到多种方法，如画图示或列算式等。应放手让学生尝试解决，并充分展示学生的方法。学生画的图示只要能清楚地表示出两个集合的关系，都应给予充分的肯定。另外，要注重通过语言描述，让学生在图示与算式这两种表征之间进行转换，感受集合的知识。当学生列式解答时，让学生结合维恩图说一说算式所表示的意思，借助直观深刻理解维恩图中每一部分的含义，加深对集合知识的理解。

3.把握好教学要求。本单元教学的落脚点是让学生经历探究的过程，在解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经验。在教学中尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。另外，教科书中只给出了利用维恩图表示两个集合的交和并的问题，没有出现三个集合的情况。如果学生在解答“练习二十三”第4、6题时，尝试用维恩图来表示三个集合的交、并，应给予鼓励和指导。

集合

▶教学内容

教科书P104~105例1及“做一做”。

▶教学目标

1.经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受集合的意义。

2.学会借助维恩图，运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题，从而感受到数学与生活之间的相互联系。

3.培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。

▶教学重点

初步体会集合的思想方法，感知维恩图的产生过程。

▶教学难点

让学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

▶教学准备

课件、姓名卡片。

▶教学过程

一、创设情境，引出课题

1.脑筋急转弯激趣。

师：两个爸爸和两个儿子一同去看电影，他们需要买几张票？（4张）可是他们只买了3张票，便顺利进入电影院，这是为什么？（板书：爸爸爸爸儿子儿子）

【学情预设】预设1：两个儿子都买的是半票。

预设2：他们分别是爷爷、爸爸和孙子。

师：两个爸爸在哪？两个儿子在哪？谁来圈一圈，你又发现了什么？

【学情预设】中间的爸爸，既是儿子的爸爸，又是爷爷的儿子，是一个人却有两种身份。他们其实只有三个人，所以买三张电影票就能顺利进入电影院。

2.揭示课题。

师：重复又可以说成重叠，生活中重叠的现象有很多，这节课我们就来研究“重叠问题”。（板书课题：集合）

【设计意图】通过学生喜爱的脑筋急转弯引入，激发了学生的学习兴趣，同时引导学生大胆地猜想，让学生在猜测中学会思考，在讨论中学会倾听、交流、整合。

二、探究体验，经历过程

1.课件出示教科书P104例1统计表。

2.观察分析。

师:大家观察一下，从表中你们获得了哪些信息？

学生举手发言，说说自己的发现。

师：根据这些信息，你能提出一个数学问题吗？

【学情预设】预设1：参加跳绳比赛的有多少人？

预设2：参加踢毽比赛的有多少人？

预设3：参加跳绳比赛的比参加踢毽比赛的多多少人？

……

如果学生出现提问不完整的情况，教师及时纠正，并要求学生表达要清晰、完整，问题指向要明确。

师：我们一起来看看下面这个问题。（课件出示教科书P104例1的问题）

师：猜一猜，一共有多少人？

【学情预设】17人；11人；14人……

师：有同学猜17人，可是参加这两项比赛的没有17人呀！你发现了什么？

【学情预设】这里面有重复的。

3.学生独立思考，解决问题。

师：那到底是几个人参加了两项比赛？有没有什么办法能使表中的信息变得更清楚呢？

师：可以通过画一画、写一写等方式表示统计表中的信息，使大家看得更清楚，能够一眼就看出是哪些人参加了两项比赛，而哪些人只参加了其中一项。

教师巡视指导，同时提示：为了节约时间，我们可以用姓氏代表姓名。

4.汇报交流，请学生介绍自己的作品。

【学情预设】预设1：在表格中将重复的姓名连起来。

预设2：把名字分别写出来，然后把重复的圈起来。

预设3：画交叉的图，表示重复的内容。

5.引入新知，介绍维恩图。

（1）对比分析，揭示课题。

师：同学们真棒，想到了这么多的方法来表达统计表中的信息。那这几种方式中你最喜欢哪一种？

学生自由发言，表达自己的想法，说一说自己最喜欢的表达方式。

师：每种方法都有它的优点，都清楚地表示出了参加两项比赛的人。

教师引导学生将图形演化成维恩图。

师：我们把所有踢毽的人看成一个整体，表示一个集合；同样地，我们把所有跳绳的人也看成一个整体，也表示一个集合。今天我们就一起来研究一下怎样用集合图表示这些问题。（边说，边课件呈现集合圈）

（2）把表格转化成维恩图的形式。

师：请同学们按照题目要求把参加活动的学生名字填入相应的圈中。

学生口头表达，教师课件显示。

（3）介绍用维恩图表示集合。

师：那右边的这个图表示什么？集合中内容是什么？填写的时候应当注意什么？按照什么顺序呢？

师：在数学上，常用这样的图直观地把集合中的具体事物表示出来，我们把它叫做维恩图。

（4）介绍用维恩图表示集合的运算。

师：想一想，能不能利用这个维恩图，把它变一变，清楚地呈现出是哪些人参加了两项比赛呢？

安排小组进行讨论，学生尝试解决问题。

学生展示操作。引导学生把多出来的三个人的姓名卡片贴在维恩图旁边。

师：说一说你是怎么想的。

【学情预设】有两个“杨明”，但其实是一个人，所以我们要把他的名字减去一个。一共有三个人重复，要减去的名字就是三个。

师：重叠的部分属于谁？表示什么？

【学情预设】重叠的部分既属于左图，又属于右图，表示的是既参加了跳绳比赛，又参加了踢毽比赛的学生。

师：（指着黑板上的图）一起告诉我，在这个维恩图中，左边的大圈表示什么？右边的大圈表示什么？中间重复部分表示什么？（拿纸遮挡部分）左边剩下的部分是什么？右边剩下的部分是什么？

学生集体回答，并同桌之间说一说。了解维恩图各部分代表着什么。

通过多媒体课件，动态展示将左右两个图部分重叠的过程，或操作姓名卡片，去掉重复的姓名卡片，帮助学生理解姓名出现两次的学生是这两个集合的公共元素，可以用两个图的重叠部分表示它们的交集。

师：画维恩图时需要注意什么？

【学情预设】预设1：用圈的形式把同类型的放在一起。

预设2：每幅图要标明里面是哪一类内容。

预设3：两个圈还可以合并在一起，重叠的部分就是两个圈重复的内容。

（5）介绍维恩图，拓宽视野。

【设计意图】让学生亲历整理过程，在这个过程中通过合作、思考、交流、比较等活动，让学生充分认识到，重复部分怎样做到既直观又美观，还能表示每部分的内容。结合各小组展示的优点，引出维恩图，让学生了解维恩图的同时，体会到数学文化的底蕴。

6.辩论感悟。

师：现在用维恩图来表示各项参赛的人数，与之前的表格比较，它有哪些优点？

让学生感悟集合图能直观看出参加各项运动的人数，尤其是重复参加两项比赛的人数。

7.列式解答，加深对维恩图的认识。

（1）尝试独立解决。

（2）汇报交流，体会解决问题的多种方法。

师：说一说你是怎么想的。

【学情预设】预设1：6+3+5=14（人）。6是只参加跳绳的人数，3是两项都参加的人数，5是只参加踢毽的人数。

预设2：9+8-3=14（人）。9是参加跳绳的人数，8是参加踢毽的人数，有3人两项都参加了，所以重复了，就要减一个3。

预设3：9+（8-3）=14（人）

预设4：8+（9-3）=14（人）

让学生通过图示与算式结合的方式进行表达，感悟多种集合知识。可以让学生在维恩图上指一指他们求出的是哪一部分，算式中每一步表达的是哪一部分。

（3）比较辨析，体会基本方法。

师：同学们真棒，用不同的方法解决了同一个问题，求出了两个集合的并集的元素个数。

教师适时板书算式。

教师引导学生回顾算式，重点分析“9+8-3”这一算式表示的含义，为方法总结做准备。

师小结：求两个集合的并集的元素个数，就是用两个集合的元素个数的和减去它们的交集的元素个数。

【设计意图】让学生借助直观图，理解集合图的意义，并利用集合的思想方法解决简单的实际问题。让学生在不同的策略中感受到解决问题方法的多样性，提高思维水平和学习能力。

三、巩固练习，反馈评价

1.完成教科书P105“做一做”第1题。

引导学生交流填写的方法及注意事项。

处理预设：出示大雁游泳的照片，明确大雁既会飞又会游泳。

2.完成教科书P105“做一做”第2题。

学生先独立完成，再汇报交流。

师：你是用什么方法解答第（1）题的？要注意什么？

（圈出重复的姓名，再数出来。要认真仔细找，不要漏掉。）

师：第（2）题求什么？怎样解答？

学生独立完成，然后集体交流方法。

【设计意图】设计一组有梯度的练习，从简单应用到开放，从正向思维到逆向思维，既链接所学知识资源，又实现对学生思维的拓展。这样的练习设计不仅能让学生结合集合思想进行分析，还能结合可能性的知识解决问题。

四、全课总结，呼应课题

师：今天我们认识了用集合图来解决有重复现象的数学问题。这是一种数学思想，叫集合思想。今天我们利用集合思想解决了一些数学问题，希望同学们以后在学习上能多观察、勤思考，探寻更多的数学奥秘。

▶板书设计

集合

▶教学反思

集合的思想比较抽象，如何让学生理解并掌握是这节课的重点。通过说一说、画一画、想一想等活动，让学生观察、猜测、推理，逐渐积累活动经验，体会集合的思想。在充分感知画图的方法后，让学生自主探寻算法，全班交流算法，这样不仅渗透了集合的数学思想，而且学生获得了多种算法，体现了利用集合的思想解决问题策略的多样性。整个过程循序渐进，学生对陌生的维恩图逐渐理解，在解决问题的过程中反馈了理解的程度。

▶作业设计

一、下面是三(1)班学生参加艺术节表演的名单。

1.填写下图。

2.既参加舞蹈表演又参加合唱表演的学生有（    ）人。

3.三(1)班参加艺术节表演的学生一共有（    ）人。

三、三(1)班有36人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一道，做对第一题的有30人，两道题都做对的有18人，做对第二题的有多少人？

参考答案