2020-2021学年广西壮族自治区普通高中高二上学期学业水平考试数学试题含解析

2020-2021学年广西壮族自治区普通高中高二上学期学业水平考试数学试题

一、单选题

1．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（     ）

A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}

C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}

【答案】D

【分析】根据集合的概念及表示即得.

【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，

∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.

故选：D.

2．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（     ）

A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球

【答案】B

【分析】根据圆锥的结构特征即得.

【详解】∵一个空间几何体的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，

∴该几何体为锥体，又俯视图是一个圆，

∴该几何体为圆锥.

故选：B.

3．挪威测量学家韦塞尔（Caspar Wessel）于1797年提出了复数的几何表示，任何一个复数（）都与复平面内的一个点对应.那么复数在复平面内对应的点的坐标是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义即可求解.

【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是.

故选：C.

4．执行下图所示的程序框图，若输入x的值为4，则输出y的值为（     ）

A．3 B．6 C．12 D．16

【答案】D

【分析】运行程序，并计算出输出的的值.

【详解】运行程序，，输出.

故选：D

5．函数的定义域是（     ）

A．R B． C． D．

【答案】C

【分析】使式子有意义得出不等式，解不等式即可求解.

【详解】由题意可得，解得，

所以函数的定义域为.

故选：C.

6．某中学对全校学生进行了一次环保知识测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则直方图中b的值为（     ）

A．0.08 B．0.05 C．0.03 D．0.02

【答案】B

【分析】利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1，列式计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以直方图中b的值为0.05.

故选：B

7．若，则（     ）

A．0 B． C． D．1

【答案】C

【分析】直接利用诱导公式即可求解．

【详解】解：.

故选：C.

8．在中，（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，可借助向量的加法运算直接求解即可.

【详解】在中，有向量的加法运算可得，.

故选：A.

9．圆的半径长等于(       )

A． B．1 C． D．4

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程即可求解.

【详解】圆的半径长1.

故选：B.

10．函数的图象如图所示，则（     ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】有图像可知，当时，，即可求解.

【详解】有图像可知，当时，，故.

故选：C.

11．在平面直角坐标系中，若，则是（     ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【分析】根据角度直接判断其所在象限．

【详解】因为，所以是第一象限角．

故选：A．

12．函数（）的最大值等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性即可求解．

【详解】函数在上单调递减，所以最大值为

故选：A

13．若直线，且的倾斜角为，则的倾斜角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两直线的位置关系与直线的倾斜角的关系即得．

【详解】∵直线，

所以它们的倾斜角相等，又的倾斜角为，

∴的倾斜角为60°，.

故选：D．

14．某校从八年级编号为1，2，…，300的300名学生中，用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本参加国家义务教育质量监测．已知样本的编号由小到大依次为6，16，26，m，46，…，296，那么m等于（     ）

A．54 B．36 C．22 D．11

【答案】B

【分析】由总数与样本容量求得每组人数，根据已知抽取的号码即可求解．

【详解】用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，故将人数平均分成30组，

每组有人，故．

故选：B

15．（     ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用对数运算性质直接计算作答.

【详解】

故选：B

16．两名旅客乘动车外出，希望座位相连且有一个靠窗.根据下面动车座位分布图，

可推断下列座位号符合要求的是（     ）A．03F，04A B．04A，04C C．04D，04F              D．04C，04D

【答案】C

【分析】根据座位分布图的特点，即得.

【详解】根据座位分布图的特点, 座位相连且有一个靠窗为同一行的AB或DF.

故选：C.

17．已知等差数列的前三项依次为2，4，6，则该数列的第10项（     ）

A．25 B．20 C．15 D．10

【答案】B

【分析】由题可得，即得.

【详解】∵等差数列的前三项依次为2，4，6，

∴，

∴，

∴.

故选：B.

18．已知函数，则下列关系正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数的单调性可知，即可得到结果.

【详解】由指数函数的单调性可知，在上单调递增，所以.

故选：A.

19．已知函数（）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用给定图象直接写出单调递减区间作答.

【详解】观察图象知，函数在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，

所以函数（）的单调递减区间是.

故选：A

20．已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（     ）

A．8 B．6 C．3 D．0

【答案】C

【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.

【详解】因点，，则，

所以A，B两点之间的距离等于3.

故选：C

21．已知向量，则下列坐标表示的向量与共线的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用共线向量的坐标表示，逐项验证即可判断作答.

【详解】对于A，因，则向量与不共线，A不是；

对于B，因，则向量与不共线，B不是；

对于C，因，则向量与不共线，C不是；

对于D，因，则向量与不共线，D是.

故选：D

22．的值为（     ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式直接计算作答.

【详解】.

故选：D

23．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合线面垂直的判定定理确定正确答案.

【详解】依题意可知，

所以平面，

所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于.

故选：C

24．不等式的解集为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】，

解得，

所以不等式的解集为.

故选：D

25．在平面直角坐标系中，不等式表示的平面区域（用阴影表示）是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二元一次不等式所表示的区域，即可得到结果.

【详解】在平面直角坐标系中，不等式表示的在直线上的点和直线的左上方区域，故A正确.

故选：A.

26．已知数列满足，（），则（     ）

A． B． C．7 D．12

【答案】C

【分析】根据题意给的与的关系，可在两边同时加“1”构造等比数列，然后先求解出等比数列的通项公式，再利用通项公式求解即可.

【详解】因为，所以，则，

因为，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以.

故选：C.

27．抛物线的焦点坐标为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线方程的特点即得.

【详解】∵抛物线，

∴抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，

可得： ，即焦点坐标为.

故选：B.

28．已知直线l的斜率为2，且经过点，那么直线l的方程为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用点斜式求得直线的方程.

【详解】依题意，直线l的斜率为2，且经过点，

所以直线的方程为.

故选：D

29．用长度为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，可设出矩形的长和宽，并列出长和宽满足的等量关系，然后用长乘以宽表示矩形的面积，借助长和宽的等量关系使用基本不等式求解最值即可.

【详解】由题意，设矩形的长为，宽为，

由条件可得，所以，

则，

当且仅当时等号成立，

故矩形面积的最大值等于.

故选：B.

30．已知a，b，c是空间中的三条直线，那么下列命题中正确的是（     ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】A

【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.

【详解】根据直线平行的传递性，可知若，，则，故A正确，C错误；

若，，则，故B错误；若，，则与可能异面，也可能相交，故D错误.

故选：A.

二、填空题

31．已知向量，，则的坐标是__________.

【答案】

【分析】根据向量加法的坐标运算求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

32．椭圆的离心率是______．

【答案】

【分析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.

【详解】在椭圆中，，，，

因此，椭圆的离心率是.

故答案为：.

33．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，，，则_________.

【答案】4

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在中， ，，，

由正弦定理得： .

故答案为：4

34．直线与圆的位置关系是_________.（相交，相切，相离）

【答案】相交

【分析】结合圆心到直线的距离来进行判断.

【详解】圆的圆心为，半径为，

到直线的距离，

所以直线与圆相交.

故答案为：相交

35．一个小球从高处自由落下，每次着地后又弹回到原高度的一半再落下.那么小球自开始落下起到它第4次着地止，所经过的总路程是_________m.

【答案】

【分析】结合等比数列的知识求得总路程.

【详解】第一次着地，运动，

第一次反弹至第二次着地，运动，

第二次反弹至第三次着地，运动，

第三次反弹至第四次着地，运动，

所以总路程是.

故答案为：

三、解答题

36．为了庆祝中国共产党百年华诞，某学校党支部举行了党史学习教育知识竞赛，其中甲、乙两个小组各选拔7名党员参赛，参赛党员的成绩用茎叶图表示如下：

(1)已知甲小组的平均数是87，乙小组的中位数是88，求x，y的值；

(2)若从甲、乙两个小组成绩在90分以上的党员中抽取2人参加市级比赛，求这2人来自不同的小组的概率.

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）利用平均数及中位数的概念即得；

（2）利用列举法求古典概型概率即得.

【详解】(1)∵甲小组的平均数是87，

∴，

∴，又乙小组的中位数是88，

∴；

(2)由题可知甲小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，

乙小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，

则从这6人中抽取2人，

包括

共15种，

其中这2人来自不同的小组的有共9种，

故2人来自不同的小组的概率为.

37．如图，在长方体中，，M，N分别为，的中点，AC与BD交于点O.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过证明来证得平面.

（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面.

【详解】(1)由于分别是的中点，所以，

根据长方体的性质可知，所以，

由于平面，平面，

所以平面.

(2)连接，

由于，所以，

由于是的中点，所以.

设，

则，

所以，所以，

由于，所以平面.

38．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求的解析式；

(2)设，试讨论函数的零点的个数.

【答案】(1)；

(2)详见解析.

【分析】（1）由题可得，即求；

（2）由题可将函数的零点的个数转化为直线与函数的图象交点个数，利用导数研究函数的性质，利用数形结合即得.

【详解】(1)∵，

∴，，又曲线在点处的切线方程为，

∴，解得，

∴；

(2)∵，

∴，

由，得，

令，则，

令，则，

∴函数在上单调递减，又，

∴当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴当时，函数有最大值，

画出函数的大致图象，

由图可知，当，即时，直线与函数的图象没有交点，即函数没有零点，

当，即时，直线与函数的图象有一个交点，即函数有一个零点，

当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点.

综上，当时，函数的零点个数为0，当时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2.