2021学年14.3.2 公式法教学ppt课件

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理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积 吗？
这个大正方形的面积可以怎么求？
将上面的等式倒过来看，能得到：
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
每个多项式有几项？三项每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：必须是三项式（或可以看成三项的）；有两个同号的数或式的平方；中间有两底数之积的±2倍.
a 2 2ab  b2
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方 形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
3.a²+4ab+4b²=( a)²+2· ( a ) ·(2b)+(2b )²=(a + 2b)²
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：1. x²+4x+4= ( x )² +2·(x )·(2 )+(2)² =(x+2)²
2.m²-6m+9=( m )² - 2· (m)
(3)+( 3)² =(m - 3 )²
下列各式是不是完全平方式？
（2）1+4a²;（4）a2+ab+b2;
（1）a2－4a+4;（3）4b2+4b-1;（5）x2+x+0.25. 分析：
（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一；（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
例1如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(B)A . 11B. 9C.-11D.-9解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所 在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出 参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
（1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分 析 ：(1) 中 ， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个 完全平方式，
即16x2 + 24x +9=(4x)2+2·4x·3+ (3)2.
(2)中首项有负号，一般先利用添 括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分 解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2= (4x + 3)2；(2)-x2+ 4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
例3把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
针对训练 因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公 因式
要检查每一个多项式的因 式，看能否继续分解．
例4把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
本题利用完全平方公式分解 因式，可以简化计算，
解：(1)原式=（100－99)²=1.(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.
几个非负数的和为0，则 这几个非负数都为0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数
的和的形式，然后利用非负数性质解答问题．
例6已知a，b，c分别是△ABC三边的长， 且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
1.下列四个多项式中，能因式分解的是(
A．a2＋1 C．x2＋5y
B．a2－6a＋9 D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是(
A．4xy(x－y)－x3 C．x(4xy－4y2－x2)
B．－x(x－2y)2 D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为
5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2;解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2=(x－6)2;(2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b － 1)2;(3)原式=(y+1)² －x²=(y+1+x)(y+1－x).
 (2014)2( 2 0 1 41 .
 2  2014  2013  (2013)22 0 1 3 ) 2
( 2 ) 2 0 1 4 22 0 1 4 4 0 2 62 0 1 3 2 .
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：小聪:小明:
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50.
完全平方公式 分解因式
a2±2ab+b2=(a±b)2
要求多项式有三项.其中两项同号，且都可以写成某数或式 的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍， 符号可正可负.