2020届湖北省武汉市华师一附中高三上学期期中数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省武汉市华师一附中高三上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．

【详解】解：化简可得

，

的共轭复数，

故选：B．

2．已知集合，集合，若，则集合的子集个数为

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【分析】求出集合、，得出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可得出集合的子集个数.

【详解】当时，；

当时，.

所以，集合.

集合，，

集合有两个元素，因此，集合的子集个数为，故选B.

【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.

3．下列命题错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“∀，”的否定是“，”

C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】B

【分析】根据逆否命题的定义，命题的否定的定义，复合命题的真假与充分条件必要条件的定义判断各命题．

【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，A正确；

命题“∀，”的否定是“，”，B错误；

若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题，C正确；

时成立，但时有或，因此“”是“”的充分不必要条件，D正确．

故选：B．

4．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（　　）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【分析】由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．

【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：

底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．

故．

故选D．

【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.

5．已知则  （   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，代入即可求解，得到答案.

【详解】由题意，可得

，故选D.

【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中合理使用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：

甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.”

乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.”

丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”

结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是

A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、丁

【答案】C

【详解】假设甲中奖，则根据题意，乙丙丁都中奖，此时四人都中奖，故甲不可能中奖；

假设乙中奖，则根据题意丙丁都中奖，甲不一定中奖，此时至少三人中奖，故乙不可能中奖；

假设丙中奖，则根据题意丁中奖，甲乙不可能中奖，此时至少有两人中奖，故只有可能是丙，丁均中奖

故选

7．已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论a的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a的范围．

【详解】解：函数y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在区间[1，4]上单调递减，

当a＞1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减且t＞0，

故8﹣4a＞0，求得1＜a＜2．

当0＜a＜1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减，

可得函数y＝loga（8﹣ax）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件．

综上，实数a的取值范围为（1，2），

故选：D．

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题．

8．在中，，，，且是的外心，则

A．16 B．32 C．-16 D．-32

【答案】D

【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.

【详解】，又是的外心，

由投影的定义可知

则

故选.

【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.

9．设函数,定义,其中,则

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】试题分析：，，

，因为,所以

．两式相加可得:,．故选C．

【解析】1．数列求和；2．函数的性质．

10．实数对满足不等式组，且目标函数当且仅当，时取最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部．将目标函数对应的直线进行平移，当且仅当l经过点时目标函数z达到最大值，由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式，即可得到l斜率k的取值范围．

【详解】作出可行域如图所示：，

得到如图的及其内部，其中，，，

设，将直线l：进行平移，

可得直线在y轴上的截距为，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值，

∵当且仅当l经过点时，目标函数z达到最大值，

∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，

，，

∴k的取值范围是.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题给出二元一次不等式组，讨论目标函数的最大值有唯一最优解的问题，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识．

11．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得函数的图象，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图像可知，代入点和则可计算出表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出表达式．

【详解】由函数的部分图象知，即.

因为，所以．所以.

因为点在的图象上．所以.所以．

因为，结合图象可知，所以.

将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．则.

【点睛】根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算．函数平移左加右减，注意平移的时候是整体变化，如果有系数记得加括号．

12．设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，，为自然对数的底数，则不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，，求出函数的导数，由可得，在递增，根据函数的单调性求出的范围即可．

【详解】令，，因为，

则，

故在递增，

而，故，即

即，故，即不等式的解集为，故选A．

【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

二、填空题

13．若幂函数在上为增函数，则实数的值为______．

【答案】2

【分析】根据幂函数的性质和形式可得满足的条件，从而可求实数的值.

【详解】因为为幂函数且在上为增函数，

所以 ，故.

故答案为：2.

【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，注意幂函数的一般形式为，当且仅当时幂函数在为增函数，本题属于基础题.

14．设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．

【答案】且

【详解】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.

15．若正数满足，则的最小值为_____

【答案】4

【分析】由等式可以得到由表示的等式和，的取值范围，这样结合所求的式子和基本不等式进行求解即可.

【详解】由，可得，

所以.

由为正数且，可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了消元的思想，考查了数学运算能力.

16．给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________.

①；

②函数有5个零点；

③函数的图象关于点对称.

④已知复数满足，且，则.

【答案】②③

【分析】①分别与比较大小，即可得大小关系；②作出函数图象判断交点个数；③计算即可判断；④设，表示出，解得或，再分别讨论即可.

【详解】对①，因为，，，所以，故①不正确；

对②，有五个零点，即函数与有五个交点，做出函数图象如图所示，可知②正确；

对③，因为，所以函数关于点对称，故③正确；

对④，设，由题意，，

所以，得或，当时，，

解得或（舍去），此时；当时，，

解得，，则，故④不正确.

故答案为：②③

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

三、解答题

17．设命题成立；命题成立，如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围.

【答案】

【详解】分析：先利用一元二次方程有解得到命题为真命题对应的数集，再利用一元二次不等式恒成立化简命题对应的数集，再利用真值表进行判定求解.

详解：对于命题成立，若为真，

（1）当时，，符合题意，

（2）当时，在有解，

，得到，

所以，命题为真，有 ；

对于命题q：成立成立，

取等号，

对于命题q为真，有，

如果或为真，且为假，则它们两个一真一假，

若真假，则有且，得到，

若假真，则有且，得到.

点睛：在研究一元二次不等式恒成立问题或一元二次方程有解的问题时，若二次项系数含有字母，要注意讨论该字母是否为0，避免漏解..

18．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

（1）已知，，且角C为锐角.求角C的大小；

（2）若，，△ABC的面积S=，求的值.

【答案】（1）；（2）13.

【分析】（1）由正弦定理化边为角后由两角和的正弦公式变形，再结合诱导公式可求得；

（2）由三角形面积求得，再由余弦定理可得．

【详解】（1）由正弦定理得，

即，

即有，即,

又，所以，因为角为锐角，所以.

（2）因为，，

因为△ABC的面积S=abC=ab=，所以ab=6，

由余弦定理得，

所以a2+b2=ab+7=13．

【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式，三角函数的恒等变换公式．在解三角形问题中出现边角混合式子时，常常会利用正弦定理化边为角或化角为边，化边为角后利用三角函数恒等变换公式进行变形求得三角形的角．

19．已知数列的前项和为，且.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）求；

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【分析】（1）由等比数列的定义证明，结合等比数列的通项公式可得；

（2）用错位相减法法和．

【详解】（1）设，则由已知得，

所以为常数，

所以数列是以为首项以为公比的等比数列，

则，所以.

（2）由（1）知，

，

两式相减得，，

所以．

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

20．如图，在四棱锥中，平面，，且平分，

为的中点，，，，

 (Ⅰ)证明平面；

 (Ⅱ)证明平面；

 (Ⅲ)求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）略 ；（Ⅱ）略；（Ⅲ） .

【分析】（Ⅰ）在平面中找的平行线；（Ⅱ）在平面找两条相交直线与垂直；（Ⅲ）求出四边形的面积与四棱锥的高即可求四棱锥的体积.

【详解】（Ⅰ）证明：设，连结，在中，因为，

且平分 ，所以为的中点，又为的中点，从而，

因为平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）证明：因为平面，平面，所以，

由(I)知，，平面，平面，

从而平面；

（Ⅲ）解：在中，，，得

在中， 从而，

，

故四棱锥的体积 .

【点睛】考查线面平行、线面垂直的证明以及棱锥的体积计算．

21．已知函数，（为常数）.

（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；

（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】试题分析： (1)求出函数的图象在点的切线方程,再由直线与抛物线相切,,求出实数的值; (2)由题意构造函数 ,求出, 在上有解,再由二次函数相关知识求出的范围; (3)假定 ,先分别求出函数在上的单调性,将原不等式转化为,即在上为增函数,求出实数的范围.

试题解析:（1）因为，所以，因此，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

由得.

由，得.

（还可以通过导数来求）

（2）因为 ，

所以，

由题意知在上有解，

因为，设，因为，

则只要解得，

所以的取值范围是.

（3）不妨设，

因为函数在区间上是增函数，

所以，

函数图象的对称轴为，且.

当时，函数在区间上是减函数，

所以，

所以，

等价于，

即，

等价于 在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.

点睛: 本题主要考查导数的应用,包括导数的几何意义,导数与单调性,属于中档题.本题在第3问中注意解题思想:等价转换,将原不等式转化为求在上为增函数,等价于在区间上恒成立,分离出,转化为求在上的最小值.

22．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集包含，求的取值集合．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）由时，得到函数，分类讨论，即可求得不等式的解集；

（Ⅱ）由已知关于的不等式解集包含，等价于|在恒成立，进而得到在恒成立，由此可求解实数的取值范围．

【详解】（Ⅰ）由题意，当时，函数，

当时,，解得;

当时，, 无解;

当时， 解得；

所以的解集为.

（Ⅱ）由已知关于的不等式解集包含，

等价于|在恒成立，

因为，所以不等式恒成立

即在恒成立，即，

又，所以，

故的取值集合是.

【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．