专题8 指数型函数取对数问题（原卷版）+（解析版）

专题8 指数型函数取对数问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，常通过取对数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手.

二、解题秘籍

(一) 等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数

通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.

【例1】（2021全国甲卷高考试题）已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

【分析】（1）当时，由,可得函数在上单调递增；上单调递减；

（2）,两边取对数得，构造函数,

由,得在内,单调递增；在上,单调递减；

,又，当趋近于时，趋近于0，

曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,

得的取值范围是.

(二) 等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，

形如或的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级。

【例2】（2021届黑龙江省大庆市高三二模）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个相异零点，求证：.

【分析】由题意得，         

①时，恒成立，

所以，所以在单调递增.               

②时，在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增.             

综上，时，在单调递增.

时，在单调递减，在单调递增.     

（2）因为有两个相异零点，，由（1）可知，，

不妨设，因为，，

所以，，

所以，                 

要证（两边取对数），即证，

等价于证明，而，

所以等价于证明，

也就是.           （*）

令，则，

于是欲证（*）成立，等价于证明成立，

设函数，

求导得，

所以函数是上的增函数，

所以，

即成立，

所以成立.

提醒：不等式也两边取对数，要根据对数函数的单调性判断不等号是否改变方向.

 (三) 把比较转化为比较的大小

比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较的大小，可通过取对数转化为比较的大小，再转化为比较的大小，然后可以构造函数，利用的单调性比较大小。

【例3】一天，小锤同学为了比较与的大小，他首先画出了的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了在x=1处的切线方程，利用函数与切线的图像关系进行比较.

（1）请利用小锤的思路比較与大小

（2）现提供以下两种类型的曲线，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较的大小.

【分析】（1）构造函数，由f(x)在上单调递增，在上单调递减，得，即，取x=1，得

（2）通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小

选，令与公切于e

则有，

记，

∴在上单调递减，在上单调递增,

，下证：

只需证

只需证

而，即

选，通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小，即较与大小

令与y=kx+t切于，则有

令

∴在上单调递增，在上单调递减,

，当取等

下证，只需证

，

.

三、典例展示

【例1】（2021届贵州省铜仁市高三月考）已知函数存在极大值.

（1）求实数的值；

（2）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

【解析】（1），

，令，，

此时，在上，递增；在上，递减，所以当时，取得极大值为符合题意，所以.

（2）由（1）知：在上递增，在上递减，极大值为.

，，当时，；当时，；当时，.

由于函数有两个零点，，

所以.

因为，是的两个零点，则.

所以，，，两边取对数得，

要证，只需证明，

即证，不妨设，令，则，

即证对恒成立.

令，，

所以在上递增，所以，即，

所以.从而成立.

【例2】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数

（1）讨论g(x)的单调性；

（2）若，对任意恒成立，求a的最大值；

【解析】（1），

当时，，在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

在上单调递减，在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）即为，即，

设，则，

易知函数在上单调递增，

而，所以（两边取对数），即，当时，即为，

设，则，

易知函数在上单调递减，在上单调递增，

（e），

，即的最大值为．

【例3】形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若，求的单调区间；

（3）求证：恒成立.

【解析】（1）由幂指函数导数公式得，

所以，又，

所以，曲线在处的切线方程为.

（2），

则

，

所以的单调增区间为，无单调减区间.

（3）构造，，

则，

令，

所以，

因为与同号，所以，所以，

又，所以，

所以即为上增函数，

又因为，

所以，当时，；

当时，.

所以，为上减函数，为上增函数，

所以，，

即，

因此，恒成立，即证.

四、跟踪检测

1.已知函数.

（1）若是曲线的切线，求a的值；

（2）若有两不同的零点，求b的取值范围；

（3）若，且恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)依题意，设切点为，则，

，于是得，则有且，

时，，无解，

所以；

(2)由得，令，

则有时时，在上递增，在上递减，

，又时，恒成立，

于是得有两个不同的零点，等价于直线与函数图象有两个不同的公共点，

即，，所以有两不同的零点，b的取值范围是；

(3)，

，

令，，

令，，即在上递增，

而，即，使得，

时，时，，

在上递减，在上递增，从而有，

而，即，令，两边取对数得，则，

即有，显然函数在上单调递增，从而得，

于是得，

，

所以，.

2．已知函数，．

（1）当时，

①求的极值；

②若对任意的都有，，求的最大值；

（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．

【解析】（1）①时，，则，

令，解得：，令，解得：，

∴在递减，在,递增，故的极小值是，没有极大值；

②对任意都有，即恒成立，

由，有，故，

由①知，在,单调递增，故，可得，即，

当时，的最小值是，故的最大值是；

（2）证明：要证，只需证明即可，

由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又，

∴，消去，整理得：，

不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明，

设，则，

∴在单调递增，从而，

故，即得证．

3．（2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期考试）已知，，（其中e为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，函数有两个零点，，求证：.

【解析】（1）解：

∵，∴时，，

∴时，增区间为：，减区间为：；

时，，∴时，增区间为：；

时，，，

∴时，增区间为：，减区间为：；

（2）因为时，函数有两个零点，，

则两个零点必为正实数，

故问题转化为有两个正实数解；

令（）

则（），在单调递增，在单调递减，且

令，，则

所以在单调递增，

又，故，

又，所以，

又，所以，，

又在单调递增，所以

所以．

4.（2021届辽宁省实验学校高三下学期四模）已知函数

（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；

（2）当时，证明：

【解析】（1）函数的定义域，

因为，是的极值点，

所以（1），所以，

所以，

因为和在上单调递增，所以在上单调递增，

所以当时，；时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，

设，则，

因为和在上单调递增，所以在上单调递增，

因为，

所以存在使得，

所以当时，，当时，，

所以在单调递减，在上单调递增，所以，

因为，即，两边取对数得，

所以，

因为，所以，所以.

5．（2021届新疆高三第二次适应性检测）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，；

（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）函数定义域为，且，故切点为

又

所以在处的切线方程为，即．

（2）要证，只需证明，

又，故只需证明成立，也即证明成立.

构造函数．

则，成立．

所以在递增，从而成立．

所以在递增，从而，

即，故成立．

（3）由时，恒成立，即··········（*）

①当时，（*）显然成立；

②当时，··········（**）

设，则，

所以在递增，（**）可化为，则恒成立．

因为，所以，又，从而，

综上所述，实数的取值范围是．