专题9 切线问题（原卷版）+（解析版）

专题9 切线问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.

二、解题秘籍

(一) 求曲线在某点处的切线

求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．

【例1】（2022届天津市静海区高三上学期开学摸底）已知函数,.

（1）在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若存在使得成立,求实数的取值范围.

【分析】（1）由,,,

得函数在处的切线方程为即.

（2）令,解得,则时,,函数单调递增

,时,,函数单调递减

,；,

(3)先证明恒成立,故 恒成立,

令,,则,

因为,所以,即,

所以当时,,在上单调递减,

当时,,在上单调递增,

,,

所以,所以

(二)求曲线过某点的切线

求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．

【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数.

（1）求过点与曲线相切的切线方程.

（2）若,函数有且只有一个零点,证明：.

【分析】（1）设切点,则.

因为,所以,

所以切线方程为,

将点代入,得.,切点为,k=0,故所求切线方程为.

（2）由得.

先证明,

所以.

在上单调递增,且,

所以存在唯一的,使得,即.

当时,,单调递减；当时,,单调递增.

所以当时,取得最小值,且.,x=1时取“=”,则,所以,,

所以,则,

于是要使有唯一的零点,则,即,

所以.

设,则在上单调递减.

因为,,

所以,即.

(三)求曲线的切线条数

求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.

【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数,.

（1）讨论的单调性；

（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切,求a的取值范围.

【分析】（1）,,

当时,在上单调递增；时,在上单减,在上单增；

（2）设切点横坐标为,则切线方程为,代入得,即,关于的方程在内恰有两个解,

令,在上单增,在上单减,

又,当时,,且,故当时,方程有两个解,所以,故a的取值范围为.

(四)曲线的公切线

研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.

【例4】已知函数

（1）若直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,求直线l的方程；

（2）证明：．（参考数据：）

【分析】（1）,,

函数在点处的切线方程为：,即,

函数在点处的切线方程为：,即,

因为直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,

所以,

将代入得,即,

所以或,

若,则,此时直线l的方程为：；

若,则,则此时直线l的方程为：,

综上得：或.

（2）先证明,所以,

设,则,令,则,

令,得,

所以存在使得满足在和上单调递增,在上单调递减,

所以,

又因为,且,

因为在上单调递减,所以,所以,所以,即,即.

(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围

此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.

【例5】（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：,）

【分析】由（1）,,得切线方程为 .

（2）令,

若存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直,则存在,.

,令,解得：.

所以在上单调递减,在上单调递增.

,,

故,所以存在,使得,例如.

三、典例展示

【例1】函数．

（1）当时,求曲线在处的切线方程；

（2）若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围；

（3）设,若为曲线的两个不同点,满足,且,使得曲线在处的切线与直线平行,求证：

【解析】（1）当时,,得出切点,

切线的斜率

曲线在处的切线方程为,

化为

（2）对任意,恒成立,即恒成立．

令．

①当时,恒成立,函数在上单调递增,

时符合条件．

②当时,由,及,解得．

当时,；当时,

则在单调递减,在单调递增．

所以,这与相矛盾,应舍去．

综上可知的取值范围为

（3）．

曲线在处的切线与直线平行,

要证即证明,

变形可得,令,则

要证明的不等式等价于

构造函数．

则在区间上单调递增．

函数在区间上单调递增,

在上恒成立．

在上恒成立,即成立．

【例2】（2021届安徽师大附中高三5月最后一卷）已知函数,.

（1）若曲线在处的切线方程为,且存在实数,,使得直线与曲线相切,求的值；

（2）若函数有零点,求实数的取值范围.

【解析】（1）,,,

所以曲线在处的切线方程为,所以,

则,即.

,则曲线在点处的切线方程为,即,

从而,,所以,.

（2）由题意知,,

函数有零点,即有根.

当时,,不符合题意.

当时,函数有零点等价于有根.

设,

则,设,则,

当时,,单调递减,

当时,,单调递增,所以,

所以仅有一根,且当时,,单调递减,

当时,,单调递增,所以.

数形结合可知,若函数有零点,则,从而.

【例3】（2021届西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）已知函数

（1）求函数在上的值域；

（2）若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围.

【解析】（1）,

当时,,单调递减；当时,,单调递增,

在处取得极小值为,

又,在上的值域为；

（2）设切点为,则切线斜率为,

所以切线方程为,

又切线过点,则,

整理得,

则曲线有三条切线方程等价于与有三个交点,

,

令解得或,令解得,

在单调递增,在单调递减,

在处取得极大值,在处取得极小值,

要使与有三个交点,则需满足,解得.

四、跟踪检测

1.（2021届】重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时,设,与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m的最大值．

【解析】（1）,则,

当时,,所以在上单调递增；

当时,令或,,

所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增；

当时,令或,

所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增；

综上所述：当时,在上单调递增；

当时,在上单调递增,上单调递减,上单调递增；

当时,在上单调递增,上单调递减,上单调递增．

（2）,因为与有公共点,设公共点为,

所以,则,且,解得,

又因为,则,

令,

当时,；当时,,

故在上单调递增,上单调递减,

所以,故实数m的最大值为．

2.已知函数,．

（1）若直线是曲线的切线,求的最小值；

（2）设,若函数有两个极值点与,且,证明．

【解析】（1）设切点,

由得,

因为切线为,故,所以．

又因为,

所以,所以,

因此．

令,,

则对恒成立,

所以在上单调递增,则,

所以的最小值为．

（2）因为,

若函数有两个极值点与,

则,,,所以；

因此

,

令,,

则,

构造函数,

则在上显然恒成立,

所以在上单调递增,则；

所以,即,

又,则,因此,

所以．

3.（2021届四川省遂宁市高三三模）已知函数,．

（1）设曲线在点处的切线斜率为,曲线在点处的切线斜率为,求的值；

（2）若,设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值．

【解析】（1）因为,所以,

故；

又因为,所以,

故,

所以

（2）,,,则,

又点为,

所以在点处的切线方程为,

故当时,；当时,,

所以,

则,

则,

由得,由得,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以当时,取得极小值,也是最小值．

故所求最小值为．

4．已知函数.

（1）若的图象在点处的切线与直线平行,求的值；

（2）在（1）的条件下,证明：当时,；

（3）当时,求的零点个数.

【解析】（1）因为的图象在点处的切线与直线平行,

所以,

因为,

所以,解得.

（2）由（1）得当时,,

当时,因为,所以在上单调递增,

因为,所以在上恒成立.

（3）由（2）可知当且时,,

即在上没有零点,

当时,,

令,,

则单调递增,

且,

,

所以在上存在唯一零点,记为,

且时,,时,,

所以在上单调递减,在上单调递增,

因为,

所以,,

因为,所以,

所以在上存在唯一零点,且在上恒小于零,

故时,；时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,且,

所以在上至多有一个零点,

取,

则有,

所以由零点存在定理可知在上只有一个零点,

又f(0)不为0,所以在上只有一个零点.

5.（2021届辽宁省高三临门一卷）已知函数,,．

（1）若函数在上单调递增,在上单调递减,求实数的取值范围；

（2）设曲线在点处的切线为,是否存在这样的点使得直线与曲线（其中）也相切？若存在,判断满足条件的点的个数,若不存在,请说明理由．

【解析】（1）因为,

则.

①当时,若,则,此时函数单调递减,

若,则,此时函数单调递增,不合乎题意；

②当时,由,可得,由,可得或.

此时函数的单调递增区间为和,单调递减区间为,

因为函数在上单调递增,在上单调递减,则；

③当时,对任意的,,则函数在上单调递增,不合乎题意；

④当时,若,则,此时函数单调递增,不合乎题意.

综上所述,实数的取值范围是；

（2）设,因为,所以．

所以直线的方程为,即．①

假设直线与的图象也相切,切点为．

因为,所以直线的方程也可以写作,

即．②

又因为,即,代入①式得直线的方程为．

由①②有,即．

令,,

所以．

令,得,令,可得.

所以在上递减,在上递增,

即,

所以在上恒成立,即无解,

故不存在这样的点使得直线与曲线（其中）的图象也相切．

6.（2021届安徽省六安市高三下学期适应性考试）已知函数.

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点,,且,证明：.

【解析】（1）函数的定义域为,由,得,则,又,则曲线在点处的切线的方程为,即,显然恒过定点.

（2）若有两个零点,,则,,得.

因为,令,则,

得,则,

所以.

令,则,

令,则,

则在上单调递增,所以.

所以,则在上单调递增,

所以,即,故.

7.已知函数.

（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切,求实数的值；否则请说明理由；

（2）若函数恰好有两个零点,,求证：.

【解析】（1）函数的导数为,

由,得,

若与轴相切,切点为,（1）,必有（1）,

解得,当时,,递减；当时,,递增,

所以函数的图象能与轴相切,此时

（2）证明：设,所以,由,可得,

解得,

所以,

要证,即证,即为,,

令,,,

所以在递增,可得（1）,

则.

8．（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）设函数．

（1）若为单调递增函数,求的值；

（2）当时,直线与曲线相切,求的取值范围；

（3）若的值域为,证明：．

【解析】（1）因为,定义域为,

因为为单调递增函数,所以在上恒成立．

即恒成立．

当时显然成立,当时；当时．设

,则,又,则,即当时,当时,所以,所以,所以,

所以时,时,所以．

（2）设与相切于点,

得代入得．

设,,

,；,,即在上单调递增,在上单调递减．

又,,．

而．

所以当时,．

（3）,,

当,,如图所示存在两根,,

当时,,,递增；

当时,,,递减；

当时,,,递增．

又因为在处无定义,所以只有,

则,从而成立,

当,,如图所示存在两根,．

当时,,,递增；

当时,,,递减；

当时,,,递增．

又因为在处无定义,

所以只有,

将代入式得,所以．

从而有,从而成立．

综上,对任意,都有成立．