浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试精练

这是一份浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试精练，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版2021年九年级上册第4章《相似三角形》单元基础练习题一、选择题1．下列四组线段中，成比例线段的有（　　）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m2．下列图形中不是相似关系的是（    ）A．B．C． D．3．当主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若舞台AB的长为（48）米，则CD的长为（　　）A．4米 B．（48）米 C．8米 D．（24）米4．下列不能判定和以，，为顶点的三角形相似的条件是（    ）A． B．且C．且 D．且5．如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（　　）A．4 B．8 C．12 D．96．如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，连接ED，则下列结论：①△ADC∽△BDF；②△BEC∽△ADC；③△ABD∽△ABE；④△ABC∽△DEC；⑤△BDE∽△AED；⑥△BDF∽△AEF．正确的为（　　）A．①②③④ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．②③④7．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ）A． B． C． D．8．如图，在中，，若，则的值为（    ）A． B． C． D．二、填空题9．如图所示，添加一个条件_________，△ADB ∽△ABC．10．一幅地图的比例尺为1：6000000，若两地画在图上的距离是5cm，则两地的实际距离是 ___km．11．已知＝，则＝___．12．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．13．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为____．14．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，且，则______．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝___． 三、解答题16．图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．  17．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE=3：4，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM=16m，边DF离地面的距离为1.5m，求树高AB．  18．如图，在中，，于D．求证：． 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长． 20．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 21．（1）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，EF⊥GH于P，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．
 ①如图1，当a＝b时，线段EF与线段GH的数量关系是　 　；②如图2，当a≠b时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（2）如图3，在四边形ABCD中，BC＝CD＝10，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于P，点E，F分别在边BC，AB上，若，请直接写出AB的长．  22．如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）如图2，连接PQ，交BC于点F，是否存在某一时刻t，使△BFP与△QFC相似？（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积．       参考答案1．C【分析】把线段从小到大（或从大到小）排列，，，，若线段，，，成比例，则，只要代入验证即可．【详解】A.，，A错误；B.，，B错误；C.，C正确；D.，D错误．故选：C．【点睛】本题考查成比例线段，解题关键是掌握成比例线段的定义，叙述成比例线段时，注意各个线段的顺序．2．D【分析】根据形状相同的两个图形是相似图形，逐项分析即可．【详解】解：形状相同的两个图形是相似图形，选项ABC四个图形形状都相同相似，选项D图形形状不相同不相似，故选D【点睛】本题考查了相似图形的定义，理解形状相同的两个图形是相似图形是解题的关键．3．A【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，据此求解即可．【详解】解：由题意可知：，又∵，∴，∴，∴（米），故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．4．D【分析】根据相似三角形的判定定理即可作出判断．【详解】解：A、∵，∴△ABC∽△B′C′A′；B、∵，∴，又，∴△ABC∽△B′C′A′；C、∵且，∴△ABC∽△B′A′C′；D、若且，则不能判断△ABC和△A′B′C′相似；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确理解判定定理是关键．5．C【分析】根据平行线分线段成比例可得即由此求解即可．【详解】解：∵，∴即，∴，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．6．B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，∴∠AEF＝∠FDB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△AFE∽△BFD，故⑥正确，∵∠ADC＝∠BDF＝90°，∴△ADC∽△BDF，故①正确，∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△BEC∽△ADC，故②正确，∴，∴，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC，故④正确，③⑤不满足相似的条件，结论错误．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．7．D【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：3：2，
故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．8．C【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵，∴，∵DE∥BC，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．9．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可．【详解】解：∵∠A=∠A．∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定；添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件．10．300【分析】根据比例尺=图上距离÷实际距离进行求解即可．【详解】解：∵比例尺=图上距离÷实际距离，∴实际距离=图上距离÷比例尺，故答案为：300．【点睛】本题主要考查了比例线段，解题的关键在于能够熟知比例尺=图上距离÷实际距离．11．【分析】由＝得，代入要求的式子进行计算即可．【详解】解：∵＝，∴，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．12．【分析】利用相似多边形的性质求解即可．【详解】解：∵＝2×4−×1×2−×1×2−1×1−×1×1＝．又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，∴：＝＝＝，∴＝×＝．故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，解决问题．13．168°【分析】根据相似三角形对应角相等求解即可．【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°，故答案为：168°．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应角相等．14．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出两三角形的相似比，从而对应边的比等于相似比进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵， ∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：在矩形中，，，在和中，，，，即，，同理可得：，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．16．不相似，理由见解析【分析】根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可．【详解】解：这两个多边形不相似．理由：∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，∴这两个多边形不相似．【点睛】本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键．17．树高AB长为13.5m【分析】设，，证明，由相似的性质得出，算出，即可得出答案．【详解】设，，，，，，，，，答：树高AB长为13.5m．【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．18．见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：∵于D．∴，∵，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．19．AC的长为9【分析】由证明可得：再代入数据求值即可.【详解】解： AD＝8，DB＝4，AE＝6， 经检验：符合题意；所以AC的长为9．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键.20．秒或1.2秒【分析】存在2种情况，一种情况是QPC∽△ABC，还有一种是△PQC∽△ABC，用线段比相等可求得．【详解】解：∵AC：AB=3：5，∴，∵BC=8cm，∠C=90°，∴，即∴AB=10cm，∴AC=6cm，                               设经过t秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，CP=3t，CQ=6-t                                ①若 △ QPC∽△ABC，则：，即：∴t= ； （2）若 △PQC∽△ABC，则：，即：∴t=1.2                                           所以，经过 秒或1.2秒时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质．21．（1）①相等；②不成立，；（2）20【分析】（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，易得MH=EN，从而△HMG≌△ENF，从而可得EF=GH；②结论不成立；分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，则由四边形内角和可证得∠MGH=∠NFE，从而可得Rt△HMG∽Rt△ENF，根据相似三角形的性质即可得；（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，则四边形AMNB是矩形；易得Rt△ABC≌Rt△ADC，则有AD=AB；由（1）知，设AD=AB=5a，则AM=4a，从而由勾股定理可得MD=3a，则DN=2a，CN=4a－10，在Rt△CDN中，由勾股定理建立方程即可求得a，进而求得AB的长．【详解】（1）①分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图∴∠AMH=∠END=90゜∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠A=∠B=∠D=90゜ ∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形∴MH=AB，EN=AD∴MH=EN∵GH⊥EF∴∠GPF=∠D=90゜∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜∵∠MGH+∠HGD=180゜∴∠MGH=∠NFE在△HMG与△ENF中∴△HMG≌△ENF∴EF=GH故答案为：EF=GH；②结论不成立，；理由如下：分别过点H、E作HM⊥AD于M，EN⊥DC于N，如图∴∠HMG=∠ENF=90゜∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=b，∠A=∠B=∠D=90゜∴四边形AMHB、四边形AEND都是矩形∴HM=AB=a，EN=AD=b  ∵GH⊥EF∴∠GPF=∠D=90゜∴由四边形内角和知，∠HGD+∠NFE=180゜∵∠MGH+∠HGD=180゜∴∠MGH=∠NFE∴△HMG∽△ENF∴（2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点N，过点A作BC的平行线交DN于点M，连接AC，如图，则四边形AMNB是矩形∴MN=AB，AM=BN∵∠B=∠ADC=90゜，BC=DC，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC∴AD=AB由（1）知设AD=AB=5a，则AM=BN=4a，MN=AB=5a在Rt△AMD中，由勾股定理得：MD=3a∴DN=MN－MD=2a，CN=BN－BC=4a－10在Rt△CDN中，由勾股定理可得：即解得：a=4∴AB=5×4=20【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，感受从特殊到一般的研究方法，（2）中构造矩形AMNB是本题的难点，运用（1）中②的结论是解决（2）问的关键．22．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意得，，由勾股定理求出AC=13cm，则，再证明，得到即，由此求解即可；（2）先根据相似三角形的判定条件得到∠FQC=∠FBP=90°，从而证明△APQ∽△ACB，即，由此求解即可；（3）过点Q作QM⊥AB于M，则可证△AMQ∽△ABC，得到即，则，再由进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得，，∵在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，∴，∴，∵，∴，∴即，解得；（2）∵∠BFP=∠QFC，∴要使得△BFP与△QFC相似，那么必有另一组对应角相等，∵∠ABC=∠PBF=90°，∠QCF≠90°，∴∠FQC=∠FBP=90°，∴∠FCQ=∠FPB，∠AQP=∠ABC=90°∴△APQ∽△ACB，∴即，解得；（3）过点Q作QM⊥AB于M，∴∠AMQ=∠ABC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMQ∽△ABC，∴即，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．