浙江省衢州市龙游县2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份浙江省衢州市龙游县2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共31页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年浙江省衢州市龙游县九年级（上）期末数学试卷
　
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，不属于二次函数的是（　　）
A．y=（x﹣2）2 B．y=﹣2（x+1）（x﹣1） C．y=1﹣x﹣x2 D．y=
2．若3y﹣6x=0，则x：y等于（　　）
A．﹣2：1 B．2：1 C．﹣1：2 D．1：2
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是（　　）

A． B． C． D．
4．二次函数y=a（x+k）2+k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是（　　）
A．y=x B．x轴 C．y=﹣x D．y轴
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．45°
6．下列说法正确的是（　　）
A．在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同
B．投掷一粒骰子，连投两次点数相同的概率与连投两次点数都为1的概率是相等的
C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件
D．一个袋中装有3个红球，5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
7．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中有（　　）对相似三角形（全等除外）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（　　）

A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A瞬时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2017为止，则AP2017长为（　　）

A．1344+672 B．1344+673 C．1345+673 D．1345+674
　
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为　　．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=　　．
13．如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为　　cm的圆形纸片所覆盖．

14．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为　　．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=30°，则点P的坐标为　　．

16．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点．经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）则抛物线的解析式为　　；
（2）连接AD，点F是抛物线上A、C之间的一点，直线BF交AD于点P，连接PE，当BP+PE的值最小时，写出此时点F的坐标　　．

　
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
18．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y）．
（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；
（2）求点A落在y=x2+x﹣4的概率．
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

20．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

23．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当CQ=10时，求的值．
（2）当x为何值时，PQ∥BC；
（3）是否存在某一时刻，使△APQ与△CQB相似？若存在，求出此时AP的长，若不存在，请说明理由．

24．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=1：2
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB=1，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的基础上，将直线CP先绕点C旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，Q是直线n上的动点，是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形？若存在，求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　

2017-2018学年浙江省衢州市龙游县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，不属于二次函数的是（　　）
A．y=（x﹣2）2 B．y=﹣2（x+1）（x﹣1） C．y=1﹣x﹣x2 D．y=
【考点】二次函数的定义．
【分析】整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可解答．
【解答】解：A、整理为y=x2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；
B、整理为y=﹣2x2+2，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣x2﹣x+1，是二次函数，不合题意；
D、不是整式方程，符合题意．
故选：D．
　
2．若3y﹣6x=0，则x：y等于（　　）
A．﹣2：1 B．2：1 C．﹣1：2 D．1：2
【考点】比例的性质．
【分析】由3y﹣6x=0得3y=6x，根据比例的性质即可得到x：y=1：2．
【解答】解：∵3y﹣6x=0，
∴3y=6x，
∴x：y=1：2．
故选：D．
　
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴sinA==，
同时有，sinA=sin∠DCB=．
故选D．
　
4．二次函数y=a（x+k）2+k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是（　　）
A．y=x B．x轴 C．y=﹣x D．y轴
【考点】二次函数的性质．
【分析】分别设k=0，k=1时得出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出过此两点的直线即可．
【解答】解：设当k=0时，原二次函数可化为y=ax2，此时顶点坐标为A（0，0）；
当k=1时，原二次函数可化为y=a（x+1）2+1，此时顶点坐标为B（﹣1，1）；
∵设过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，则，，
∴函数图象顶点所在的直线为：y=﹣x．
故选C．
　
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．45°
【考点】切线的性质．
【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【解答】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．

　
6．下列说法正确的是（　　）
A．在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同
B．投掷一粒骰子，连投两次点数相同的概率与连投两次点数都为1的概率是相等的
C．从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是必然事件
D．一个袋中装有3个红球，5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同，正确，故本选项正确；
B、投掷一粒骰子，连投两次点数相同的概率是=，连投两次点数都为1的概率是，不相等，故本选项错误；
C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故本选项错误；
D、一个袋中装有3个红球，5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是，故本选项错误．
故选A．
　
7．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中有（　　）对相似三角形（全等除外）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据2个角对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．△BDF∽△BAD．
【解答】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△BDC∽△AFD，△BDF∽△BAD，一共5对．
故选：D．
　
8．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
【考点】弧长的计算．
【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是180﹣60=120，所以根据弧长公式可得．
【解答】解： =20πcm，
故选D．
　
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（　　）

A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理．
【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．
【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故选A．
　
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A瞬时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2017为止，则AP2017长为（　　）

A．1344+672 B．1344+673 C．1345+673 D．1345+674
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2017=3×672+1，即可得出结果．
【解答】解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；
AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；
AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；
∵2017=3×672+1，
∴AP2015=1343+672．
AP2016=1344+672，
AP2017=1344+673，
故选B．
　
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为　9：1　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，
△A′B′C′与△ABC的面积之比为9：1．
故答案为：9：1．
　
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=　1　．
【考点】概率公式．
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由题意知：，解得n=1．
　
13．如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为　　cm的圆形纸片所覆盖．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D=，代入求出CD即可．
【解答】解：作圆O的直径CD，连接BD，
∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，
∴∠D=∠A=60°，
∵直径CD，
∴∠DBC=90°，
∴sin∠D=，
即sin60°=，
解得：CD=2，
∴圆O的半径是，
故答案为：．

　
14．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为　﹣4或0　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由于二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，则可确定二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），然后根据抛物线与x轴的两交点关于抛物线的对称轴对称，则可得到抛物线的对称轴方程，从而得到这个二次函数图象顶点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），
当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣6，0）和（﹣2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=﹣4，
当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣2，0）和（2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=0，
即这个二次函数图象顶点的横坐标为﹣4或0．
故答案为﹣4或0．
　
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=30°，则点P的坐标为　（1，）或（2，2）　．

【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．
【分析】连接BP、AP，过P作x轴的垂线，设垂足为Q；由圆周角定理知AB是⊙O的直径，而∠AOP=30°，根据勾股定理得到直径AB的长，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，由勾股定理即可求得OQ、PQ的长，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）如图1中，连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2，由勾股定理，得AB=4，
∵∠ABP=∠AOP=30°，
∴PA=AB=2，
Rt△POQ中，∠POQ=30°，
设PQ=x，则OQ=x，AQ=2﹣x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP2=AQ2+PQ2，即（2﹣x）2+x2=4，
解得x=1，或x=2，
∴OQ=或2，
即P点坐标为（1，）或（2，2），
故答案为：（1，）或（2，2）．
　
16．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点．经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）则抛物线的解析式为　y=﹣x2﹣x+8　；
（2）连接AD，点F是抛物线上A、C之间的一点，直线BF交AD于点P，连接PE，当BP+PE的值最小时，写出此时点F的坐标　（﹣，）　．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx+8，利用待定系数法即可求得；
（2）由（1）可知AB=AC，则可知PB=PC，则可知PB+PE=PC+PE，则可知P、C、E三点共线，要使PC+PE最小，则PE⊥AB，即O与点E重合，可求得其最小值，过G作GH⊥x轴于点H，由△COB∽△AOP可求得OP，再由PO∥GH，根据平行线分线段成比例可求得GH，即求得G点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得G点坐标；
【解答】解：（1）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx+8得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+8；
故答案为y=﹣x2﹣x+8；

（2）由y=ax2+bx+8可知C（0，8），
∵A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），
∴OA=6，OC=8，OB=4，
∴AB=10，AC==10，
∴AB=AC，
∴D为BC的中点，
∴AD为线段BC的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE，
要使其最小则P、C、E三点共线，
∴BP+PE=CE
要使CE最小，则CE⊥AB，此时点O与点E重合，
∴BP+PE=OC=8，即BP+PE的最小值为8，
如图，过F作FH⊥x轴于点H，设F（x，﹣x2﹣x+8），则可知x＜0，
∴BH=4﹣x，FH=﹣x2﹣x+8，
∵∠DPO+∠DBO=∠APO+∠DPO=180°，
∴∠APO=∠CBO，且∠AOP=∠COB=90°，
∴△AOP∽△COB，
∴=，即=，解得OP=3，
∵FH∥OP，
∴=，即=，解得x=4（舍去）或x=﹣，
∴F点坐标为（﹣，）．
故答案为（﹣，）．

　
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．
【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；
（2）利用表中数据求解．
【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
　
18．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，2，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y）．
（1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况；
（2）求点A落在y=x2+x﹣4的概率．
【考点】列表法与树状图法；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得（﹣1，﹣4），（2，2）在函数y=x2+x﹣4上，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）列表如下：

甲 乙
﹣4
2
3
﹣1
（﹣1，﹣4）
（﹣1，﹣2）
（﹣1，3）
2
（2，﹣4）
（2，2）
（2，3）
5
（5，﹣4）
（5，﹣2）
（5，3）
总共有9种等可能的结果；

（2）∵（﹣1，﹣4），（2，2）在函数y=x2+x﹣4上，
∴点A落在y=x2+x﹣4的概率P=．
　
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．

　
20．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切函数的定义，可得方程①②，根据代入消元法，可得答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=tan64°==2，
CD=①．
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==，
BE=AB ②．
BE=CD，得===AB，
解得AB=70cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm．
　
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．

　
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；
（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；
（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故=，再由CM=AM可知=，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．
【解答】（1）解：设AC=BC=2a，
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM=a，
∴BM===a．
∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，
∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，
∴sin∠MCH=sin∠MBC===；

（2）解：△MCH∽△MBC．
理由：∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠MCB=∠MHC=90°．
∵∠BMC是公共角，
∴△MCH∽△MBC；

（3）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAM=45°．
∵由（2）知，△MCH∽△MBC，
∴=．
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM，
∴=．
∵∠AMH为公共角，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠AHM=∠BAM=45°．

　
23．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当CQ=10时，求的值．
（2）当x为何值时，PQ∥BC；
（3）是否存在某一时刻，使△APQ与△CQB相似？若存在，求出此时AP的长，若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）当CQ=10时，可求出x，从而求出AP，即可求出BP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题；
（2）由题可得AP=4x，CQ=3x，BP=20﹣4x，AQ=30﹣3x．若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需，此时，解这个方程就可解决问题．
【解答】解：（1）当CQ=10时，3x=10，
∴x=，
∴AP=4x=，
∴BP=20﹣=
∴=．

（2）由题可得AP=4x，CQ=3x．
∵BA=BC=20，AC=30，
∴BP=20﹣4x，AQ=30﹣3x．
若PQ∥BC，
则有△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x=．
∴当x=时，PQ∥BC；

（2）存在．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
要使△APQ∽△CQB，
只需．
此时，
解得：x=，
∴AP=4x=；
　
24．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=1：2
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB=1，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的基础上，将直线CP先绕点C旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，Q是直线n上的动点，是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形？若存在，求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值．；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，然后再求得直线n=﹣2．设点Q的坐标为（a，﹣2），依据两点间的距离公式可知：PO2=17，PQ2=（1﹣a）2+4，OQ2=a2+4，
最后依据勾股定理的逆定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：

∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，
∴=．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．

将x=0代入得：y=c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x=1代入得y=﹣a+c．
∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠BPD=1，
∴tan∠FPC=1．
∴==1，解得a=1．
将a=1代入抛物线的解析式得：y=x2﹣2x+c．
将点A的坐标代入得：1+2+c=0，解得：c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点P的坐标为（1，﹣4）．
由题意可知：直线n=﹣2．
设点Q的坐标为（a，﹣2），依据两点间的距离公式可知：PO2=17，PQ2=（1﹣a）2+4，OQ2=a2+4，
当PQ2+OQ2=PO2时，（1﹣a）2+4+a2+4=17，解得：a=或a=．
∴点Q的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）．
当PO2+PQ2=OQ2时，17+（1﹣a）2+4=a2+4，解得a=9．
∴点Q的坐标为（9，﹣2）．
当PO2+OQ2=PQ2时，17+a2+4=（1﹣a）2+4，解得：a=﹣8．
∴点Q的坐标为（﹣8，﹣2）．
综上所述，点Q的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．