浙江省杭州市滨江区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市滨江区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
　
一、仔细选一选
1．已知2：x=3：9，则x=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．已知sinA=，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为（　　）
A．15 B．30 C． D．15π
4．下列事件哪个是必然事件（　　）
A．任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦
D．在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似
5．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE=2，EF=AB=3，则BC长为（　　）

A． B．2 C． D．4
6．一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）

A．a＜0 B．ab＞0 C．ac＞0 D．2a+b＞0
7．如图，在O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且===，则=（　　）

A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
9．如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH，CI，如果正方形ABCD的边长是2，则下列结论：①△GBC是等边三角形；②△IGH的面积是7﹣12；③tan∠BHA=2+；④GE=2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）

A． ﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
　
二、认真填一填
11．已知△ABC∽△DEF， =3，则△ABC与△DEF的面积比为　　．
12．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠D的度数为　　．
13．九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计如表：
每辆私家车乘客的数目
1
2
3
4
5
私家车的数目
58
27
8
4
3
根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率是　　．
14．抛物线y=3（x﹣2）2+1绕抛物线的顶点旋转180°所得的抛物线的解析式是　　．
15．如图，AB是⊙O的直径，且点B是的中点，AB交CD于E，若∠C=21°，则∠ADC=　　．

16．如图，一抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点，过OD的中点E，作EF⊥x轴于点F，G为x轴上一动点，M为抛物线上一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为　　．

　
三、全面答一答
17．（1）2sin30°+tan60°﹣cos45°
（2）若=，求的值．
18．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于哪类事件？摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪类事件？
（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个球有几种不同的可能？请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是一红一白的概率是多少？
19．图1中是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2，立柱DE高1.7m，AD长0.3m，踏板静止时从侧面看与AE上点B重合，BE长0.2m，当踏板旋转到C处时，测得∠CAB=42°，求此时点C距离地面EF的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90）

20．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．
（1）求铅球所经过的路线的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）求铅球落地点离运动员有多远（精确到0.01）？

21．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，且AE=，EB=3，的度数为120°．解答问题：
（1）请用直尺和圆规作出圆心O（不写作法，保留痕迹）
（2）求出⊙O的半径；
（3）求出弦CD的长度．

22．如图1，已知点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），AB=10，在线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，连结AD和BC，它们相交于点Q，AD与PC交于点M．
（1）求证：△APD≌△CPB，△ACQ∽△BCA；
（2）若△APC和△BPD不是等边三角形，如图2，只满足∠APC=∠BPD，PA=kPC，PD=kPB（k＞0，k为实数），E是AB中点，F是AC中点，G是BD中点，连结EF，EG，求的值（用含k的式子表示）；
（3）请直接写出在图1中，经过P，C，D三点的圆的半径的最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，tan∠CAB=3
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

　

2017-2018学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、仔细选一选
1．已知2：x=3：9，则x=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】比例的性质．
【分析】根据内项之积等于外项之积转化为方程即可解决问题．
【解答】解：∵2：x=3：9，
∴3x=18，
∴x=6，
故选D．
　
2．已知sinA=，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而求出答案．
【解答】解：∵sinA=，
∴∠A的度数为：30°．
故选：A．
　
3．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为（　　）
A．15 B．30 C． D．15π
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长公式l=进行解答．
【解答】解：设该圆弧的半径等于rcm，则
10π=，
解得 l=30．
故答案为30．
　
4．下列事件哪个是必然事件（　　）
A．任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦
D．在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上是随机事件；
B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1是随机事件；
C、连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦是必然事件；
D、在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似是随机事件；
故选：C．
　
5．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE=2，EF=AB=3，则BC长为（　　）

A． B．2 C． D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，
∵DE=2，EF=AB=3，
∴=，
∴BC=，
故选A．
　
6．一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）

A．a＜0 B．ab＞0 C．ac＞0 D．2a+b＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数开口向上判断出a＞0，再根据对称轴判断出b＞0，再根据与y轴的交点判断出c＜0；根据对称轴列出不等式求解即可得到2a+b＞0．
【解答】解：∵二次函数开口向上，
∴a＞0，
∴A错误；

∵对称轴在y轴左边，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∴B错误；

∵二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
∴C错误；

∵
∴，
∵a＞0，
∴b＞﹣2a，
∴b+2a＞0
∴D正确．
故选D．
　
7．如图，在O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且===，则=（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据已知条件得到EF∥BC，推出△EOF∽△BOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵ ==，
∴EF∥BC，
∴△EOF∽△BOC，
∴=，
∵=，
∴=，
∴=，
故选B．
　
8．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC=，
∴BC=2DC=2，
故选B．

　
9．如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH，CI，如果正方形ABCD的边长是2，则下列结论：①△GBC是等边三角形；②△IGH的面积是7﹣12；③tan∠BHA=2+；④GE=2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】由折叠的性质得，AB=BG，CD=CG，根据正方形的性质得到AB=BC=CD，等量代换得到BG=BC=CG，推出△GBC是等边三角形；故①正确；根据正方形的性质得到AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，由等边三角形的性质得到∠BGC=60°，GE=BC=，故④错误；推出∠FIG=30°，得到FI=FG=（2﹣）=2﹣3，根据三角形打麻将公式得到△HIG的面积=7﹣12，故②正确；根据勾股定理得到AH=HG==4﹣2，由三角函数的定义得到tan∠BHA===2+；故③正确．
【解答】解：由折叠的性质得，AB=BG，CD=CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∴BG=BC=CG，
∴△GBC是等边三角形；故①正确；
∵FE⊥BC，EF⊥AD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠A=90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，
∵△GBC为等边三角形，
∴∠BGC=60°，GE=BC=，故④错误；
∴∠HGI=120°，FG=EF﹣GE=2﹣，
∴∠FIG=30°，
∴FI=FG=（2﹣）=2﹣3，
∴HI=2FI=4﹣6，
∴△HIG的面积=HI•FG=（2﹣）（4﹣6）
=7﹣12，故②正确；
∵AH=HG==4﹣2，
∴tan∠BHA===2+；故③正确；
故选C．

　
10．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）

A． ﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
【考点】扇形面积的计算；角平分线的性质．
【分析】根据AB是⊙O的直径，得到∠C=90°，根据角平分线的定义和三角形的内角和得到∠AEB=180°﹣（∠BAC+∠CBA）=135°，连接EO，推出EO为Rt△ABC内切圆半径，根据三角形的面积得到EO=﹣1，根据勾股定理得到AE2=AO2+EO2=12+（﹣1）2=4﹣2，然后根据扇形和三角形的面积即刻得到结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°﹣（∠BAC+∠CBA）=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC=（AB+AC+BC）•EO=AC•BC，∴EO=﹣1，
∴AE2=AO2+EO2=12+（﹣1）2=4﹣2，
∴扇形EAB的面积==（2﹣），△ABE的面积=AB•EO=﹣1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积﹣△ABE的面积=，
∴阴影部分的面积=⊙O的面积﹣弓形AB的面积=﹣（﹣）=﹣4，
故选A，

　
二、认真填一填
11．已知△ABC∽△DEF， =3，则△ABC与△DEF的面积比为　9　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF， =3，
∴△ABC与△DEF的面积比为9．
故答案为9．
　
12．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠D的度数为　90°　．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A、∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，
∴设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即x+5x=180，解得x=30°，
∴∠B=3x=90°，
∴∠D=180°﹣∠B=180°﹣90°=90°，
故答案为：90°．
　
13．九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计如表：
每辆私家车乘客的数目
1
2
3
4
5
私家车的数目
58
27
8
4
3
根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率是　　．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】先利用表中数据计算出一辆私家车载有超过3名乘客的频率，然后利用频率估计概率求解
【解答】解：根据题意得：
=，
估计调查一辆私家车而它载有超过3名乘客的概率是．
故答案为：．
　
14．抛物线y=3（x﹣2）2+1绕抛物线的顶点旋转180°所得的抛物线的解析式是　y=﹣3（x﹣2）2+1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据旋转的性质即可得出顶点坐标不变，a变为﹣3，由此即可得出旋转后新抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=3（x﹣2）2+1顶点坐标为（2，1），a=3，
绕顶点旋转180°后，顶点坐标为（2，1），a=﹣3，
∴抛物线y=3（x﹣2）2+1绕抛物线的顶点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣3（x﹣2）2+1．
故答案为：y=﹣3（x﹣2）2+1．
　
15．如图，AB是⊙O的直径，且点B是的中点，AB交CD于E，若∠C=21°，则∠ADC=　69°　．

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由点B是的中点可得出的度数，进可得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．
【解答】解：∵∠C=21°，
∴∠A=∠C=21°．
∵点B是的中点，
∴的度数为42°．
∵AB是⊙O的直径，
∴的度数=180°﹣42°=138°，
∴∠ADC=×138°=69°．
故答案为：69°．
　
16．如图，一抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点，过OD的中点E，作EF⊥x轴于点F，G为x轴上一动点，M为抛物线上一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为　（﹣4﹣2，0）、（﹣4，0）、（﹣4+2，0）或（4，0）　．

【考点】二次函数的性质．
【分析】根据A、B、C三点坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出D和E的坐标，设点G的坐标为（m，0），则点M的坐标为（m， m2﹣m﹣3），点N的坐标为（1， m2﹣m﹣3），根据以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，即可找出关于m的含绝对值符合的一元二次方程，解之即可得出m值，将其代入点G的坐标中即可得出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．
∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣2）2﹣4，
∴点D的坐标为（2，﹣4），点E的坐标为（1，﹣2），
∴直线EF的解析式为x=1．
设点G的坐标为（m，0），则点M的坐标为（m， m2﹣m﹣3），点N的坐标为（1， m2﹣m﹣3），
∵以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，
∴|m﹣1|=|m2﹣m﹣3|，
解得：m1=﹣4﹣2，m2=﹣4+2，m3=﹣4，m4=4．
∴点G的坐标为（﹣4﹣2，0）、（﹣4，0）、（﹣4+2，0）或（4，0）．
故答案为：（﹣4﹣2，0）、（﹣4，0）、（﹣4+2，0）或（4，0）．

　
三、全面答一答
17．（1）2sin30°+tan60°﹣cos45°
（2）若=，求的值．
【考点】比例的性质；实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则计算即可；
（2）由=，可得y=3x，代入，计算即可．
【解答】解：（1）2sin30°+tan60°﹣cos45°
=2×+×﹣×
=1+3﹣1
=3；

（2）∵=，
∴y=3x，
∴==﹣．
　
18．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于哪类事件？摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪类事件？
（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个球有几种不同的可能？请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是一红一白的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由不可能事件与随机事件的定义，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球刚好是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
（1）∵箱子里放有1个白球和2个红球，
∴从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于不可能事件；
摸出一个球，是白球或者是红球，这属于随机事件；
（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，摸出的球中有两个球刚好是一红一白有2种情况，
∴两个球刚好是一红一白的概率==．
　
19．图1中是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2，立柱DE高1.7m，AD长0.3m，踏板静止时从侧面看与AE上点B重合，BE长0.2m，当踏板旋转到C处时，测得∠CAB=42°，求此时点C距离地面EF的高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过点C作CG⊥AB于G，通过解余弦函数求得AG，然后根据EG=AE﹣AG求得即可．
【解答】解：由题意，得AE=DE﹣AD=1.7﹣0.3=1.4m，

AB=AE﹣BE=1.4﹣0.2=1.2m，
由旋转，得AC=AB=1.2m，
过点C作CG⊥AB于G，过点C作CH⊥EF于点H，
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠CAG=42°，
cos∠CAG=，
∴AG=AC•cos∠CAG=1.2×cos42°=1.2×0.74≈0.89m，
∴EG=AE﹣AG≈1.4﹣0.89=0.51m，
∴CH=EG=0.51m．
　
20．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．
（1）求铅球所经过的路线的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）求铅球落地点离运动员有多远（精确到0.01）？

【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）利用顶点式设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+3，把（0，）代入得到a=﹣，由此即可解决问题．
（2）令y=0，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+3，
把（0，）代入得到a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+3（0＜x≤4+4）．

（2）令y=0，得到﹣（x﹣4）2+3=0，解得x=4+4或4﹣4（舍弃），
∴铅球落地点离运动员有4+4≈9.66m．
　
21．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，且AE=，EB=3，的度数为120°．解答问题：
（1）请用直尺和圆规作出圆心O（不写作法，保留痕迹）
（2）求出⊙O的半径；
（3）求出弦CD的长度．

【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）分别作AB和CD的垂直平分线，它们的交点为点O；
（2）连接OB，AB的垂直平分线交AB于F，如图，根据垂径定理得到AF=BF，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOF=60°，然后在Rt△BOF中利用∠BOF的正弦可求出OB；
（3）CD的垂直平分线交CD于H，连接OD，如图，易得四边形OFEH为矩形，则OH=EF=，则在Rt△OHD中利用勾股定理可计算出DH=，然后根据垂径定理得到CD=2DH=2．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；

（2）连接OB，AB的垂直平分线交AB于F，如图，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，∠BOF=×120°=60°，
∵AE=，EB=3，
∴AF=BF=2，
在Rt△BOF中，∵sin∠BOF=，
∴OB==4，
即⊙O的半径为4；
（3）CD的垂直平分线交CD于H，连接OD，如图，
∵AF=2，AF=，
∴EF=，
易得四边形OFEH为矩形，
∴OH=EF=，
在Rt△OHD中，DH===，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，
∴CD=2DH=2．
　
22．如图1，已知点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），AB=10，在线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，连结AD和BC，它们相交于点Q，AD与PC交于点M．
（1）求证：△APD≌△CPB，△ACQ∽△BCA；
（2）若△APC和△BPD不是等边三角形，如图2，只满足∠APC=∠BPD，PA=kPC，PD=kPB（k＞0，k为实数），E是AB中点，F是AC中点，G是BD中点，连结EF，EG，求的值（用含k的式子表示）；
（3）请直接写出在图1中，经过P，C，D三点的圆的半径的最小值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据SAS即可证明△APD≌△CPB，推出∠PAD=∠PCB，由∠AMP=∠CMQ，推出∠AQC=∠APC=60°，由∠CAB=60°，推出∠AQC=∠CAB，即可证明△ACQ∽△BCA；
（2）由∠APC=∠DPB，推出∠APD=∠CPB，由==k，推出△APD∽△CPB，推出==k，由EF=BC，EG=AD，即可推出===．
（3）观察图象可知，当△PCD是等边三角形时，△PCD的外接圆的半径最小．
【解答】（1）证明：

∵△APC，△DPB都是等边三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
在△APD和△CPB中，
，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，∵∠AMP=∠CMQ，
∴∠AQC=∠APC=60°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AQC=∠CAB，∵∠ACQ=∠ACB，
∴△ACQ∽△BCA；

（2）证明：如图2中，

∵∠APC=∠DPB，
∴∠APD=∠CPB，
∵==k，
∴△APD∽△CPB，
∴==k，
∵AF=FC，AE=BE，
∴EF=BC，
∵BG=GD，BE=EA，
∴EG=AD，
∴===．

（3）解：如图3中，

∵∠APC=∠DPB=60°，
∴∠CPD=60°，
观察图象可知，当△PCD是等边三角形时，△PCD的外接圆的半径最小，最小值为．
　
23．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，tan∠CAB=3
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值；
（3）先将抛物线配方成顶点式求M（1，4），利用待定系数法求直线MB的解析式，利用解析式分别表示N、Q两点的坐标；
分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，证明△EMQ≌△FQN，根据全等三角形的性质EM=FQ，EQ=FN，列方程组解出即可；
②当N在射线BM上时，如图3，同理可求得点N的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
当y=0时，﹣x+3=0，
x=3，
∴B（3，0），
在Rt△AOC中，tan∠CAB=3，
∴=3，
∴=3，
∴OA=1，
∴A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0﹣3），
a=﹣1，
∴y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3﹣m，PE=n，
S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE•PE，
=m（n+3）+n（3﹣m），
=m+n，
∵n=﹣m2+2m+3，
∴S=m+（﹣m2+2m+3）=﹣+m+=﹣（m﹣）2+，
当m=时，S有最大值是；
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：y=﹣2x+6，
设N（a，﹣2a+6），Q（n，﹣n+3），
分两种情况：
①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴，
解得：，
当a=2时，y=﹣2a+6=﹣2×2+6=2，
∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，
同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴，
解得：，
∴N（﹣1，8），
综上所述，点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）．