2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷

这是一份2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）9的相反数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
2．（2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次，将数据3270000用科学记数法表示为（ ）
A．32.7×105B．0.327×107C．3.27×105D．3.27×106
4．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8B．6a﹣2a＝4a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2
5．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
6．（2分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是17B．众数是15C．中位数是17D．中位数是18
7．（2分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：
8．（2分）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝0.3，s乙2＝0.02，则甲组数据更稳定
10．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A．B．C．πD．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：ax2+2ax+a＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）化简：（）•（x+4）＝ ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N．若四边形AMON的面积为12，则k的值是 ．
15．（3分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16．（3分）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
19．（8分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
21．（8分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝ ，点A的坐标是（ ， ）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 ．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ ，∠ABP＝ （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
2021年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2分）9的相反数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：9的相反数是﹣9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的概念．
2．（2分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3．（2分）据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000次，将数据3270000用科学记数法表示为（ ）
A．32.7×105B．0.327×107C．3.27×105D．3.27×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3270000＝3.27×106．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8B．6a﹣2a＝4a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2b）2＝﹣a4b2
【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．
【解答】解：A．a4•a2＝a6，故本选项错误；
B．6a﹣2a＝4a，故本选项正确；
C．a6÷a2＝a4，故本选项错误；
D．（﹣a2b）2＝a4b2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
5．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【分析】由已知条件a∥b，可得∠1＝∠3＝70°，由平角的性质可得∠2+∠3＝180°代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
6．（2分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是17B．众数是15C．中位数是17D．中位数是18
【分析】根据中位数、众数的概念求解可得．
【解答】解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23，
∴众数为17、中位数为＝17.5，
故选：A．
【点评】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
7．（2分）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
8．（2分）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣3，b＝1，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝0.3，s乙2＝0.02，则甲组数据更稳定
【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
C．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝0.3，s乙2＝0.02，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A．B．C．πD．
【分析】过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DB＝AB＝，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）
11．（3分）分解因式：ax2+2ax+a＝ a（x+1）2 ．
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：ax2+2ax+a，
＝a（x2+2x+1）﹣﹣（提取公因式）
＝a（x+1）2．﹣﹣（完全平方公式）
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
12．（3分）不等式组的解集是 ≤x＜6 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣5＜1，得：x＜6，
解不等式3x﹣5≥0，得：x≥，
则不等式组的解集为≤x＜6，
故答案为：≤x＜6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）化简：（）•（x+4）＝ 1 ．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再算乘法即可．
【解答】解：（）•（x+4）
＝•（x+4）
＝•（x+4）
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N．若四边形AMON的面积为12，则k的值是 ﹣12 ．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝12，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：∵四边形AMON的面积为12，
∴|k|＝12，
∵反比例函数图象在二四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数函数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．（3分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）]•（x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
16．（3分）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 或 ．
【分析】结合勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，通过证明△GBM∽△BCA，△AGH∽△ABD，然后利用相似三角形的性质求解，注意对于点C的位置要进行分类讨论．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，
∵l∥BC，
∴，∠MGB＝∠ABC，
又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即，
解得：BM＝，
∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA，
∴，
∴，
解得：GB＝，
∴AG＝AB﹣GB＝，
∵l∥BC，
∴△AGH∽△ABD1，
∴，
∵CD1＝1，
∴BD1＝BC﹣CD1＝3，
∴，
解得：GH＝；
②当点D位于C点右侧时，如图：
与①同理，此时CD2＝BC+CD1＝5，
∴，
解得：GH＝，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出△GBM∽△BCA，特别注意分类思想的运用是解题关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2
＝1﹣3×+﹣1+4
＝1﹣+﹣1+4
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 ．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据BM＝BC，DN＝DC，可得BM＝DN，利用SAS即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明△AND∽△ENC，根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝BC，DN＝DC，
∴BM＝DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠DAN＝∠CEN，
∵∠AND＝∠CNE，
∴△AND∽△ENC，
∴＝，
∵DN＝DC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∵BM＝BC，
∴MC＝BC＝1，
∴ME＝MC+CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到△AND∽△ENC是关键．
19．（8分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20．（8分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 80 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是 36 度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【分析】（1）根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据D等级的人数以及抽取的学生数计算出D等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
【解答】解：（1）32÷40%＝80（名），
故答案为：80；
（2）B等级的学生为：80×20%＝16（名），
补全条形图如下，
（3）D等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝36°；
（4）2000×＝600（名），
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
21．（8分）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【分析】设增加了x行，则增加的列数为x，用增加后的总人数﹣原队伍的总人数＝51列出方程求解即可．
【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理，得：x2+14x﹣51＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），
答：增加了3行3列．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
五、解答题（本题10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 ．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠CAD+∠BAC＝90°，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的判定可得CE＝CA＝CD＝5，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠DEA，
∴CE＝CA＝CD＝5，
∴DE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12，
∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴＝，
即＝，
解得，AD＝．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝ ﹣3 ，点A的坐标是（ 5 ， 0 ）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 12 ．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出AD点坐标，根据CD＝OA，CD∥OA，即可证四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积；
②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝5，
∴A（5.0），
故答案为：﹣3，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝8，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝5，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，
∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣3）2+（m﹣6）2，DH2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，
由勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）2＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8，
∴S△CPQ＝PQ•CH＝×8×3＝12，
故答案为：12；
②∵OD＝10，
当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤5时，10﹣2t＝2，
解得t＝5﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，
解得t＝5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
七、解答题（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ 180°﹣2α ，∠ABP＝ α （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接BD．证明∠PBC＝∠CDE＝α，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，设BP交AC于J．图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得GM＝PB，求出PB，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵CE＝CD，
∴∠D＝∠E＝α，
∴∠ECD＝180°﹣2α，
∴∠ECB＝∠E+∠D＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠D＝α，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBD＝α，
故答案为：180°﹣2α，α．
（2）证明：如图2中，连接BD．
∵CB＝CD，PB＝PD，
∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，
∴∠PBC＝∠PDC＝α，
∵∠ABC＝2α，
∴∠ABP＝∠PBC＝α，
∴PB平分∠ABC．
（3）解：如图3﹣1中，设BP交AC于J．
∵BP⊥PD，BP＝PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB＝CD，PB＝PD，
∴PG垂直平分线段BG，
∴BG＝DG，
∵PM＝MD，
∴GM＝PB，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，△ACB是等边三角形，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝30°，
∴∠PBC＝∠PDC＝30°，
∴∠BJC＝90°，
∴CJ＝BC＝，BJ＝CJ＝，
∵∠CPD＝∠CPJ＝45°，
∴PJ＝JC＝，
∴PB＝BJ+PJ＝+2，
∴GM＝．
如图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，同法可证GM＝PB．
∵∠PBC＝30°，∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝45°，
∴PCB＝∠PCD＝15°，
∴∠KCE＝120°﹣15°﹣15°＝90°，
∵∠E＝30°，CE＝CB＝+1，
∴CK＝＝1+，
∴KB＝BC﹣CK＝，
∴PB＝BK•cs30°＝×＝1，
∴GM＝PB＝，
综上所述，GM的长为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本题12分）
25．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得；
（2）①求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S△QAB＝2S△PCD求得；
②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F的坐标，从而求得GF．
【解答】解（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，
作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，
∴AB•|3﹣a|＝2，
∴×4•|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
②如图2，
设G（m，m﹣），
由AG2＝AQ2得，
（m+1）2+＝（2+1）2+12，
化简，得
5m2+2m﹣16＝0，
∴m1＝﹣2，m2＝，
∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），
作QH⊥AB于H，
∵AQ⊥QF，
∴△AHQ∽△QHM，
∴QH2＝AH•HM，
即：12＝3•HM，
∴HM＝，
∴M（，0），
设直线QM是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣3，b＝7，
∴y＝﹣3x+7，
由得，
x＝，y＝﹣
∴F（，﹣）
∴G1F＝＝，
G2F＝＝．
【点评】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/7 11:07:27；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）