2021年辽宁省阜新市中考数学试卷

这是一份2021年辽宁省阜新市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算：3+（﹣1），其结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0
6．（3分）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°
8．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
9．（3分）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）

A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
10．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）

A．2020π B．1010π+2020 C．2021π D．1011π+2020
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1＝　 　．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为 　 　°．

13．（3分）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 　 　．

14．（3分）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 　 　m（结果精确到1m，≈1.7）．

15．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　 　．

16．（3分）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 　 　h才能追上七（1）班．

三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
18．（8分）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　 　点顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度（用α表示），可以得到图形G2．
19．（8分）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　 　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？
20．（8分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
21．（10分）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算：3+（﹣1），其结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根据有理数加法的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：3+（﹣1）＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
2．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可．
【解答】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的左视图，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
3．（3分）在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前7名进入决赛，共有15个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示解集即可．
【解答】解：解不等式2﹣2x≤4，得：x≥﹣1，
解不等式x+1＞3，得：x＞2，
则不等式组的解集在数轴上的表示如下：

故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示解集是解答此题的关键．
5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2确定A和B所在的象限，即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数性质，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．（3分）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解．
【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意即可列出方程：100（1+x）2＝121．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，为增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．（3分）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（　　）

A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
【分析】因为图象开口方向向上，所以a＞0，故A错误，因为图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），所以B点坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴B点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
10．（3分）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0，2）．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是（　　）

A．2020π B．1010π+2020 C．2021π D．1011π+2020
【分析】由题知，圆心的运动轨迹是一段线段和四分之一圆弧循环出现组成的图形，根据循环规律计算出横坐标即可．
【解答】解：由题知，图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，
即4π，
2021π÷4π＝505（圈），
即当圆心经过的路径长为2021π时，图形旋转了505圈，
∵图形每旋转一圈横坐标增加2π+4，
∴当图形旋转505圈时的横坐标为（2π+4）×505＝1010π+2020，
再转圈横坐标增加×4π＝π，
∴当圆心经过的路径长为2021π时，圆心的横坐标是1010π+2020+π＝1011π+2020，
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，掌握圆心运动路径的变化规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：﹣（）﹣1＝　1　．
【分析】原式利用算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为 　60　°．

【分析】根据两直线平行，可以得出内错角相等，∠1＝∠FEC，由EG平分∠CEF，角平分线的性质得，∠CEF＝2∠GEF，故可以得出∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FEC，
∵EG平分∠CEF，∠GEF＝30°，
∴∠CEF＝2∠GEF＝2×30°＝60°，
∴∠1＝60°，
故答案为60．
【点评】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质．
13．（3分）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 　2：1　．

【分析】根据题意构造直角三角形并根据其各边的长度证明△ABM∽△EDN，从而推出AB∥EN，再利用平行线的性质得到∠BAC＝∠EDC，进而推出△ABC∽△CDE，则两三角形的周长之比就是两三角形的相似比．
【解答】解：如图，

分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，
则∠AMB＝∠END＝90°，
∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，
∴，
∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM＝∠EDN，＝2，
∴AB∥EN，
∴∠BAC＝∠EDC，
又∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．
故答案为：2：1．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形推出AB∥EN，再利用相似三角形的性质求解．
14．（3分）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 　57　m（结果精确到1m，≈1.7）．

【分析】在△ACE中，根据∠E＝90°，∠CAE＝30°，EC＝15米，求出AC、AE的长度，然后在△ADE中求出DE的长度，继而可求出CD的高度．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
则AB＝CE，
在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米，
∴AC＝21×2＝42（米），
∴AE＝＝＝21≈35.7（米），
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝35.7米，
∴乙楼DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．
答：乙楼的高约为57米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
15．（3分）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　6.8　．

【分析】由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根据勾股定理计算出x的值即可．
【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案为：6.8．
【点评】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当D点与E点重合时GH最长时解题的关键．
16．（3分）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了h第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 　2　h才能追上七（1）班．

【分析】设七（2）班的速度为xkm/h，根据图象求出七（1）班、七（2）班和联络员的速度，设七（2）班需要ah才能追上七（1）班，列出方程6a＝4（a+1）求解即可．
【解答】解：由图可知：
七（1）班的速度为4÷1＝4（km/h），
联络员的速度为：4×（1+）÷＝12（km/h），
设七（2）班的速度为xkm/h，
则12×+x＝2×[4×﹣4×（﹣）]，
解得x＝6，即七（2）班的速度为6km/h，
设七（2）班需要ah才能追上七（1）班，
则6a＝4（a+1），
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出七（2）班的速度．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　O　点顺时针旋转 　180　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　（0，1）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　90　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　（，）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　2α　度（用α表示），可以得到图形G2．
【分析】（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2；
（2）根据题意画出G1，G2，根据图形写出旋转中心和旋转角度即可；
（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，则直线l1直线l2的交点即为旋转中心，顺时针旋转度数为夹角的2倍．
【解答】解：（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2，
故答案为：O，180；
（2）G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2，如图2所示，
∵图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交于点（0，1），
∴图形G1绕（0，1）点顺时针旋转90度，可以得到图形G2，
即答案为：G1，G2如图2；（0，1），90；
（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，
则直线l1与直线l2的交点即为图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交点，
即旋转中心，
∴，
解得，
∴图形G1绕点（，）旋转可以得到图形G2，
如图3，设A点，点A'，点A“分别是在图形G，G1，G2上的对应点，
设旋转中心为P，则∠A'PA“即为旋转角，
连接AP，A'P，A“P，
∵两直线之间的夹角为α，
由图象的对称性可知，∠APA'+∠APA“＝180°﹣α，
∴∠A'PA“＝360°﹣2（∠APA'+∠APA“）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，
故答案为：（，），2α．


【点评】本题主要考查图形的旋转和对称及直角坐标系的知识，根据图形确定旋转中心和旋转角度是解题的关键．
19．（8分）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　150　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？
【分析】（1）由A选项人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数减去A、B、D选项的人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中A、B选项人数所占比例即可．
【解答】解：（1）参与这次学校调查的学生家长共30÷20%＝150（人），
故答案为：150；
（2）C选项人数为：150﹣30﹣54﹣24＝42（人），
补全图形如下：


（3）×2000＝1120（人），
答：估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有1120人．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【分析】（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，由题意：甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：＝3，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，
根据题意得：1000y+×500≤18000，
解这个不等式，得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式．
21．（10分）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．则∠DAE＝∠C＝90°，利用SAS证明△DAE≌△DCF（SAS），根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）作EH∥BC交AC于点H，根据正方形的性质可得AE＝EH＝CF，证明△EHG≌△FCG（AAS），可得EG＝GF．由（1）同理可得 DE＝DF，根据等腰三角形三线合一的性质可得DG⊥EF；
（3）分三种情况：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，③当点E在线段AB的延长线上时，根据正方形以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠C＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）证明：作EH∥BC交AC于点H，如图3．

∴∠EHG＝∠FCG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAH＝∠AHE．
∴AE＝EH，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF．
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EHG≌△FCG（AAS），
∴EG＝GF．
由（1）同理可得 DE＝DF，
∴DG⊥EF；
（3）解：①当点E在线段AB上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠2＝45°，
∴∠1＝45°﹣∠3，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，
∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝45°﹣∠3＝α，
∵∠DGO＝∠ACD+∠1，
∴∠DGO＝α+45°；
②当点E在线段BA的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，
∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠1＝∠2＝135°﹣α，
∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；
③当点E在线段AB的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDE＝∠DEG＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，
∵∠CFE﹣∠2＝45°，
∴∠CFE＝∠1＝α，
∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，
∴∠DGO＝45°﹣α．
综上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得出DE＝DF，利用等腰直角三角形的性质求解，属于中考压轴题．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），可得出PE＝﹣m2+m+1，再通过解方程组求出点C的坐标为（，﹣），利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；
（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，证明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM＝NH，OG＝OH，建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD–DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（−m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴或，
解得：t1＝，t2＝，t3＝0（舍），t4＝（舍），
∴M3，M4 ；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4 ．



【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键．
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