2021年江苏省常州市中考数学试卷

这是一份2021年江苏省常州市中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（2分）计算（m2）3的结果是（　　）
A．m5 B．m6 C．m8 D．m9
3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
4．（2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（　　）

A．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（2分）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
8．（2分）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）化简：＝　 　．
10．（2分）计算：2a2﹣（a2+2）＝　 　．
11．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝　 　．
12．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为 　 　．
13．（2分）数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，则点 　 　离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 　 　．

15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　 　°．

16．（2分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 　 　．

17．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝　 　．

18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

22．（8分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 　 　；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
23．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 　 　．

24．（8分）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

26．（10分）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　 　；当m＝3，n＝3时，l＝　 　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　 　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　 　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．


2021年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：的倒数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（2分）计算（m2）3的结果是（　　）
A．m5 B．m6 C．m8 D．m9
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．
【解答】解：（m2）3＝m2×3＝m6．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：一个几何体的三视图都是圆，这个几何体是球．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
4．（2分）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（　　）

A．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
【解答】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
5．（2分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
【解答】解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2分）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【解答】解：A．∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
B．∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
C．∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，
∴落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
D．∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，
∴落在阴影区域的概率为：＝，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．（2分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
8．（2分）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图分析得出y2随t变化的规律即可求出答案．
【解答】解：由商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，
∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）化简：＝　3　．
【分析】33＝27，根据立方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵33＝27，
∴；
故答案为：3．
【点评】本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键．
10．（2分）计算：2a2﹣（a2+2）＝　a2﹣2　．
【分析】整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简．
【解答】解：原式＝2a2﹣a2﹣2＝a2﹣2，
故答案为：a2﹣2．
【点评】本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础．
11．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝　（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．（2分）近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为 　8.19×105　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：819000＝8.19×105．
故答案是：8.19×105．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
13．（2分）数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，则点 　 　离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
【分析】利用数轴，我们把数和点对应起来，根据绝对值越小离原点越近解题即可．
【解答】解：数轴上的点A、B分别表示﹣3、2，
∵|﹣3|＝3，|2|＝2，3＞2，
∴则点B离原点的距离较近．
故答案为：B．
【点评】本题考查了有理数大小比较，理解绝对值的含义，利用数形结合思想解题是关键．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 　（3，0）　．

【分析】根据平行四边形的性质得到OA＝BC，然后根据BC的长求得OA的长，从而确定点A的坐标即可．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝3，
∴OA＝BC＝3，
∵点A在x轴上，
∴点A的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的对边相等得到OA的长，难度不大．
15．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　100　°．

【分析】利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵DE∥AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°和两直线平行，同旁内角互补．
16．（2分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 　12　．

【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝3，
∴BC＝GH＝3+3＝6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
∴S△ABC＝×6×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
17．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝　　．

【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．
【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，

∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AD＝2，BE＝3，
∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，
设BG＝x，
∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，
∴FG＝＝1，
∴sin∠FBA＝＝．
故答案为：．
【点评】此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　＜AD＜2　．

【分析】设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边BC相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，
①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，
如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；

当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，

设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r，
∵EF⊥BC，∠B＝30°，
∴BF＝2EF＝2r，
∴r+2r＝2，解得r＝；
∴AD＝2r＝；
综上，AD的长的取值范围为：＜AD＜2．
故答案为：＜AD＜2．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；找到临界状态即以AD为直径的圆与BC相切，是本题解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）计算：﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣1+
＝．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、算术平方根、有理数的乘方运算等知识，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①+②，得：3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得：1+y＝0，
解得y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2）解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣2＜﹣x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　100　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

【分析】（1）根据较多了解的人数是55人，占总人数的55%，即可求得本次调查的样本容量；
（2）求出完全了解、较少了解的人数，据此补全条形统计图；
（3）根据完全了解的居民人数所占的百分比计算出该小区对垃圾分类知识完全了解的居民人数．
【解答】解：（1）55÷55%＝100，
故答案为：100；
（2）完全了解的人数为：100×30%＝30（人），
较少了解的人数为：100﹣30﹣55﹣5＝10（人），
补全条形统计图如下：

（3）估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%＝600（人），
答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人．
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（8分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 　　；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，
∴四边形ABCD一定是正方形的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，正方形的判定、菱形的性质等知识；熟练掌握正方形的判定和菱形的性质，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 　平行　．

【分析】（1）根据等式的性质得出BC＝EF，利用平行线的性质得出∠ABC＝∠DEF，进而利用SAS证明△ABC≌△DEF即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）①如图所示，△A′BC即为所求：

②直线A′D与l的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等解答．
24．（8分）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，根据“20吨水可以比原来多用5天”列出方程并解答．
【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，
根据题意，得﹣＝5．
解得x＝2．
经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点A（﹣4，0），AB＝2BC．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

【分析】（1）由点A（﹣4，0）在一次函数y＝x+b的图象上，代入求得b＝2，作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据三角形的面积公式代入计算即可．
【解答】解：（1）作CD⊥y轴于D，
则△ABO∽△CBD，
∴，
∵AB＝2BC，
∴AO＝2CD，
∵点A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴CD＝2，
∵点A（﹣4，0）在一次函数y＝x+b的图象上，
∴b＝2，
∴，
当x＝2时，y＝＝3，
∴C（2，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6；

（2）作CE⊥x轴于E，
S△AOC＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，求出C的坐标是解题的关键．
26．（10分）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　＞　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　　；当m＝3，n＝3时，l＝　1　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　1　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）①根据m，n的值代入计算即可．
②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），根据反比例函数k的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，

∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC＝AB＝（a+b），

②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，
∴a+b＞2，
故答案为：＞．

（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，
故答案为：，1．

②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），

∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴•≥1，
即l≥1，
∴l的最小值为1．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义，属于中考压轴题．
27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．
（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　（﹣2，0）　；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）①根据关联点的定义判断即可．
②构造等腰直角三角形PTM，可得结论．
（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，分别求出四种特殊位置的m的值可得结论．
（3）由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．分两种情形，构造全等三角形，利用全等三角形的性质构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，

①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，
∵M（﹣2，0），B（2，0），
∴OT＝OM＝OB＝2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，
故答案为：B．
②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，
∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，
∴∠MTO＝∠TQH，
∵TM＝TQ，
∴△MOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，
∴﹣2m+1＝2﹣m，
∴m＝﹣1．

如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），
∴QH＝TO＝m，TH＝OM＝1，
∴1﹣2m+1＝m，
∴m＝．

如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，
解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．
综上所述，满足条件的m的值为﹣2≤m≤0或≤m≤1．
（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，
∴∠HTQ＝∠GET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EGT（AAS），
∴QH＝TG＝﹣t，TH＝EG＝4，
∵OH＝﹣2t+1，OG＝2，
∴﹣2t+1﹣4＝2+t，
∴t＝﹣，
∴Q（﹣，）．

如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，
∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，
∴∠HTQ＝∠GET，
∵TQ＝TE，
∴△THQ≌△EGT（AAS），
∴QH＝TG＝t，TH＝EG＝4，
∵OH＝2t﹣1，OG＝2，
∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，
∴t＝3，
∴Q（3，﹣5）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣，）或（3，﹣5）．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，A、A′两点互相关联的定义等知识，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1　；
（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S▱DEGF，求OD的长．

【分析】（1）利用待定系数法可得结论．
（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．证明EF＝ED，推出PF＝PD，求出点D，F的坐标，点E的纵坐标，构建方程可得结论．
（3）如图2中，首先判断点D只能在第一象限，设PF交AB于J，再证明DP＝2PE，推出DJ＝2JA，用t表示出OD，DJ，JA的长，构建方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），
∴3＝﹣×42+4b+3，
∴b＝1，
故答案为：，1．

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．

∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝5，
∴AC＝OA•tan∠AOC＝，OC＝AC×＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴点E的纵坐标为3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍弃）．
∴满足条件的t的值为．

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，
∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，
整理得9t2﹣59t+92＝0，
解得t＝或4（舍弃），
∴OD＝t＝．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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