2019-2020学年河南省焦作市武陟县八年级（上）第一次质检数学试卷

这是一份2019-2020学年河南省焦作市武陟县八年级（上）第一次质检数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年河南省焦作市武陟县八年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入答题卡内。
1．（3分）用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
3．（3分）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ABC等于（　　）

A．40° B．75° C．35° D．85°
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．140° B．180° C．250° D．360°
5．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
6．（3分）如图，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是（　　）

A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
8．（3分）如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．无法确定
10．（3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和为1800°，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线有 　 　条．
12．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为　 　．
13．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　．

14．（3分）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　 　cm．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．

17．（9分）如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACB＝78°，求∠CDB的度数．

18．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO＝DO．

19．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE+CF＞EF．

20．（10分）证明：如果两个锐角三角形有两边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．
21．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．

22．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动的时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

23．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF（提示：在AB上截取BH＝BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．
（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？说明理由．
（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变．结论“AE＝EF”是否成立？说明理由．


2019-2020学年河南省焦作市武陟县八年级（上）第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入答题卡内。
1．（3分）用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】确定出摆法，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断．
【解答】解：①5，7，9时，能摆成三角形；
②5，7，13时，∵5+7＝12＜13，
∴不能摆成三角形；
③5，9，13时，能摆成三角形；
④7，9，13时，能摆成三角形；
所以，可以摆出不同的三角形的个数为3个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，难点在于按照一定的顺序确定出摆放的方法，方能做到不重不漏．
2．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；
B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；
C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；
D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
3．（3分）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ABC等于（　　）

A．40° B．75° C．35° D．85°
【分析】根据方向角的定义和平行线的性质可得结果．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，
故选：C．

【点评】本题主要考查了方向角，根据图正确找出各角之间的关系再计算是解答此题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．140° B．180° C．250° D．360°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解答本题的关键是掌握三角形内角和是180°，本题也可用外角的性质求解．
5．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．

【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
6．（3分）如图，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是（　　）

A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D
【分析】先求出∠ACB＝∠DCE，再根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
A、根据BC＝CE，AB＝DE，∠ACB＝∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项正确；
B、因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，BC＝CE，所以符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
C、因为BC＝CE，∠ACB＝∠DCE，AC＝CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
D、因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，BC＝CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，难度适中．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【分析】由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E＝∠ABE，则AB＝AE．同理可得，AD＝AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故选：A．
【点评】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（3分）如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠EAB＝∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC＝AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形全等，也不能用其它方法证出CD＝DN．
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB＝180°，∠F+∠C+∠FAC＝180°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣CAB＝∠FAC﹣∠CAB，
即∠1＝∠2，∴①正确；
在△EAB和△FAC中
，
∴△EAB≌△FAC，
∴BE＝CF，AC＝AB，∴②正确；
在△ACN和△ABM中
，
∴△ACN≌△ABM，∴③正确；
∵根据已知不能推出CD＝DN，∴④错误；
∴正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，难度适中．
9．（3分）如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．无法确定
【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，
∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠B+∠C+∠A）＝360°，
故选：C．
【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识．
10．（3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
【解答】解：∵S△ABC＝12，
EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝＝4，
S△ABD＝＝6，
∴S△ABD﹣S△ABE，
＝S△ADF﹣S△BEF，
＝6﹣4，
＝2．
故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和为1800°，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线有 　9　条．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1800，
解得x＝12，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：12﹣3＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180°（n﹣2）．
12．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为　120°　．
【分析】根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【解答】解：∵α＝20°，
∴β＝2α＝40°，
∴最大内角的度数＝180°﹣20°﹣40°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
13．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　∠B＝∠C　．

【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：∠B＝∠C，
理由是：∵在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
14．（3分）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是　150米　．

【分析】根据题意判断出小华走过的路线图形是正多边形，用360°除以24°求出多边形的边数，再根据多边形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，小华走过的路线图形是正多边形，
360°÷24°＝15，
15×10＝150米，
所以，一共走的路程是150米．
故答案为：150米．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，判断出走过的路线图形是正多边形并利用多边形的外角和定理求出边数是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　7　cm．

【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD＝CE，BD＝AE，所以DE＝BD+CE＝4+3＝7cm．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．
故填7．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．

【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠EDC的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝25°．
【点评】考查了平行线的性质和角平分线的定义，这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
17．（9分）如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACB＝78°，求∠CDB的度数．

【分析】根据三角形的内角和定理得到∠3＝∠1+∠2，等量代换得到∠4＝∠3＝2∠1，根据三角形的内角和定理列方程即可得到答案．
【解答】解：∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠3＝2∠1，
∵∠1+∠4+∠ACB＝180°，
∴∠1+2∠1+78°＝180°，
∴∠1＝34°，
∴∠CDB＝2∠1＝68°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形的内角和等于180°列方程是解题的关键．
18．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO＝DO．

【分析】（1）根据ASA定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，证明△ABO≌△ADO，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC；
（2）∵△ABC≌△ADC，
∴AB＝AD，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO，
∴BO＝DO．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE+CF＞EF．

【分析】延长ED，使DG＝DE，连接CG、FG，可证△BDE≌△CDG，可得BE＝CG、EF＝FG，即可证明BE+CF＞EF．
【解答】解：延长ED，使DG＝DE，连接CG、FG，

∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，EF＝FG，
∵CG+CF＞FG，
∴BE+CF＞EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中证明△BDE≌△CDG是解题的关键．
20．（10分）证明：如果两个锐角三角形有两边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．
【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt△ADB≌Rt△A′D′B′以及∠B＝∠B′进而得出△ABC≌△A′B′C′．
【解答】解：已知：如图，锐角△ABC与锐角△A′B′C′，BC＝B′C′，AB＝A′B′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，且AD＝A′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．

证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），
∴∠B＝∠B′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
21．（8分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．

【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据条件恰当的选择判定三角形全等的方法是正确解决本题的关键．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动的时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

【分析】若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，BP＝CQ，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，则可得出PC＝BD，列出方程可得出答案．
若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，根据全等三角形的性质得出BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，则可得出答案．
【解答】解：若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则BP＝CQ，
∵AB＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝5（cm）．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
若△BPD≌△CQP，
∴PC＝BD，
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝（8﹣3t）（cm），
∴8﹣3t＝5，
∴t＝1，
此时Q的速度为每秒3cm；
若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP与CQ不是对应边，
即BP≠CQ，
∴若△BPD≌△CPQ，且∠B＝∠C，
则BP＝PC＝4（cm），CQ＝BD＝5（cm），
∴点P，点Q运动的时间t＝（s），
∴点Q的运动速度＝＝（cm/s）；
当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
综上所述，当t＝1，Q的速度为每秒3cm或t＝，Q点的速度为每秒时，△BPD与△CQP全等．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
23．（12分）如图1，四边形ABCD是正方形，AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF（提示：在AB上截取BH＝BE，连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．
（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立吗？说明理由．
（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变．结论“AE＝EF”是否成立？说明理由．

【分析】（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，得△BHE是等腰直角三角形，从而∠AHE＝∠ECF，再通过ASA证明△AHE≌△ECF，得AE＝EF；
（2）由（1）同理可证；
（3）延长BA到H，使BH＝BE，连接HE，类比（1）中证明方法，通过ASA证明△AHE≌△ECF，得AE＝EF．
【解答】证明：（1）如图1，在AB上截取BH＝BE，连接HE，

∵AB＝BC，
∴AH＝EC，
∵∠B＝90°，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CEF＝∠BAE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）AE＝EF仍成立，理由如下：
如图，在AB上截取BH＝BE，连接HE，

∵AB＝BC，
∴AH＝EC，
∵∠B＝90°，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CEF＝∠BAE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）AE＝EF仍成立，理由如下：
如图，延长BA到H，使BH＝BE，连接HE，

∵AB＝BC，
∴AH＝EC，
∵∠B＝90°，
∴∠H＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠ECF＝45°，
∴∠ECF＝∠H，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠GEF＝∠BAE，
∵∠HAE+∠BAE＝180°，∠CEF+∠GEF＝180°，
∴∠HAE＝∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形性质的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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