初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定学案及答案

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知识梳理
1. 矩形的定义：有一个角是 的 四边形叫矩形.
2. 矩形的性质：
（1）边：对边 且 。
（2）角：四个角都是 。
（3）对角线互相 且 。
（4）直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的 。
【类型一】矩形的定义
1.下列说法正确的是（ ）。
A. 平行四边形是矩形
B. 矩形不一定是平行四边形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 平行四边形具有的性质矩形都有
【类型二】矩形的边、角性质
1. （折叠是重点）如图，在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O。若AO=5cm,则AB的长为 。
2. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=1，则AB的长是（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 23
3.矩形两条对角线的夹角为60°，且两对角线与两短边的总长为24cm，则矩形的面积是
cm2。
【类型三】矩形对角线的性质（与菱形区分开）
1. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )。
A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F。若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为 。
【类型四】直角三角形斜边中线的性质（重点，易忘）
1. 如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，CD⟂AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=ɑ，则AB的长为（ ）。
A. 2ɑ B. 22ɑ C. 3ɑ D. 433ɑ
第1题图 第2题图
2. 如图，在∆ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⟂AC，AF⟂BC,则∠EFC的度数为（ ）。
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
能力提升（各区原题：重难点）
练1. （2019青岛二模）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）。
A. 5 B. 4 C. 342 D. 34
练2.（2019青岛市北区期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（ ）。
A. 4 B. 33 C. 5 D. 52
练2图 练3图
练3.（2020青岛市北区模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°，则∠AOE的度数为（ ）。
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
练4.（2019青岛模拟,“8”字全等）如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⟂AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF。若AB=23，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）。
A. 4 B. 6 C. 3 D. 23
练5.（2019青岛城阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为对角线BD上一点，且BE=3DE，CE⟂BD于点E，则BC= 。
矩形的判定
知识梳理
1. 矩形的判定
（1）一个角：有一个角是 的平行四边形是矩形。
（2）对角线：对角线 的平行四边形是矩形。
（3）三个角：有三个角是直角的 是矩形。
【类型一】矩形的常见判定方法归纳
1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）。
A. AB=BC B. AC⟂BD C. ∠ABC=90° D. ∠1=∠2
2. 下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）。
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分且垂直 D. 对角线互相平分且相等
【类型二】利用对角线的关系判定矩形
1. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O。且AO=CO，AB∥CD。
（1）求证：AB=CD
（2）若∠OAB=∠OBA，求证：四边形ABCD是矩形。
【类型三】有三个角是直角的四边形是矩形
1.如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，E，F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（ ）。
A. ∠ACD=∠BCD B. AD=BD C. CD⟂AB D. CD=AC
能力提升
练1. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分∆AFC的面积为（ ）。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
练1图 练2图
练2.（2019临沂中考）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN使矩形，这个条件是（ ）。
A. ∠AMB=∠CND B. MB=MO C. BD⟂AC D. OM=12AC
练3. （2019青岛崂山区期中）如图，在∆ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）。
A. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
B. BD=CD，则四边形AEDF是菱形
C. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D. 若AD⟂BC，则四边形AEDF是矩形
练4.（2018青岛市北区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⟂BD，垂足为E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）。
A. 20° B. 22.5° C. 27.5° D. 30°
练5.（2019青岛市北区期末）如图所示，在∆ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作BC的平分线交CE的延长线于点F，连接BF。
（1）判断并证明四边形AFBD的形状。
（2）当∆ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并证明你的结论。
答案：
矩形的性质
知识梳理
1. 直角；平行 2.(1)平行；相等 （2)直角 （3）平分；相等 （4）一半
【类型一】1. D
【类型二】1. 8cm 2.C 3.163
【类型三】1.C 2.3
【类型四】1.B 2.B
能力提升 练1. 10 练2.B 练3.B 练4.A 练5.23
矩形的判定
知识梳理
1.矩形的判定
（1）直角 （2）相等 （3）四边形
【类型一】1. C 2.D
【类型二】1.
【类型三】1.B
能力提升 练1. C 练2.D 练3.A 练4.B
练5.