2020-2021学年山东师大附中高一（上）期中数学试题含解析

2020-2021学年山东师大附中高一（上）期中试题

数学

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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1．如果集合，，，那么（    ）

A． B． C． D．

2．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（    ）

A．定义域为 B．在其定义域内为减函数

C．是偶函数 D．是奇函数

3．若不等式的解集，则值是　　

A．0 B． C．1 D．2

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知条件，条件，则q是p的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．设函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ）

A．0 B．m C． D．

9．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列函数中，最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

11．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．对于任意实数a，

B．对于任意实数a，函数图象为轴对称图形

C．存在实数a，使得在单调递减

D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为

第II卷（非选择题）

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13．命题“，”的否定为___________.

14．设为上的奇函数，且当时，，则___________.

15．已知二次函数，能说明“若，则在上单调递增”为假命题的一个函数解析式是___________.

16．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围是___________.

17．已知集合，集合.设全集.

（1）求A，B，；

（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.

18．求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

19．已知函数.

（1）判断并用定义证明函数的奇偶性；

（2）判断并用定义证明函数在的单调性.

20．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值；

（3）设，，，求最小值.

21．山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略.济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本1000万元，每生产产品x(百件)，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每件产品售价6万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完.

（1）求年利润(万元)关于年产量x(百件)的函数解析式.(利润销售额成本)

（2）年产量x为多少(百件)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求函数的解析式；

（2）已知，若对任意的，任意，不等式成立，求实数k的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

首先求，再求.

【详解】

因为集合，，

所以,，

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查集合的交并补集，属于基础题型.

2．A

【分析】

设出幂函数，通过幂函数经过的点求解参数，得到解析式，再判断函数的定义域、奇偶性和单调性即可.

【详解】

设幂函数为，因为幂函数图象过点，所以，解得，

所以幂函数的解析式为.

该函数定义域为，是非奇非偶函数，故A正确，C，D错误；在其定义域内为增函数，故B错误.

故选：A.

3．A

【分析】

由不等式的解集是，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出a，b，即可得到答案．

【详解】

由题意，可得不等式的解集是，

所以是方程的两个根，

所以可得，，

解得，，所以，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值，注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

4．A

【分析】

分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当时，即可确定大概函数图象.

【详解】

根据题意，设，其定义域为，有，则为奇函数，其图象关于原点对称，排除C､D，

当时，，，必有，排除B，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象.

5．B

【分析】

解不等式，根据集合的包含关系，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

解：，，

由，

故q是p的必要不充分条件，

故选：B.

6．D

【分析】

分别化简为同底的指数形式，根据指数函数的单调性可得结果.

【详解】

，

因为函数在定义域上为单调递增函数，

所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查指数式的化简以及指数函数的单调性，属于基础题.

7．C

【分析】

先得到函数的单调性，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集.

【详解】

函数的图象如图，

显然函数在上单调递减，

，

，

解得.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，利用函数的单调性解函数值不等式是关键，是基础题.

8．B

【分析】

根据题意，分析可得两个函数的图象都关于直线对称，则两个函数图象的交点也关于直线对称，据此分析可得答案.

【详解】

由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，

所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.

故选：B.

【点睛】

结论点睛：如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；

如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.

9．AC

【分析】

选项A先判断，再判断，最后判断选项A正确；选项B先判断，再判断，最后判断选项B错误；选项C先判断，再判断，最后判断选项C正确；选项D直接举反例当，时，此时，，判断选项D错误.

【详解】

解：选项A：因为，所以，不等式两侧同时乘以，所以，故A正确；

选项B：因为，所以，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B错误；

选项C：因为，所以，根据不等式的同向可加性知，故C正确；

选项D：当，时，此时，，故D错误.

故选：AC

【点睛】

本题考查利用不等式的性质判断数与式的大小关系，是基础题.

10．ABD

【分析】

直接利用二次函数的性质判定A的结论，利用基本不等式的应用判断B的结论，利用指数函数的性质判定C的结论，利用指数型函数的性质判定D的结论.

【详解】

解：对于A：，当时，等号成立，故A正确；

对于B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C：，由于，所以，不能取等号，故C错误；

对于D：，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：ABD.

11．ACD

【分析】

由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．

【详解】

对于A，，，，正确；

对于B，，，，错误；

对于C，在定义域中单调递增，，正确；

对于D，，又，则，正确；

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

12．BCD

【分析】

原函数，可看作，的线性组合，由、的对称性、单调性等性质，判定各选项的正误.

【详解】

函数，设，，都关于直线对称，

A：当时，，，所以，当时，故A错误；

B： 由上知：关于对称，故B正确；

C：由函数的图象关于对称，且函数和函数都为开口方向向上的曲线，在上都是单调递减，故C正确；

D：由的图象关于对称，在上单调递减，在上单调递增，要使的解集为，即有：，得，故存在的数使成立，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：将原函数分为两个函数、的线性关系，由、的相关函数性质确定原函数的性质，进而判断各项的正误.

13．，

【分析】

利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为：，.

故答案为：，.

14．

【分析】

根据题意，由函数的解析式计算可得的值，结合函数的奇偶性分析可得答案.

【详解】

根据题意，当时，，则，

又由为奇函数，

则，

故答案为：.

15．（答案不唯一）

【分析】

写出一个满足条件的二次函数的解析式，得到在上不单调，得出命题是假命题即可.

【详解】

解：令，对称轴是，

根据对称性可知，在递减，在递增，

故“，则在上单调递增”是假命题，

故答案为：.

16．

【分析】

由题意可得，，在递增，分别讨论，，，，，结合的单调性，可得x的范围.

【详解】

函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，

可得，，在递增，

若时，成立；若，则成立；

若，即，可得，即有，可得；

若，则，，可得，解得；

若，则，，可得，解得，

综上可得，x的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题关键点是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了转化思想和分类讨论思想､运算能力和推理能力，属于基础题.

17．（1），，或；（2）.

【分析】

（1）根据集合的描述，解不等式得集合A、集合B，由补集的定义分析可得；

（2）根据题意，由子集的定义分析可得a的取值范围即可.

【详解】

（1）根据题意，，有，则，

，则，且或，

（2）根据题意，，集合，

若，必有，故a的取值范围为.

18．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）进行根式和分数指数幂的运算即可；

（2）进行对数的运算即可；

（3）进行对数的运算即可.

【详解】

（1）原式；

（2）原式；

（3）原式.

19．（1）为上的奇函数，证明见解析；（2）在上为减函数，证明见解析.

【分析】

（1）由函数的奇偶性的定义，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，再计算，与比较，可得结论；

（2）运用函数的单调性的定义，注意取值､作差和变形､定符号和下结论等步骤.

【详解】

（1）为上的奇函数，

理由：的定义域为，关于原点对称，

，所以为上的奇函数；

（2）在上为减函数，

理由：设任意的，，且，

，

因为，所以，因为，，所以，

所以，

即，即有，

则在上为减函数.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，解题的关键点是熟悉用定义法证明单调性的步骤，考查定义法的运用和运算能力，是一道基础题.

20．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）将原代数式变换为且，由基本不等式求最值即可；

（2）由，，根据二次函数性质求最值；

（3）由，，，且，应用基本不等式即可求最值.

【详解】

（1）由，则，当且仅当时，等号成立.

∴的最小值为3.

（2）已知，求，令，

原式，当，即时，最大值为.

（3）设，，，则当且仅当时，等号成立，

∴最小值为.

【点睛】

关键点点睛：

（1）变换已知关系式，应用基本不等式求最值；

（2）利用换元法，结合二次函数的性质求最值；

（3）应用基本不等式求最值.

21．（1）；（2）年产量x为60(百件)时，企业所获利润最大，最大利润是万元.

【分析】

（1）由“利润销售额成本”写出分段函数的解析式即可；

（2）利用配方法及函数的单调性求最值，取最大值中的最大者即得结论.

【详解】

解：（1）当时，；

当时，.

；

（2）当时，，

当时，万元；

当时，，

其中对勾，任取，则对应的函数值之差：，即，

故在上单调递增，故单调递减，.

年产量x为60(百件)时，企业所获利润最大，最大利润是万元.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据是定义域为的奇函数，则，，解方程可得a，b的值，从而可得函数的解析式；

（2）结合函数的奇偶性与单调性把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围.

【详解】

（1）是定义域为的奇函数，则，，

解得，，

此时，

，符合题意，

所以.

（2）因为，所以，

若对任意的，任意，不等式成立，

等价于若对任意的，不等式成立，

等价于若对任意的，不等式成立，

，

所以单调递减，

所以对任意的，，即，

所以，

解得.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，解题关键点是转化为一元二次不等式恒成立问题的解决策略，属于中档题.