第四节　二次函数与幂函数课件PPT

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学习要求:1.通过具体实例,结合y=x,y= ,y=x2,y= ,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解 决简单问题.
1.二次函数(1)二次函数的定义形如①    f(x)=ax2+bx+c(a≠0)    的函数叫做二次函数.
(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
▶提醒　注意二次项系数对函数性质的影响,经常分二次项系数大于零与小 于零两种情况讨论.
2.幂函数(1)幂函数的定义形如⑦    y=xα    (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是⑧   自变量   ,α为⑨   常数   .(2)幂函数的性质(i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都经过点⑩    (0,0)    、(1,1);b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点     (1,1)    ;b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象
(4)五种常见幂函数的性质
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=2 是幂函数. (　　)(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(　　)(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. (　　)(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n]的最值一定是 . (　　)(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R不可能是偶函数. (　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点  ,则k+α= (　　)A. 　　　    B.1C. 　　　    D.2
3.(新教材人教A版必修第一册P91T2改编) 与 的大小关系是   <     .
4.若f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间 上为减函数,则a的取值范围是　[0,1]    .
5.若不等式ax2-x+a>0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是         .
考点一　幂函数的图象和性质
1.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(2,8),下列说法正确的是 (    　)A.函数y=xα的图象过原点　　　    B.函数y=xα是偶函数C.函数y=xα是单调减函数　　　    D.函数y=xα的值域为R
解析    因为幂函数y=xα的图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说法错误;函数y=x3在R上递增,所以C选项中说法错误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确.
2.已知幂函数y= (p,q∈N*,q>1且p,q互质)的图象如图所示,则 (　　)A.p,q均为奇数,且 >1B.q为偶数,p为奇数,且 >1C.q为奇数,p为偶数,且 >1
D.q为奇数,p为偶数,且0< <1
3.函数y= 的大致图象是 (　　) 
4.若a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是 (　　)A.a名师点评(1)对于幂函数图象的掌握只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分 为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1确定位置后,其 余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调 性进行比较.
考点二　求二次函数的解析式
典例1　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二 次函数的解析式.
名师点评求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下: 
　已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最 小值为1,则函数f(x)的解析式为    f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2 x+3    .
考点三　二次函数的图象和性质
角度一　二次函数图象的识别
典例2　一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图 象大致是 (　　) 
角度二　二次函数的单调性问题
典例3　已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
角度三　二次函数的最值问题
典例4　已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
名师点评(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析.“三点”中有一个 点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点; “一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合.三点是指区间两 个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,利用函数的单调性及分类讨 论的思想求解.
　设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.