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新课标2022版高考数学总复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文
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这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文，共60页。
学习要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义.3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性.4.会判断、应用简单函数的周期性.
f(-x)=-f(x)
2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 任何值时,都有⑤ ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函 数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1⇔f(x)为偶函数,其中f(x)≠0.(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1⇔f(x)为奇函数,其中f(x)≠0.
2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
3.函数周期性的常用结论对f(x)的定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)= ,则T=2a(a>0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. ( )(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. ( )(3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ( )
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)= -x的图象关于 ( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 ( )A.- B. C. D.-
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
5.(2019课标全国Ⅱ理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)= 8,则a= .
6.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)= 则f(a+1)的值为 .
解析 因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值为12+1+0=2.关键能力突破
考点一 函数的奇偶性
典例1 已知函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ( )A.3 B.0 C.-1 D.-2
典例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= ;(2)f(x)=lg2(1+4x)-x;(3)f(x)=lg2( -3x).
解析 (1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= = = =-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2(1+4-x)+x=lg2 +x=lg2(1+4x)-lg24x+x=lg2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2( +3x)=lg2 =-f(x),所以f(x)为奇函数.
1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先 考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式, 看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解 析式.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的 恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.
1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcs x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是 ( )
解析 设f(x)=xcs x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为 奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcs π+sin π=-π,排除B,故选A.
2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,则k+a+b= .
3.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)= + ;(3)f(x)=
解析 (1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= + = + , f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
考点二 函数的周期性
典例3 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020).
解析 (1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=……=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 020)=f(0)=0.
◆变式探究1 若原题中条件变为“f(x+2)= ”,求函数f(x)的最小正周期.
◆变式探究2 若原题中条件变为“f(x+2)=- ”,求函数f(x)的最小正周期.
◆变式探究3 在原题条件下,求f(x)(x∈[2,4])的解析式.
解析 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0].又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8.
方法技巧函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可得函数是周期函 数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在 解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数 的周期.
1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)= 则f(f(15))的值为 .
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时, f(x)=x3-x,则函数y =f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 .
解析 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.
解析 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7个交点.
考点三 函数性质的综合应用
角度一 函数的单调性与奇偶性的综合问题
典例4 (1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(1)=-1,若f(2x-1)≥-1,则x的 取值范围是 ( )A.(-∞,-1] B.[1,+∞)C.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)<0的解集为 .
角度二 函数的周期性与奇偶性的综合问题
典例5 (2018课标全国Ⅱ文,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数, 满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50 B.0C.2 D.50
角度三 函数的周期性与对称性的综合问题
典例6 已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈(-1,0]时, f(x)=2x,且f(x+1)的图 象关于原点对称,则f =( )A. B. C.- D.-
规律总结函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、 偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用函数的奇偶性 及周期性进行变换.(3)对称性与周期性的综合.解决此类问题时通常先利用周期性转化自变量所 在的区间,然后利用奇偶性求解.
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时, f(x)=4x-1,则f = ( )A.0 B.1 C.-1 D.-
2.已知f(x+2)是偶函数, f (x)在(-∞,2)上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 ( )A. ∪(2,+∞) B. C. D. ∪
解析 因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以由f(0)=0得 f(4)=0,又f(x)在(-∞,2)上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,当2-3x≥2即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<- ;当2-3x<2即x>0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x> ,综上所述, f(2-3x)>0的解集是 ∪ .
3.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于 点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .
解析 ∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)为奇函数.又∵f(x+2)=f(-x),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴y=f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(2 016)=f(504×4)=0, f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4, f(2 018)=f(504×4+2)=f(2) =-f(0)=0.故答案为4.
抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数 的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一 些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的 想象力以及灵活运用函数知识的能力.
微专题——抽象函数的性质及应用
角度一 抽象函数的单调性
典例1 (2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递 减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ( )A.[1,+∞) B.(-∞,1]C. ∪[1,+∞) D.
根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|) ⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.
典例2 (2019湖北武汉期末)若a= ,b= ,c=lg2 ,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有 <0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ( )A.f(b)f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)
根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇 偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调 性分析可得答案.
(2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2) 为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有 <0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a的取值范围是 ( )A. B.[-2,-1] C. D.
解析 因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有 <0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得- ≤a≤ .即实数a的取值范围是 .故选A.
角度二 抽象函数的周期性
典例3 (2020陕西汉中一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f =f ,当x∈ 时, f(x)=lg2(-3x+1),则f(2 020)= ( )A.4 B.lg27 C.2 D.-2
根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.
典例4 已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x), f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2 020)= ( )A. B.2C. D.4
根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)= ,则有f(x+6)= =f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.
已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且 f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(lg23),b=f( ),c=f(2 020),则 ( )A.a
又lg23∈(1,2), ∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b
典例5 若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ( )A.5 B.6 C.7 D.8
根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解 析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.
典例6 若偶函数f(x)的图象关于x= 对称,当x∈ 时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-lg20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ( )A.18 B.26 C.28 D.30
解析 令h(x)=lg20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-lg20|x|=0,得f(x)=lg20|x|,当x>0时,h(x)=lg20x,因为偶函数f(x)的图象关于x= 对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x= (k∈Z)为f(x)图象的对称轴,
又因为当x∈ 时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示, 可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.
令h(x)=lg20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的 图象即可判断出总零点个数.
典例7 已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x- 1,函数g(x)=f(x)-lgax(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3) B.(3,5)C.(1,5) D.(5,9)
利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求 解即可.
1.(2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2 020)= ( )A. B.- C.- D.
解析 令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)= ,∴f(0)= ,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),
则f(2)=- ,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=- ,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=- ,∴f(2 020)=- .故选C.
2.(2020安徽黄山期末)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意 的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-lga(|x|+1)在R上 有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ( )A.[3,5] B.[2,4]C.(3,5) D.(2,4)
解析 ∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图 象如图所示,∵g(x)=f(x)-lga(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=lga(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=lga(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴ 解得2
学习要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义.3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性.4.会判断、应用简单函数的周期性.
f(-x)=-f(x)
2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 任何值时,都有⑤ ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函 数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1⇔f(x)为偶函数,其中f(x)≠0.(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1⇔f(x)为奇函数,其中f(x)≠0.
2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
3.函数周期性的常用结论对f(x)的定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)= ,则T=2a(a>0).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. ( )(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. ( )(3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ( )
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)= -x的图象关于 ( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 ( )A.- B. C. D.-
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
5.(2019课标全国Ⅱ理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)= 8,则a= .
6.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)= 则f(a+1)的值为 .
解析 因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值为12+1+0=2.关键能力突破
考点一 函数的奇偶性
典例1 已知函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ( )A.3 B.0 C.-1 D.-2
典例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)= ;(2)f(x)=lg2(1+4x)-x;(3)f(x)=lg2( -3x).
解析 (1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= = = =-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2(1+4-x)+x=lg2 +x=lg2(1+4x)-lg24x+x=lg2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=lg2( +3x)=lg2 =-f(x),所以f(x)为奇函数.
1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先 考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式, 看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解 析式.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的 恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.
1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcs x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是 ( )
解析 设f(x)=xcs x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为 奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcs π+sin π=-π,排除B,故选A.
2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,则k+a+b= .
3.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)= + ;(3)f(x)=
解析 (1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称,且f(-x)= + = + , f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
考点二 函数的周期性
典例3 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020).
解析 (1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数, 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=……=f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 020)=f(0)=0.
◆变式探究1 若原题中条件变为“f(x+2)= ”,求函数f(x)的最小正周期.
◆变式探究2 若原题中条件变为“f(x+2)=- ”,求函数f(x)的最小正周期.
◆变式探究3 在原题条件下,求f(x)(x∈[2,4])的解析式.
解析 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0].又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8.
方法技巧函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可得函数是周期函 数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在 解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数 的周期.
1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)= 则f(f(15))的值为 .
2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时, f(x)=x3-x,则函数y =f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 .
解析 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.
解析 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7个交点.
考点三 函数性质的综合应用
角度一 函数的单调性与奇偶性的综合问题
典例4 (1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(1)=-1,若f(2x-1)≥-1,则x的 取值范围是 ( )A.(-∞,-1] B.[1,+∞)C.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)<0的解集为 .
角度二 函数的周期性与奇偶性的综合问题
典例5 (2018课标全国Ⅱ文,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数, 满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50 B.0C.2 D.50
角度三 函数的周期性与对称性的综合问题
典例6 已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈(-1,0]时, f(x)=2x,且f(x+1)的图 象关于原点对称,则f =( )A. B. C.- D.-
规律总结函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、 偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用函数的奇偶性 及周期性进行变换.(3)对称性与周期性的综合.解决此类问题时通常先利用周期性转化自变量所 在的区间,然后利用奇偶性求解.
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时, f(x)=4x-1,则f = ( )A.0 B.1 C.-1 D.-
2.已知f(x+2)是偶函数, f (x)在(-∞,2)上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 ( )A. ∪(2,+∞) B. C. D. ∪
解析 因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以由f(0)=0得 f(4)=0,又f(x)在(-∞,2)上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,当2-3x≥2即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<- ;当2-3x<2即x>0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x> ,综上所述, f(2-3x)>0的解集是 ∪ .
3.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于 点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .
解析 ∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)为奇函数.又∵f(x+2)=f(-x),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴y=f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(2 016)=f(504×4)=0, f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4, f(2 018)=f(504×4+2)=f(2) =-f(0)=0.故答案为4.
抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数 的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一 些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的 想象力以及灵活运用函数知识的能力.
微专题——抽象函数的性质及应用
角度一 抽象函数的单调性
典例1 (2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递 减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ( )A.[1,+∞) B.(-∞,1]C. ∪[1,+∞) D.
根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|) ⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.
典例2 (2019湖北武汉期末)若a= ,b= ,c=lg2 ,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有 <0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ( )A.f(b)
根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇 偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调 性分析可得答案.
(2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2) 为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有 <0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a的取值范围是 ( )A. B.[-2,-1] C. D.
解析 因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有 <0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得- ≤a≤ .即实数a的取值范围是 .故选A.
角度二 抽象函数的周期性
典例3 (2020陕西汉中一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f =f ,当x∈ 时, f(x)=lg2(-3x+1),则f(2 020)= ( )A.4 B.lg27 C.2 D.-2
根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.
典例4 已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x), f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2 020)= ( )A. B.2C. D.4
根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)= ,则有f(x+6)= =f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.
已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且 f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(lg23),b=f( ),c=f(2 020),则 ( )A.a
又lg23∈(1,2), ∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b
典例5 若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ( )A.5 B.6 C.7 D.8
根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解 析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.
典例6 若偶函数f(x)的图象关于x= 对称,当x∈ 时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-lg20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ( )A.18 B.26 C.28 D.30
解析 令h(x)=lg20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-lg20|x|=0,得f(x)=lg20|x|,当x>0时,h(x)=lg20x,因为偶函数f(x)的图象关于x= 对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x= (k∈Z)为f(x)图象的对称轴,
又因为当x∈ 时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示, 可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.
令h(x)=lg20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的 图象即可判断出总零点个数.
典例7 已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x- 1,函数g(x)=f(x)-lgax(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3) B.(3,5)C.(1,5) D.(5,9)
利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求 解即可.
1.(2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2 020)= ( )A. B.- C.- D.
解析 令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)= ,∴f(0)= ,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),
则f(2)=- ,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=- ,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=- ,∴f(2 020)=- .故选C.
2.(2020安徽黄山期末)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意 的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-lga(|x|+1)在R上 有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ( )A.[3,5] B.[2,4]C.(3,5) D.(2,4)
解析 ∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图 象如图所示,∵g(x)=f(x)-lga(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=lga(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=lga(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴ 解得2
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