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2021-2022学年人教版七年级数学 数轴上的动点问题（一）
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2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（一）
1．如图，在数轴上点表示的数是；点在点的右侧，且到点的距离是6；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍．
（1）点表示的数是__________；点表示的数是________；
（2）若点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为2？
（3）在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
2．（知识回顾）
数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x－y|．借助数轴解决下列问题：
（概念理解）
（1）|x+2|表示数x和 所对应的两点之间的距离．
（2）当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值如何变化？
（继续推理）
（3）|x+2|＋|x－4|＝7，推理x的值为 ；
（4）|x+2|＋|x－4|＝n（n为常数），根据n的不同取值，写出对应x的值．
3．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的友好距离，记为（POQ）．
例如：P，Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．
（1）A，B两点表示的数，如图所示：
①A，B两点的友好距离为 ；
②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；
（2）M，N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．
4．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“胜利点”．
（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；
（2）若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“胜利点”时，求点的运动时间；
（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“胜利点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．
5．点A对应数，点B对应数b，点C对应数c．
（1）已知与的和是，那么 ， ， ；
（2）点P为数轴上一点，且满足，请求出点P所表示的数；
（3）点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了l单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度．
（4）当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
6．如图在数轴上A点表示数a，B点示数b，a、b满足；
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则C点表示的数 ；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），当A、B两点相距6个单位长度时，求t的值．
7．数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的两个数的差的绝对值来表示；例如点A表示7、点B表示-5，AB之间的距离AB==12；已知数轴上两点，M，N对应的数分别为-2，4，P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P对应的数为： ．
（2）数轴上是否存在点P到点M点N的距离之和为8，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由．
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度，从O点向左运动时，点M以每分钟5个单位长度向左运动，点N每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发几分钟后P点到点M点N的距离相等．
8．如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是-3、1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为____________．
（2）当时，求点P、Q之间的距离．
（3）当点P在上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离．
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
9．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．
（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是 ；
（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
10．如图，数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从A点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴向左运动，动点P从A点出发的同时动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为t秒，
（1）填空：_____，_____，Q点在数轴上所表示的数为_____（用t的代数式表示）．
（2）在整个运动过程中，t取何值时？
（3）若动点P从A点出发的同时动点M也从点C出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，是否存在正数n使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出正数n．
2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（一）
参考答案
1．（1）5，1；（2）或；（3）存在，或5．
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数是；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）分点与点相遇前，点与点相遇后两种情况讨论即可求解；
（3）分点在点左侧时，点在点右侧时两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）点表示的数是；点表示的数是．
故答案为：5，1；
（2）点与点相遇前，
，
解得；
点与点相遇后，
，
解得．
故当为或时，点与点之间的距离为2；
（3）当点在点左侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是；
当点在点右侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是．
综上所述，在运动过程中，存在某一时刻使得，此时点表示的数为或5．
【点睛】
考查了一元一次方程的应用，数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
2．（1）－2； （2）当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大；（3）4.5或－2.5； （4）当n＜6时，x无解； 当n＝6时，x为－2和4之间的任意数（包含－2和4）；当n＞6时，x=-+1或x=+1．
【分析】
（1）根据x、y的数对应的两点之间的距离公式即可求解；
（2）分x＜-2、-2≤x≤4、x＞4分别化简，故可判断；
（3）由（2）的化简结果，计算代入得到方程即可求解；
（4）根据数轴的特点分类讨论即可求解．
【详解】
（1）∵数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x－y|．
∴|x+2|表示数x和-2所对应的两点之间的距离
故答案为：-2；
（2）当x＜-2时，|x+2|＋|x－4|=-x-2-x+4=-2x+2
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值变小；
当-2≤x≤4时，|x+2|＋|x－4|=x+2-x+4=6
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值不变；
当x＞4时，|x+2|＋|x－4|=x+2+x-4=2x-2
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值变大；
∴当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大
（3）由（2）得当x＜-2时，|x+2|＋|x－4|=-2x+2=7
解得x=-2.5；
当x＞4时，|x+2|＋|x－4|=2x-2=7
解得x=4.5
故答案为：4.5或－2.5；
（4）∵当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大
∴代数式|x+2|＋|x－4|的最小值为6
∴当n＜6时，x无解；
当n＝6时，x为－2和4之间的任意数（包含－2和4）．
当n＞6时，-2x+2=n或2x-2=n
解得x=-+1或x=+1．
【点睛】
此题主要考查代数式的值、一元一次方程的求解，解题的关键是熟知数轴的特点、化简绝对值的方法即代数式的值的求解方法．
3．（1）①2；②点C表示的数为2或-2；（2）点M表示的数为-1或-3．
【分析】
（1）①根据绝对距离的定义即可解题.
②先根据绝对值的意义求出【AOB】再根据【AOB】=2【AOC】求出【AOC】=1，然后利用绝对值意义得出方程即可求解；
（2）设点M用x表示，点N用（x+4）表示，先确定原点O在M、N两点之间，由点M在点N左边，可得点M表示负数，点N表示正数，由题可知【MON】=|MO-NO|=2或|NO-MO|=2，| OM |＞|ON|，列方程-x—x-4=2，| OM |＜|ON|列方程x+4+x=2，解方程即可．
【详解】
解：（1）①A，B两点的友好距离为=,
故答案为2；
②设点C用x表示，
∵【AOB】，
又【AOB】=2【AOC】，
∴【AOC】=1，即或，
∴1+x=-1或x-1=1，
∴x=-2或x=2，
∴点C表示的数为2或-2；
（2）设点M用x表示，点N用（x+4）表示，
∵MN=4，点M、N在原点O左边或右边时，| OM-ON |=4≠2，
∴原点O在M、N中间，
∵点M在点N左边，
点M表示负数，点N表示正数，
由题可知【MON】=|MO-NO|=2或|NO-MO|=2，
| OM |＞|ON|，
-x-x-4=2，
x=-3，
| OM |＜|ON|，
x+4+x=2，
x=-1，
∴点M表示的数为-1或-3．
【点睛】
本题考查了绝对值的实际应用，绝对距离的含义，一元一次方程的解法，中等难度，熟悉绝对距离的概念是解题关键．
4．（1）；（2）1秒或10秒；（3），，，，，．
【分析】
（1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论；
（2）根据题意可得，，再根据“胜利点”的定义即可求解；
（3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时，分别代入计算即可．
【详解】
解：（1）数轴上两点，对应的数分别为和4，
，
点到点的距离等于点到点的距离，
点是的中点，
，
点表示的数为；
（2）设点运动时间为秒，
根据题意可知，，，
，
解得：或10，
点运动的时间为1秒或10秒；
（3）设点表示的数为，
根据题意可得，或，，，
分五种情况进行讨论：
①当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
②当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
或，解得；
③当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得（不符合题意，舍去）；
或，解得（不符合题意，舍去）；
④当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
或，解得；
⑤当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得，
综上所述，所有符合条件的点表示的数是：，，，，，．
【点睛】
本题考查了数轴，胜利点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，若点表示的数，点表示的数，则是解决本题的关键．
5．（1），，；（2）或；（3）；（4）甲、乙还能碰面，碰面地点对应的数为：
【分析】
（1）根据题意可得、、为同类项，根据同类项的定义以及合并同类项法则进行解答即可；
（2）设点P所表示的数为，根据点A对应数，点B对应数b，分情况进行讨论，当点在点左边时，当点在之间时，当点在点右边时，将（1）中所求数值代入，解方程即可；
（3）由题意可知按原来速度分钟可走两个来回，都提高速度后分钟可走两个来回，列方程求解；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为，然后分三种情况进行讨论：①当点位于之间时；②当点位于之间时；③当点位于点右边时；
分别根据甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵与的和是，
∴，，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）设点P所表示的数为，根据点A对应数，点B对应数b，
当点在点左边时，，，
则：，解得：与题设不符，舍去；
当点在之间时，，，
则，解得：，符合题意；
当点在点右边时，，，
则，解得：，符合题意；
综上：点表示的数为：或；
（3）设甲的速度为单位长度/每分钟，乙的速度为长度/每分钟，
由题意可得：，
可得：，
∴A、M两点的距离=，
故答案为：；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为，
当点位于之间时，
有：，
解得：，
则点到点的距离为：，
甲到达点的时间为：分，
则此时乙到达的位置为：，
然后两人同时向左运动，乙追上甲的时间为：分，
此时两人碰面的位置为：；
当点位于之间时，
有：，
解得：，
则点到点的距离为：，
甲到达点的时间为：分，
则此时乙到达的位置为：，
则两人同时向左运动，乙在甲的左边，乙的速度大于甲，
∴甲不能追上乙，甲、乙不能碰面；
当点位于点右边时，
有：，
解得：(与题设不符，舍去)；
综上：甲、乙还能碰面，碰面地点对应的数为：．
【点睛】
本题考查了同类项以及合并同类项法则，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到正确的等量关系列出方程．
6．（1）-2；6 ；（2）或；（3）或．
【分析】
（1）根据非负数的性质可得再解方程可得答案；
（2）设点对应的数为： 则 再根据 再列方程，解方程可得答案；
（3）分两种情况讨论，①当乙球在碰到挡板之前，两球相距6个单位长度，则甲球表示的数为： 乙球表示的数为 再列方程解方程可得答案；②当乙球在碰到挡板后返回，两球相距6个单位长度，则甲球表示的数为： 乙球表示的数为 再列方程解方程可得答案.
【详解】
解：（1） ，
点A表示的数为；点B表示的数为；
故答案为：
（2）设点对应的数为： 则
即
或
解得：或
所以C点表示的数为：或
（3）①当乙球在碰到挡板之前，两球相距6个单位长度，则
甲球表示的数为： 乙球表示的数为
②当乙球在碰到挡板后返回，两球相距6个单位长度，则
甲球表示的数为： 乙球表示的数为
解得：
综上：当或时，两球相距6个单位长度.
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，一元一次方程的解法，掌握“利用代数式表示数轴上动点所对应的数，清晰的分类讨论”是解题的关键.
7．（1）1；（2）存在，x=5或-3；（3）分钟或分钟
【分析】
（1）根据点P到点M点N的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）分两种情况，①当点P在点N右侧时，②当点P在点M左侧时，然后列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论即可，①因为点P从原点开始向左运动且点N没有追上点P时，处于点M和点N之间．②当点N超过点P并追上点M点时即是点M点N重合时有PM=PN．
【详解】
（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P为MN中点， ，
依题意得： ，
解得： ，
则点P对应的数为：1；
（2）因为MN之间的距离为6，点P不可能在点M和点N这间，点P有以下两种情况．
①当点P在点N右侧时则有x﹥4，
PM+PN=∣x-4∣+∣x-(-2)∣=8，
所以x-4+x+2=8，解得x=5，
②当点P在点M左侧时则有x﹤-2，
PM+PN=∣4- x∣+∣(-2)- x∣=8，
所以4-x-2-x=8，解得x=-3，
（3）解：设他们同时出发t分钟后P点到点M点N的距离相等，同时出发t分钟后，P、N、M三点表示的数分别为-t、4-20t、-2-5t，
①因为点P从原点开始向左运动且点N没有追上点P时，处于点M和点N之间．
∣-t –(-2-5t)∣=∣4-20t -(-t)∣，
所以-t +2+5t=4-20t+t，
解得t =，
②当点N超过点P并追上点M点时即是点M点N重合时有PM=PN，
所以- 2-5t=4-20t，
解得t=，
综上，分钟或分钟后P点到点M点N的距离相等．
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程．
8．（1）3；（2）1；（3）当时，PQ=4-3t，当时，PQ=3t-4；（4），或，或，或．
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式，时间＝路程÷速度，路程＝速度×时间，列式计算即可求解；
（2）求出时，P、Q点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长；
（3）分两种情况讨论可求线段PQ的长；①当时, ②当时；
（4）分4种情况讨论可求t的值．①PQ第一次相遇前，②PQ第一次相遇，③PQ第二次相遇，④PQ第一次相遇后．
【详解】
（1） ，
Q点运动距离为，
Q点表示的数为 ，
所以点Q表示的数为3；
（2）当t=1时，P点表示的数为，Q点表示的数为 ，
∴P、Q之间的距离为．
（3）P点表示的数为，Q点表示的数为,
．
当时，PQ=4-3t．
当时，PQ= 3t-4．
（4） ，
①PQ第一次相遇前：
，解得：，
②PQ第一次相遇：
，解得：
③PQ第二次相遇：
，解得：，
④PQ第二次相遇后：
，解得：，
综上，，或，或，或．
【点睛】
考查了数轴及一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．掌握分类的思想进行讨论是解题关键
9．（1）2，；（2）①；②当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，
【分析】
（1）结合题意，根据数轴、线段、有理数加减法和除法、绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）①根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案；
②结合题意，分点P为亮点、点P为亮点、点A为亮点、点A为亮点四种情况，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，的亮点表示的数在线段上，即：亮点表示的数
∵
∴的亮点表示的数是：2；
根据题意，的暗点表示的数在线段延长线上，即：暗点表示的数，或暗点表示的数
∵
∴的暗点表示的数是：；
故答案为：2，；
（2）①根据题意，点P是的暗点，即点P在线段的延长线上
∴，
∵
∴
∴；
②当点P为亮点时，即P在线段上
∴，
∴
∴
当点P为亮点时，即P在线段上
∴
∴；
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，
∴
∴
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，即
∴，
∴
∴
∴当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，．
【点睛】
本题考查了有理数、一元一次方程、线段的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．
10．（1）；7；；（2），时；（3）存在，，．
【分析】
（1）根据同类项的概念求得的值，根据题意动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动即可求得点表示的数；
（2）根据题意用含的代数式分别表示出的长度，根据题意列出方程，接方程求解即可；
（3）根据题意用含的代数式分别表示出分情况讨论，当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，进而计算，根据题意为定值，即与的值无关，进而求得的值．
【详解】
（1）与互为同类项
解得
动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动
Q点在数轴上所表示的数为
故答案为：；7；
（2）依题意，，
当，
即，
或
解得，
（3）当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，则，
，，
，
与t无关
即，
解得
当时，，
与t无关
即，
解得
综上所述或．
【点睛】
本题考查了同类项的概念，数轴上动点问题，列代数式，解一元一次方程，整式的加减运算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（一）
1．如图，在数轴上点表示的数是；点在点的右侧，且到点的距离是6；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍．
（1）点表示的数是__________；点表示的数是________；
（2）若点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为2？
（3）在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
2．（知识回顾）
数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x－y|．借助数轴解决下列问题：
（概念理解）
（1）|x+2|表示数x和 所对应的两点之间的距离．
（2）当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值如何变化？
（继续推理）
（3）|x+2|＋|x－4|＝7，推理x的值为 ；
（4）|x+2|＋|x－4|＝n（n为常数），根据n的不同取值，写出对应x的值．
3．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的友好距离，记为（POQ）．
例如：P，Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．
（1）A，B两点表示的数，如图所示：
①A，B两点的友好距离为 ；
②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；
（2）M，N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．
4．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“胜利点”．
（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；
（2）若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“胜利点”时，求点的运动时间；
（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“胜利点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．
5．点A对应数，点B对应数b，点C对应数c．
（1）已知与的和是，那么 ， ， ；
（2）点P为数轴上一点，且满足，请求出点P所表示的数；
（3）点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了l单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是 单位长度．
（4）当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
6．如图在数轴上A点表示数a，B点示数b，a、b满足；
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则C点表示的数 ；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），当A、B两点相距6个单位长度时，求t的值．
7．数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的两个数的差的绝对值来表示；例如点A表示7、点B表示-5，AB之间的距离AB==12；已知数轴上两点，M，N对应的数分别为-2，4，P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P对应的数为： ．
（2）数轴上是否存在点P到点M点N的距离之和为8，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由．
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度，从O点向左运动时，点M以每分钟5个单位长度向左运动，点N每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发几分钟后P点到点M点N的距离相等．
8．如图，点A、C、B在数轴上表示的数分别是-3、1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．
（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为____________．
（2）当时，求点P、Q之间的距离．
（3）当点P在上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离．
（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值．
9．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．
（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是 ；
（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
10．如图，数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从A点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴向左运动，动点P从A点出发的同时动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为t秒，
（1）填空：_____，_____，Q点在数轴上所表示的数为_____（用t的代数式表示）．
（2）在整个运动过程中，t取何值时？
（3）若动点P从A点出发的同时动点M也从点C出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，是否存在正数n使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出正数n．
2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（一）
参考答案
1．（1）5，1；（2）或；（3）存在，或5．
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数是；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）分点与点相遇前，点与点相遇后两种情况讨论即可求解；
（3）分点在点左侧时，点在点右侧时两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）点表示的数是；点表示的数是．
故答案为：5，1；
（2）点与点相遇前，
，
解得；
点与点相遇后，
，
解得．
故当为或时，点与点之间的距离为2；
（3）当点在点左侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是；
当点在点右侧时，，，
，
，
解得．
此时点表示的数是．
综上所述，在运动过程中，存在某一时刻使得，此时点表示的数为或5．
【点睛】
考查了一元一次方程的应用，数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
2．（1）－2； （2）当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大；（3）4.5或－2.5； （4）当n＜6时，x无解； 当n＝6时，x为－2和4之间的任意数（包含－2和4）；当n＞6时，x=-+1或x=+1．
【分析】
（1）根据x、y的数对应的两点之间的距离公式即可求解；
（2）分x＜-2、-2≤x≤4、x＞4分别化简，故可判断；
（3）由（2）的化简结果，计算代入得到方程即可求解；
（4）根据数轴的特点分类讨论即可求解．
【详解】
（1）∵数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x－y|．
∴|x+2|表示数x和-2所对应的两点之间的距离
故答案为：-2；
（2）当x＜-2时，|x+2|＋|x－4|=-x-2-x+4=-2x+2
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值变小；
当-2≤x≤4时，|x+2|＋|x－4|=x+2-x+4=6
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值不变；
当x＞4时，|x+2|＋|x－4|=x+2+x-4=2x-2
故当x增大时，|x+2|＋|x－4|的值变大；
∴当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大
（3）由（2）得当x＜-2时，|x+2|＋|x－4|=-2x+2=7
解得x=-2.5；
当x＞4时，|x+2|＋|x－4|=2x-2=7
解得x=4.5
故答案为：4.5或－2.5；
（4）∵当x逐渐变大时，代数式|x+2|＋|x－4|的值先变小，然后不变，最后变大
∴代数式|x+2|＋|x－4|的最小值为6
∴当n＜6时，x无解；
当n＝6时，x为－2和4之间的任意数（包含－2和4）．
当n＞6时，-2x+2=n或2x-2=n
解得x=-+1或x=+1．
【点睛】
此题主要考查代数式的值、一元一次方程的求解，解题的关键是熟知数轴的特点、化简绝对值的方法即代数式的值的求解方法．
3．（1）①2；②点C表示的数为2或-2；（2）点M表示的数为-1或-3．
【分析】
（1）①根据绝对距离的定义即可解题.
②先根据绝对值的意义求出【AOB】再根据【AOB】=2【AOC】求出【AOC】=1，然后利用绝对值意义得出方程即可求解；
（2）设点M用x表示，点N用（x+4）表示，先确定原点O在M、N两点之间，由点M在点N左边，可得点M表示负数，点N表示正数，由题可知【MON】=|MO-NO|=2或|NO-MO|=2，| OM |＞|ON|，列方程-x—x-4=2，| OM |＜|ON|列方程x+4+x=2，解方程即可．
【详解】
解：（1）①A，B两点的友好距离为=,
故答案为2；
②设点C用x表示，
∵【AOB】，
又【AOB】=2【AOC】，
∴【AOC】=1，即或，
∴1+x=-1或x-1=1，
∴x=-2或x=2，
∴点C表示的数为2或-2；
（2）设点M用x表示，点N用（x+4）表示，
∵MN=4，点M、N在原点O左边或右边时，| OM-ON |=4≠2，
∴原点O在M、N中间，
∵点M在点N左边，
点M表示负数，点N表示正数，
由题可知【MON】=|MO-NO|=2或|NO-MO|=2，
| OM |＞|ON|，
-x-x-4=2，
x=-3，
| OM |＜|ON|，
x+4+x=2，
x=-1，
∴点M表示的数为-1或-3．
【点睛】
本题考查了绝对值的实际应用，绝对距离的含义，一元一次方程的解法，中等难度，熟悉绝对距离的概念是解题关键．
4．（1）；（2）1秒或10秒；（3），，，，，．
【分析】
（1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论；
（2）根据题意可得，，再根据“胜利点”的定义即可求解；
（3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时；当点是关于的“胜利点”时，分别代入计算即可．
【详解】
解：（1）数轴上两点，对应的数分别为和4，
，
点到点的距离等于点到点的距离，
点是的中点，
，
点表示的数为；
（2）设点运动时间为秒，
根据题意可知，，，
，
解得：或10，
点运动的时间为1秒或10秒；
（3）设点表示的数为，
根据题意可得，或，，，
分五种情况进行讨论：
①当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
②当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
或，解得；
③当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得（不符合题意，舍去）；
或，解得（不符合题意，舍去）；
④当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得；
或，解得；
⑤当点是关于的“胜利点”时，
得，
即，解得，
综上所述，所有符合条件的点表示的数是：，，，，，．
【点睛】
本题考查了数轴，胜利点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，若点表示的数，点表示的数，则是解决本题的关键．
5．（1），，；（2）或；（3）；（4）甲、乙还能碰面，碰面地点对应的数为：
【分析】
（1）根据题意可得、、为同类项，根据同类项的定义以及合并同类项法则进行解答即可；
（2）设点P所表示的数为，根据点A对应数，点B对应数b，分情况进行讨论，当点在点左边时，当点在之间时，当点在点右边时，将（1）中所求数值代入，解方程即可；
（3）由题意可知按原来速度分钟可走两个来回，都提高速度后分钟可走两个来回，列方程求解；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为，然后分三种情况进行讨论：①当点位于之间时；②当点位于之间时；③当点位于点右边时；
分别根据甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵与的和是，
∴，，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）设点P所表示的数为，根据点A对应数，点B对应数b，
当点在点左边时，，，
则：，解得：与题设不符，舍去；
当点在之间时，，，
则，解得：，符合题意；
当点在点右边时，，，
则，解得：，符合题意；
综上：点表示的数为：或；
（3）设甲的速度为单位长度/每分钟，乙的速度为长度/每分钟，
由题意可得：，
可得：，
∴A、M两点的距离=，
故答案为：；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为，
当点位于之间时，
有：，
解得：，
则点到点的距离为：，
甲到达点的时间为：分，
则此时乙到达的位置为：，
然后两人同时向左运动，乙追上甲的时间为：分，
此时两人碰面的位置为：；
当点位于之间时，
有：，
解得：，
则点到点的距离为：，
甲到达点的时间为：分，
则此时乙到达的位置为：，
则两人同时向左运动，乙在甲的左边，乙的速度大于甲，
∴甲不能追上乙，甲、乙不能碰面；
当点位于点右边时，
有：，
解得：(与题设不符，舍去)；
综上：甲、乙还能碰面，碰面地点对应的数为：．
【点睛】
本题考查了同类项以及合并同类项法则，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到正确的等量关系列出方程．
6．（1）-2；6 ；（2）或；（3）或．
【分析】
（1）根据非负数的性质可得再解方程可得答案；
（2）设点对应的数为： 则 再根据 再列方程，解方程可得答案；
（3）分两种情况讨论，①当乙球在碰到挡板之前，两球相距6个单位长度，则甲球表示的数为： 乙球表示的数为 再列方程解方程可得答案；②当乙球在碰到挡板后返回，两球相距6个单位长度，则甲球表示的数为： 乙球表示的数为 再列方程解方程可得答案.
【详解】
解：（1） ，
点A表示的数为；点B表示的数为；
故答案为：
（2）设点对应的数为： 则
即
或
解得：或
所以C点表示的数为：或
（3）①当乙球在碰到挡板之前，两球相距6个单位长度，则
甲球表示的数为： 乙球表示的数为
②当乙球在碰到挡板后返回，两球相距6个单位长度，则
甲球表示的数为： 乙球表示的数为
解得：
综上：当或时，两球相距6个单位长度.
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，一元一次方程的解法，掌握“利用代数式表示数轴上动点所对应的数，清晰的分类讨论”是解题的关键.
7．（1）1；（2）存在，x=5或-3；（3）分钟或分钟
【分析】
（1）根据点P到点M点N的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）分两种情况，①当点P在点N右侧时，②当点P在点M左侧时，然后列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论即可，①因为点P从原点开始向左运动且点N没有追上点P时，处于点M和点N之间．②当点N超过点P并追上点M点时即是点M点N重合时有PM=PN．
【详解】
（1）若点P到点M点N的距离相等，则点P为MN中点， ，
依题意得： ，
解得： ，
则点P对应的数为：1；
（2）因为MN之间的距离为6，点P不可能在点M和点N这间，点P有以下两种情况．
①当点P在点N右侧时则有x﹥4，
PM+PN=∣x-4∣+∣x-(-2)∣=8，
所以x-4+x+2=8，解得x=5，
②当点P在点M左侧时则有x﹤-2，
PM+PN=∣4- x∣+∣(-2)- x∣=8，
所以4-x-2-x=8，解得x=-3，
（3）解：设他们同时出发t分钟后P点到点M点N的距离相等，同时出发t分钟后，P、N、M三点表示的数分别为-t、4-20t、-2-5t，
①因为点P从原点开始向左运动且点N没有追上点P时，处于点M和点N之间．
∣-t –(-2-5t)∣=∣4-20t -(-t)∣，
所以-t +2+5t=4-20t+t，
解得t =，
②当点N超过点P并追上点M点时即是点M点N重合时有PM=PN，
所以- 2-5t=4-20t，
解得t=，
综上，分钟或分钟后P点到点M点N的距离相等．
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程．
8．（1）3；（2）1；（3）当时，PQ=4-3t，当时，PQ=3t-4；（4），或，或，或．
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式，时间＝路程÷速度，路程＝速度×时间，列式计算即可求解；
（2）求出时，P、Q点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长；
（3）分两种情况讨论可求线段PQ的长；①当时, ②当时；
（4）分4种情况讨论可求t的值．①PQ第一次相遇前，②PQ第一次相遇，③PQ第二次相遇，④PQ第一次相遇后．
【详解】
（1） ，
Q点运动距离为，
Q点表示的数为 ，
所以点Q表示的数为3；
（2）当t=1时，P点表示的数为，Q点表示的数为 ，
∴P、Q之间的距离为．
（3）P点表示的数为，Q点表示的数为,
．
当时，PQ=4-3t．
当时，PQ= 3t-4．
（4） ，
①PQ第一次相遇前：
，解得：，
②PQ第一次相遇：
，解得：
③PQ第二次相遇：
，解得：，
④PQ第二次相遇后：
，解得：，
综上，，或，或，或．
【点睛】
考查了数轴及一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．掌握分类的思想进行讨论是解题关键
9．（1）2，；（2）①；②当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，
【分析】
（1）结合题意，根据数轴、线段、有理数加减法和除法、绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）①根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案；
②结合题意，分点P为亮点、点P为亮点、点A为亮点、点A为亮点四种情况，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，的亮点表示的数在线段上，即：亮点表示的数
∵
∴的亮点表示的数是：2；
根据题意，的暗点表示的数在线段延长线上，即：暗点表示的数，或暗点表示的数
∵
∴的暗点表示的数是：；
故答案为：2，；
（2）①根据题意，点P是的暗点，即点P在线段的延长线上
∴，
∵
∴
∴；
②当点P为亮点时，即P在线段上
∴，
∴
∴
当点P为亮点时，即P在线段上
∴
∴；
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，
∴
∴
当点A为亮点时，即A在线段上
∴，即
∴，
∴
∴
∴当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，．
【点睛】
本题考查了有理数、一元一次方程、线段的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．
10．（1）；7；；（2），时；（3）存在，，．
【分析】
（1）根据同类项的概念求得的值，根据题意动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动即可求得点表示的数；
（2）根据题意用含的代数式分别表示出的长度，根据题意列出方程，接方程求解即可；
（3）根据题意用含的代数式分别表示出分情况讨论，当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，进而计算，根据题意为定值，即与的值无关，进而求得的值．
【详解】
（1）与互为同类项
解得
动点Q从B点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动
Q点在数轴上所表示的数为
故答案为：；7；
（2）依题意，，
当，
即，
或
解得，
（3）当点运动到点C之前和之后，设点运动到点C之前的距离为，之后的为，则，
，，
，
与t无关
即，
解得
当时，，
与t无关
即，
解得
综上所述或．
【点睛】
本题考查了同类项的概念，数轴上动点问题，列代数式，解一元一次方程，整式的加减运算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
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