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2021-2022学年人教版七年级数学 数轴上的动点问题（二）
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这是一份2021-2022学年人教版七年级数学 数轴上的动点问题（二），共18页。
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O，当OM=ON时，求x的值．
（3）若长方形ADCD以每秒4个单位的速度向右运动．长方形FGH固定不动．设长方形ABCD运动的时t(t＞0)秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t的值．
2．如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（）秒．
（1）点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；
（2）点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）
（3）当点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，求t的值．
3．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为|AB|＝|a﹣b|或|b﹣a|，请回答问题：
（1）当a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝ ．
（2）设点P在数轴上对应的数为x，若|x﹣3|＝5，则x＝ ．
（3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则|x＋1|＋|x﹣4|＝ ．
②若|x＋1|＋|x﹣4|＝10，则x＝ ．
③若点P表示的数是﹣5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
4．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．
（1）点C表示的数是 ．
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？
（3）点P表示的数是 （用含字母t的式子表示）
（4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
5．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，线段AB的中点为M．点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发，向数轴的正方向运动．同时，动点Q以1个单位长度/秒的速度从点B出发，向数轴的负方向运动．
（1）线段AB的长度为 个单位长度，点M表示的数为 ．
（2）当点Q运动到点M时，点P运动到点N，则MN的长度为 个单位长度．
（3）设点P运动的时间为t秒．是否存在这样的t，使PA+QA为7个单位长度？如果存在，请求出t的值和此时点P表示的数；如果不存在，请说明理由．
6．数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是 ；点C表示的数是 ；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒.
①当P运动到C点时，点Q所表示的数是多少?
②当t为何值时，P、Q之间的距离为6?
③若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB.在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC + QB = 5?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
8．如图，数轴上A，B两点对应的数分别-4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
（1）A，B两点之间的距离为 ．
（2）当运动到第2021次时，求点P所对应的有理数．
（3）在数轴上有一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速移动，点C向右运动到B点立即返回，返回到A点停止．在数轴上有一动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左匀速移动，到A点停止．设运动时间为t秒．是否存在t使得CD的长度为2；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且，，分别是点，，在数轴上对应的数．
（1）求，，的值；
（2）若动点，同时从，出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度．点的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？
（3）在数轴上找一点，使，请直接写出所有点对应的数．（不必说明理由）
10．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+4|+(b－10)2=0．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ．
（2）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t=1时，乙小球到原点的距离= ；
②当t为何值时，甲小球与乙小球的距离为10；
③甲小球和乙小球到原点的距离和最小为 ；
④求t为何值时，甲小球和乙小球到原点的距离和为6．
2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（二）
参考答案
1．（1）；（2）x＝5或x＝；（3）t=4.5s或8.5s
【分析】
（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为15，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为-12，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为t秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形ABGH两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】
（1）∵长方形的长是10个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，
∵两点之间的距离为14，
∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是6个单位长度，
∴点A表示的数为：，
故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为，点N表示的数为，经过x秒后，M点表示的数为﹣12+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，
则有，
解得x＝5 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，
则有7﹣3x＝﹣12+4x
解得：x＝
综上，当x＝5或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间t为秒，
长方形的面积为
根据题意重叠面积为，分2种情况讨论
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−9+4t−5= 4t−14
∴ 3(4t−14) =12，
解得：t =4.5；
②当重叠部分为长方形ABGH时，
AH=-15+4t-15=-30+4t
解得：t =8.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间4.5秒或8.5秒时，重叠部分的面积为12．
【点睛】
本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
2．（1）9；6；（2）；；（3）或．
【分析】
（1）先求出AB的长度，根据“动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动”可求出点P到达点B用时；根据“动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动”可求出点Q到达点A用时；
（2）根据“动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动”可求出点B与点Q之间的距离，用点B在数轴上的数减去BQ的长即可得到点Q表示的数；
（3）分两种情况讨论：①点P与点Q相遇之前，用点Q表示的数减去点P表示的数即可得解；②点P与点Q相遇之后，当运动6秒后，点Q到达点A停止运动，这时求得点P到点Q的距离为12，点P再运动秒，点P与点Q之间的距离为15个单位长度．
【详解】
解：（1）∵点A，B在数轴上表示的数分别是，10，
∴|AB|=10-(-8)=18，
∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴点P到达点B用时为18÷2=9（秒），
∵动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，
∴点Q到达点A用时为18÷3=6（秒）；
（2）∵动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，
∴点B与点Q之间的距离为3t，
点Q表示的数为10-3t；
（3）①点P与点Q相遇之前，
点P表示的数为-8+2t，
∴点P与点Q之间的距离为10-3t-(-8+2t)=15，
解得；
②点P与点Q相遇之后，
当运动6秒后，点Q表示的数为10-3×6=-8，
即点Q到达点A，停止运动，
此时，点P表示的数为-8+2×6=4，
∴此时，点P与点Q之间的距离为4-(-8)=12<15，
∴点Q再运动15-12=3个单位长度即可，
即点Q再运动秒，点P与点Q之间的距离为15个单位长度，
∴，
综上，t的值为或．
【点睛】
本题考查了数轴，解一元一次方程，涉及了两点之间的距离，数轴上的动点问题等问题．正确理解题意是解题的关键．
3．（1）5；（2）8或−2（3）①5②−3.5或6.5③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【分析】
（1）根据A、B之间的距离公式即可求解；
（2）分x在3的左侧和右侧两种情况即可求解；
（3）①分点P在N的左侧和M的右侧两种情况解答；
②分x＜−1或x＞4两种情况解答；
③分点P在N的左侧和M的右侧两种情况解答．
【详解】
（1）a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝
故答案为：5；
（2）∵|x−3|＝5，
∴x−3＝±5，
∴x＝8或−2；
故答案为：8或−2．
（3）①由题意得，−1＜x＜4，
∴|x＋1|＋|x−4|＝x＋1＋4−x＝5，
故答案为：5；
②∵|x＋1|＋|x−4|＝10，
∴x＜−1或x＞4，
当x＜−1时，
|x＋1|＋|x−4|＝−x−1＋4−x＝3−2x，
即3−2x＝10，
解得x＝−3.5；
当x＞4时，
|x＋1|＋|x−4|＝x＋1＋x−4＝2x−3，
即2x−3＝10，
解得x＝6.5；
故答案为：−3.5或6.5；
③t秒后，点P表示的数是t−5，NP＝|t−5＋1|＝|t−4|，MP＝|t−5−4|＝|t−9|，
当t−5＜−1时，|t−4|＋|t−9|＝4−t＋9−t＝13−2t＝8，解得t＝2.5，
当t−5＞4时，|t−4|＋|t−9|＝t−4＋t−9＝2t−13＝8，解得t＝10.5，
答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【点睛】
本题考查数轴上两点间的距离与一元一次方程的应用，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键．
4．（1）1，（2）5，（3）﹣4+2t；（4）1.5或3.5秒
【分析】
（1）根据点C是AB的中点求解即可；
（2）、（3）根据点P的运动路程和运动速度列出方程即可；
（4）分两种情况：点P在点C的左边有右边．
【详解】
解：（1）依题意得，点C是AB的中点，
故点C表示的数是：＝1．
故答案是：1；
（2）[6﹣（﹣4）]÷2＝10÷2＝5（秒）
答：当t＝5秒时，点P到达点A处．
（3）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点P表示的数是﹣4+2t．
故答案是：﹣4+2t；
（4）当点P在点C的左边时，1-（﹣4+2t）＝2，则t＝1.5；
当点P在点C的右边时，﹣4+2t -1＝2，则t＝3.5．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时恰当利用数形结合、分类讨论的数学思想是关键．
5．（1）5，-；（2）；（3）t＝4秒，点P表示的数为5
【分析】
（1）数轴上两点间的距离等于表示右边的数减去左边的数，据此求解；
（2）求得点Q到点M的时间，从而确定点N所表示的数，写出线段MN的长；
（3）表示出PA、QA，根据“PA＋QA＝7”列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）AB＝2−（−3）＝5，
∵M为AB的中点，
∴M距离A点个单位，
∴点M表示的数为-3+=-，
故答案为：5，-；
（2）∵BM=2-（-）=
∴点Q运动到点M时用时秒，此时点P运动到-3+2×=2的位置，
故MN＝2−（-）＝，
故答案为：；
（3）设存在这样的t，
∵点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发，向数轴的正方向运动．同时，动点Q以1个单位长度/秒的速度从点B出发，向数轴的负方向运动．
∴P点所表示的数为-3+2t，Q点表示的数为2-t
根据题意得：
P在Q的左边时：2-t-（-3+2t）＝7，
解得：t＝，故不存在；
P在Q的右边时：-3+2t-（2-t）＝7，
解得：t＝4，
此时点P表示的数为5．
所以存在时间t＝4秒，使得PA＋QA＝7．此时，点P表示的数为5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，解题的关键是了解如何表示数轴上两点之间的距离，难度不大．
6．（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或
【分析】
（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可；
（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；
（3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，即点在数轴上表示的点是
点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12，
则、和谐距离是：个单位长度；
（2）如图示：
点运动到点位置时，用的时间是：秒，
当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒，
则，
∴，
设点，点在在上的运动时间是，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒，
可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒，
①当点在，点在上运动时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动，
②当点在，点在上运动时，依题意得：
解得：；
③当点，点在上运动时，依题意得：
解得：；
④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点，
当点在，点在上运动时，
无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间；
⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得：
解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或；
【点睛】
本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．
7．（1）15，3；（2）①12；②或；③存在，此时点表示的数是或．
【分析】
（1）根据数轴的定义列出运算式子，再根据有理数的运算法则即可得；
（2）①先求出运动时间的值，再根据数轴的定义即可得；
②先分别求出点表示的数，再分点与点相遇前和点与点相遇后两种情况，根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；③分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，再分别求出的值，根据建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）点表示的数是，
点到点的距离是，
则点表示的数是，
故答案为：15，3；
（2）①当点运动到点时，运动时间（秒），
则点运动的距离，
所以点表示的数是；
②点表示的数是，点表示的数是，
点与点相遇前，，
解得（秒）；
点与点相遇后，，
解得（秒）；
综上，当或时，之间的距离为6；
③存在，求解过程如下：
点表示的数是，点表示的数是，
则，
当点在点的左侧时，，
由得：，解得，
此时点表示的数是；
当点在点的右侧时，，
由得：，解得，
此时点表示的数是；
综上，存在某一时刻使得，此时点表示的数是或．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
8．（1）12；（2）-1015；（3）存在，，，10
【分析】
（1）根据数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，可直接得到A，B两点之间的距离；
（2）当运动到第2021次时，点P所对应的有理数是：，化简求值即可；
（3）分三种情况讨论：①当C，D两点没相遇时，②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，分别列出方程，然后求解即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，
∴A，B两点之间的距离为，
（2）根据题意可得，当运动到第2021次时，
点P所对应的有理数是：
，
（3）存在，理由如下：
由（1）得：，
①当C，D两点没相遇时，
依题意得：
解之得：；
②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，
依题意得：
解之得：；
③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，
依题意得：
解之得：；
综上所述，CD的长度为2时，运动时间为或或10．
【点睛】
本题考查的是数轴的性质和数轴上的动点，明确数轴的特点，利用分类讨论的思想、数形结合的思想解答是解题的关键．
9．（1），，；（2）4秒；（3）1或-7
【分析】
（1）根据多项式和单项式的相关概念即可得出答案；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法以及路程、速度、时间之间的关系进行求解；
（3）分在之间和在点左侧两种情况加以分析即可．
【详解】
解：（1）∵是最大的负整数，
∴，
∵是多项式的次数，
∴，
∵是单项式的系数，
∴；
（2）∵动点，同时从，出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，
点的速度是每秒2个单位长度，
∴，两点速度差为：，
∴，
答：运动4秒后，点可以追上点；
（3）设点对应的数为x，
当在之间，
∵，
∴，
∴，
则对应的数是1，
当在点左侧，
，
∴，
则对应的数是-7，
∴M对应的数为：-7或1．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，数轴，单项式；能够根据数轴上点的特点，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值是解题的关键．
10．（1）－4，10；（2）①8；②或8；③1；④或
【分析】
（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可；
（2）①根据运动的时间算出距离，再根据数轴上点到原点的距离判断即可；
②根据两点相遇前和相遇后分别讨论即可；
③当甲乙两个小球中有一个到达原点时的时间计算即可；
④分三种情况计算即可；
【详解】
解：（1）∵|a+4|+(b－10)2=0，
∴，，
又∵A点表示数a，B点表示数b，
∴A表示－4，B表示10；
故答案是：－4；10；
（2）①当t=1时，根据题意可得小球乙向右运动了2个单位，
∴乙小球到原点的距离=；
故答案是8；
②当甲小球在乙小球左侧时：，解得：；
当甲小球在乙小球右侧时：，解得：；
∴t=或8；
③当甲球到原点时，，此时距离和为；
当乙球到原点时，，此时距离和为；
故答案是1；
④当甲在原点左侧，乙在原点右侧，即t<4时，
4－t+10－2t=6， t=；
当甲在原点右侧，乙在原点右侧，即4≤t<5时，
t－4+10－2t=6，t=0，舍去；
当甲在原点右侧，乙在原点左侧，即t>5时，
t－4+2t－10=6，t= ；
综上所诉，t=或；
【点睛】
本题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O，当OM=ON时，求x的值．
（3）若长方形ADCD以每秒4个单位的速度向右运动．长方形FGH固定不动．设长方形ABCD运动的时t(t＞0)秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t的值．
2．如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（）秒．
（1）点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；
（2）点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）
（3）当点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，求t的值．
3．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为|AB|＝|a﹣b|或|b﹣a|，请回答问题：
（1）当a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝ ．
（2）设点P在数轴上对应的数为x，若|x﹣3|＝5，则x＝ ．
（3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则|x＋1|＋|x﹣4|＝ ．
②若|x＋1|＋|x﹣4|＝10，则x＝ ．
③若点P表示的数是﹣5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
4．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．
（1）点C表示的数是 ．
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？
（3）点P表示的数是 （用含字母t的式子表示）
（4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
5．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，线段AB的中点为M．点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发，向数轴的正方向运动．同时，动点Q以1个单位长度/秒的速度从点B出发，向数轴的负方向运动．
（1）线段AB的长度为 个单位长度，点M表示的数为 ．
（2）当点Q运动到点M时，点P运动到点N，则MN的长度为 个单位长度．
（3）设点P运动的时间为t秒．是否存在这样的t，使PA+QA为7个单位长度？如果存在，请求出t的值和此时点P表示的数；如果不存在，请说明理由．
6．数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是 ；点C表示的数是 ；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒.
①当P运动到C点时，点Q所表示的数是多少?
②当t为何值时，P、Q之间的距离为6?
③若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB.在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC + QB = 5?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
8．如图，数轴上A，B两点对应的数分别-4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
（1）A，B两点之间的距离为 ．
（2）当运动到第2021次时，求点P所对应的有理数．
（3）在数轴上有一动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速移动，点C向右运动到B点立即返回，返回到A点停止．在数轴上有一动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左匀速移动，到A点停止．设运动时间为t秒．是否存在t使得CD的长度为2；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且，，分别是点，，在数轴上对应的数．
（1）求，，的值；
（2）若动点，同时从，出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度．点的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？
（3）在数轴上找一点，使，请直接写出所有点对应的数．（不必说明理由）
10．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+4|+(b－10)2=0．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ．
（2）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t=1时，乙小球到原点的距离= ；
②当t为何值时，甲小球与乙小球的距离为10；
③甲小球和乙小球到原点的距离和最小为 ；
④求t为何值时，甲小球和乙小球到原点的距离和为6．
2021-2022学年七年级数学 数轴上的动点问题（二）
参考答案
1．（1）；（2）x＝5或x＝；（3）t=4.5s或8.5s
【分析】
（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为15，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为-12，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为t秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形ABGH两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】
（1）∵长方形的长是10个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，
∵两点之间的距离为14，
∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是6个单位长度，
∴点A表示的数为：，
故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为，点N表示的数为，经过x秒后，M点表示的数为﹣12+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，
则有，
解得x＝5 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，
则有7﹣3x＝﹣12+4x
解得：x＝
综上，当x＝5或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间t为秒，
长方形的面积为
根据题意重叠面积为，分2种情况讨论
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−9+4t−5= 4t−14
∴ 3(4t−14) =12，
解得：t =4.5；
②当重叠部分为长方形ABGH时，
AH=-15+4t-15=-30+4t
解得：t =8.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间4.5秒或8.5秒时，重叠部分的面积为12．
【点睛】
本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
2．（1）9；6；（2）；；（3）或．
【分析】
（1）先求出AB的长度，根据“动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动”可求出点P到达点B用时；根据“动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动”可求出点Q到达点A用时；
（2）根据“动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动”可求出点B与点Q之间的距离，用点B在数轴上的数减去BQ的长即可得到点Q表示的数；
（3）分两种情况讨论：①点P与点Q相遇之前，用点Q表示的数减去点P表示的数即可得解；②点P与点Q相遇之后，当运动6秒后，点Q到达点A停止运动，这时求得点P到点Q的距离为12，点P再运动秒，点P与点Q之间的距离为15个单位长度．
【详解】
解：（1）∵点A，B在数轴上表示的数分别是，10，
∴|AB|=10-(-8)=18，
∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴点P到达点B用时为18÷2=9（秒），
∵动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，
∴点Q到达点A用时为18÷3=6（秒）；
（2）∵动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，
∴点B与点Q之间的距离为3t，
点Q表示的数为10-3t；
（3）①点P与点Q相遇之前，
点P表示的数为-8+2t，
∴点P与点Q之间的距离为10-3t-(-8+2t)=15，
解得；
②点P与点Q相遇之后，
当运动6秒后，点Q表示的数为10-3×6=-8，
即点Q到达点A，停止运动，
此时，点P表示的数为-8+2×6=4，
∴此时，点P与点Q之间的距离为4-(-8)=12<15，
∴点Q再运动15-12=3个单位长度即可，
即点Q再运动秒，点P与点Q之间的距离为15个单位长度，
∴，
综上，t的值为或．
【点睛】
本题考查了数轴，解一元一次方程，涉及了两点之间的距离，数轴上的动点问题等问题．正确理解题意是解题的关键．
3．（1）5；（2）8或−2（3）①5②−3.5或6.5③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【分析】
（1）根据A、B之间的距离公式即可求解；
（2）分x在3的左侧和右侧两种情况即可求解；
（3）①分点P在N的左侧和M的右侧两种情况解答；
②分x＜−1或x＞4两种情况解答；
③分点P在N的左侧和M的右侧两种情况解答．
【详解】
（1）a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝
故答案为：5；
（2）∵|x−3|＝5，
∴x−3＝±5，
∴x＝8或−2；
故答案为：8或−2．
（3）①由题意得，−1＜x＜4，
∴|x＋1|＋|x−4|＝x＋1＋4−x＝5，
故答案为：5；
②∵|x＋1|＋|x−4|＝10，
∴x＜−1或x＞4，
当x＜−1时，
|x＋1|＋|x−4|＝−x−1＋4−x＝3−2x，
即3−2x＝10，
解得x＝−3.5；
当x＞4时，
|x＋1|＋|x−4|＝x＋1＋x−4＝2x−3，
即2x−3＝10，
解得x＝6.5；
故答案为：−3.5或6.5；
③t秒后，点P表示的数是t−5，NP＝|t−5＋1|＝|t−4|，MP＝|t−5−4|＝|t−9|，
当t−5＜−1时，|t−4|＋|t−9|＝4−t＋9−t＝13−2t＝8，解得t＝2.5，
当t−5＞4时，|t−4|＋|t−9|＝t−4＋t−9＝2t−13＝8，解得t＝10.5，
答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【点睛】
本题考查数轴上两点间的距离与一元一次方程的应用，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键．
4．（1）1，（2）5，（3）﹣4+2t；（4）1.5或3.5秒
【分析】
（1）根据点C是AB的中点求解即可；
（2）、（3）根据点P的运动路程和运动速度列出方程即可；
（4）分两种情况：点P在点C的左边有右边．
【详解】
解：（1）依题意得，点C是AB的中点，
故点C表示的数是：＝1．
故答案是：1；
（2）[6﹣（﹣4）]÷2＝10÷2＝5（秒）
答：当t＝5秒时，点P到达点A处．
（3）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点P表示的数是﹣4+2t．
故答案是：﹣4+2t；
（4）当点P在点C的左边时，1-（﹣4+2t）＝2，则t＝1.5；
当点P在点C的右边时，﹣4+2t -1＝2，则t＝3.5．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时恰当利用数形结合、分类讨论的数学思想是关键．
5．（1）5，-；（2）；（3）t＝4秒，点P表示的数为5
【分析】
（1）数轴上两点间的距离等于表示右边的数减去左边的数，据此求解；
（2）求得点Q到点M的时间，从而确定点N所表示的数，写出线段MN的长；
（3）表示出PA、QA，根据“PA＋QA＝7”列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）AB＝2−（−3）＝5，
∵M为AB的中点，
∴M距离A点个单位，
∴点M表示的数为-3+=-，
故答案为：5，-；
（2）∵BM=2-（-）=
∴点Q运动到点M时用时秒，此时点P运动到-3+2×=2的位置，
故MN＝2−（-）＝，
故答案为：；
（3）设存在这样的t，
∵点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发，向数轴的正方向运动．同时，动点Q以1个单位长度/秒的速度从点B出发，向数轴的负方向运动．
∴P点所表示的数为-3+2t，Q点表示的数为2-t
根据题意得：
P在Q的左边时：2-t-（-3+2t）＝7，
解得：t＝，故不存在；
P在Q的右边时：-3+2t-（2-t）＝7，
解得：t＝4，
此时点P表示的数为5．
所以存在时间t＝4秒，使得PA＋QA＝7．此时，点P表示的数为5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，解题的关键是了解如何表示数轴上两点之间的距离，难度不大．
6．（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或
【分析】
（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可；
（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；
（3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，即点在数轴上表示的点是
点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12，
则、和谐距离是：个单位长度；
（2）如图示：
点运动到点位置时，用的时间是：秒，
当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒，
则，
∴，
设点，点在在上的运动时间是，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，
解得：，
∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：
根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒，
可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒，
①当点在，点在上运动时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动，
②当点在，点在上运动时，依题意得：
解得：；
③当点，点在上运动时，依题意得：
解得：；
④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点，
当点在，点在上运动时，
无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间；
⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得：
解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或；
【点睛】
本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．
7．（1）15，3；（2）①12；②或；③存在，此时点表示的数是或．
【分析】
（1）根据数轴的定义列出运算式子，再根据有理数的运算法则即可得；
（2）①先求出运动时间的值，再根据数轴的定义即可得；
②先分别求出点表示的数，再分点与点相遇前和点与点相遇后两种情况，根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；③分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，再分别求出的值，根据建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）点表示的数是，
点到点的距离是，
则点表示的数是，
故答案为：15，3；
（2）①当点运动到点时，运动时间（秒），
则点运动的距离，
所以点表示的数是；
②点表示的数是，点表示的数是，
点与点相遇前，，
解得（秒）；
点与点相遇后，，
解得（秒）；
综上，当或时，之间的距离为6；
③存在，求解过程如下：
点表示的数是，点表示的数是，
则，
当点在点的左侧时，，
由得：，解得，
此时点表示的数是；
当点在点的右侧时，，
由得：，解得，
此时点表示的数是；
综上，存在某一时刻使得，此时点表示的数是或．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
8．（1）12；（2）-1015；（3）存在，，，10
【分析】
（1）根据数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，可直接得到A，B两点之间的距离；
（2）当运动到第2021次时，点P所对应的有理数是：，化简求值即可；
（3）分三种情况讨论：①当C，D两点没相遇时，②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，分别列出方程，然后求解即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵数轴上A，B两点对应的数分别-4，8，
∴A，B两点之间的距离为，
（2）根据题意可得，当运动到第2021次时，
点P所对应的有理数是：
，
（3）存在，理由如下：
由（1）得：，
①当C，D两点没相遇时，
依题意得：
解之得：；
②当C，D两点相遇后时，点C没有运动到B点时，
依题意得：
解之得：；
③当C，D两点相遇后时，点C运动到B点再返回时，
依题意得：
解之得：；
综上所述，CD的长度为2时，运动时间为或或10．
【点睛】
本题考查的是数轴的性质和数轴上的动点，明确数轴的特点，利用分类讨论的思想、数形结合的思想解答是解题的关键．
9．（1），，；（2）4秒；（3）1或-7
【分析】
（1）根据多项式和单项式的相关概念即可得出答案；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法以及路程、速度、时间之间的关系进行求解；
（3）分在之间和在点左侧两种情况加以分析即可．
【详解】
解：（1）∵是最大的负整数，
∴，
∵是多项式的次数，
∴，
∵是单项式的系数，
∴；
（2）∵动点，同时从，出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒个单位长度，
点的速度是每秒2个单位长度，
∴，两点速度差为：，
∴，
答：运动4秒后，点可以追上点；
（3）设点对应的数为x，
当在之间，
∵，
∴，
∴，
则对应的数是1，
当在点左侧，
，
∴，
则对应的数是-7，
∴M对应的数为：-7或1．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，数轴，单项式；能够根据数轴上点的特点，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值是解题的关键．
10．（1）－4，10；（2）①8；②或8；③1；④或
【分析】
（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可；
（2）①根据运动的时间算出距离，再根据数轴上点到原点的距离判断即可；
②根据两点相遇前和相遇后分别讨论即可；
③当甲乙两个小球中有一个到达原点时的时间计算即可；
④分三种情况计算即可；
【详解】
解：（1）∵|a+4|+(b－10)2=0，
∴，，
又∵A点表示数a，B点表示数b，
∴A表示－4，B表示10；
故答案是：－4；10；
（2）①当t=1时，根据题意可得小球乙向右运动了2个单位，
∴乙小球到原点的距离=；
故答案是8；
②当甲小球在乙小球左侧时：，解得：；
当甲小球在乙小球右侧时：，解得：；
∴t=或8；
③当甲球到原点时，，此时距离和为；
当乙球到原点时，，此时距离和为；
故答案是1；
④当甲在原点左侧，乙在原点右侧，即t<4时，
4－t+10－2t=6， t=；
当甲在原点右侧，乙在原点右侧，即4≤t<5时，
t－4+10－2t=6，t=0，舍去；
当甲在原点右侧，乙在原点左侧，即t>5时，
t－4+2t－10=6，t= ；
综上所诉，t=或；
【点睛】
本题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键．
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