高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步1 基本立体图形1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台巩固练习

第六章　立体几何初步

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

基础过关练

题组一　旋转体的结构特征

1.如图所示的图形中有(　　)

A.圆柱、圆锥、圆台和球

B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台

D.棱柱、棱锥、圆锥和球

2.下列说法中正确的是(　　)

A.将正方形旋转不可能形成圆柱

B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线

3.(多选)下列说法中正确的有(　　)

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形

B.圆锥的侧面展开图是一个扇形

C.圆台的侧面展开图是一个梯形

D.棱锥的侧面为三角形

4.给出以下说法:

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段;

②球的直径是球面上任意两点间所连线段;

③用一个平面去截一个球,得到的截面可以是一个正方形;

④球常用表示球心的字母表示.

其中正确说法的序号是　　　　. 

5.给出下列说法:(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的面围成的几何体是圆锥;(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的面围成的几何体是圆锥;(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是　　　　. 

题组二　旋转体中的计算问题

6.(2020北京师范大学附属中学高一期中)若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是　(　　)

A.4S B.4πS C.πS D.2πS

7.用一个平面去截半径为25 cm的球,截面面积是225π cm2,则球心到截面的距离是(　　)

A.5 cm B.10 cm 

C.15 cm D.20 cm

8.(2019江苏启东中学高一期中)如果用半径为r的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥,那么这个无底圆锥的高等于　　　. 

9.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和.

题组三　简单组合体的截面及计算问题

10.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的(　　)

11.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个用过球心的平面去截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则(　　)

A.以上四个图形都是正确的

B.只有(2)(4)是正确的

C.只有(4)是错误的

D.只有(1)(2)是正确的

12.下图中左上角的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是　(　　)

A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤

13.若一个直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为　　　　. 

14.圆锥底面半径为1 cm,高为 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为　　　　. 

答案全解全析

第六章　立体几何初步

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

基础过关练

1.B 2.C 3.ABD 6.C 7.D

10.B 11.C 12.D  

1.B　根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B.

2.C　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.故选C.

3.ABD　A.圆柱的侧面展开图是一个矩形,正确;B.圆锥的侧面展开图是一个扇形,正确;C.圆台的侧面展开图是一个扇环,所以不正确;D.棱锥的侧面为三角形,符合棱锥的结构特征,正确.故选ABD.

4.答案　①④

解析　根据球的结构特征知,①正确;②不正确,因为球的直径必过球心;③不正确,因为球的任何截面都是圆面;④正确.

5.答案　(2)(3)(4)

解析　(1)不正确,因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;

(2)正确;

(3)正确,如图所示,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面都是等腰三角形;

(4)正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).

6.C　设圆柱底面圆的半径为R,则由题意,知圆柱的母线长为底面圆的直径2R,故2R•2R=4S,得R2=S,所以该圆柱的一个底面面积为πR2=πS.故选C.

7.D　设截面圆的半径为r cm,

∵截面的面积是225π cm2,

∴πr2=225π,解得r=15.

又∵球的半径为25 cm,

∴球心到截面的距离d=√(〖25〗^2 "-" 〖15〗^2 )=20 cm.

8.答案　√3/2r

解析　半径为r的半圆弧长为πr,则圆锥底面圆的周长为πr,

所以圆锥的底面圆半径为r/2,

所以圆锥的高为√(r^2 "-" (r/2)^2 )=√3/2r.

9.解析　设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥,如图,则有∠ABO=30°.

在Rt△BO'A'中,r/BA"'" =sin 30°=1/2,

∴BA'=2r.

在Rt△BOA中,2r/BA=sin 30°=1/2,

∴BA=4r.

又BA-BA'=AA',即4r-2r=2a,∴r=a.

∴两底面面积之和S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.

∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.

10.B　由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切,与各棱相离,故选B.

11.C　当过球心作平行于三棱锥某底面的平面时,截面近似题图(1),三个点都不在圆上;当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面上,近似题图(2);当截面是只过三棱锥一个顶点和球心的平面时,与棱锥的另外两个交点,大致是如题图(3)的情况,即另两点不在球(截面圆)上;当三棱锥的三个顶点都在截面圆上时,截面不过球心,与题图(4)中的图形矛盾.故选C.

12.D　题图中的几何体被一个竖直的平面所截后,圆柱的轮廓是矩形除去一条边,圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分,故选D.

13.答案　√21/2

解析　球O的半径R满足R2=(3/2)^2+((3√3)/2×2/3)^2,解得R=√21/2.

14.答案　√2/2 cm

解析　圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图所示.设正方体的棱长为x cm,则AA1=x cm,A1C1=√2x cm.作SO⊥EF于点O,则SO=√2 cm,OE=1 cm.

∵△EAA1∽△ESO,

∴(AA_1)/SO=(EA_1)/EO,即x/√2=(1"-"  √2/2 x)/1.

∴x=√2/2,

即该内接正方体的棱长为√2/2 cm.