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江苏省连云港市灌云县2021-2022学年九年级上学期期中学业质量检测数学【试卷+答案】
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这是一份江苏省连云港市灌云县2021-2022学年九年级上学期期中学业质量检测数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中
数学试卷（附教师版答案详细解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
2．（3分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
3．（3分）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
4．（3分）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
5．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2＝31.5 B．31.5（1+x）2＝56
C．56（1﹣x）2＝31.5 D．56（1+x）2＝31.5
6．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）点P（4，﹣3）与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是 ．
10．（3分）一个扇形的半径长为6，面积为8π，这个扇形的圆心角是 度．
11．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值是 ．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ ．
13．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ．
14．（3分）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ ．
15．（3分）某校初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．
16．（3分）如图，点A在反比例函数图象y＝（x＞0）上，以OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若＝，则该圆的直径长是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）按照下列不同方法解方程．
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2+3x﹣1＝0（配方法）；
（3）2x2+x﹣1＝0（公式法）；
（4）x2﹣3x＝0（因式分解法）．
18．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长（结果保留π）．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
20．（10分）用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子？若能，请求出长和宽：若不能，请说明理由．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°，求∠BOE的度数．
22．（10分）某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
24．（10分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，有最小值a2＝0．
【应用】（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝ ；
（2）代数式m2+3的最小值是 ；
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5．
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
（3）请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
（4）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
26．（12分）如图，⊙O中，O为圆心．圆上两点分别是定点A与动点B，连接OA，OB．以OA，OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若∠AOB＝90°，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且⊙O半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接AF，当AF与其运动路线相切时，求弧AB的长．
2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断．
【解答】解：A．是二元一次方程，不符合题意；
B．是二元二次方程，不符合题意；
C．是一元一次方程，不符合题意；
D．是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．（3分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
3．（3分）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
【分析】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．
【解答】解：方程x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
则a，b的值分别为﹣3，10．
故选：D．
4．（3分）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【分析】利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确；
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；
D、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误，
故选：D．
5．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2＝31.5 B．31.5（1+x）2＝56
C．56（1﹣x）2＝31.5 D．56（1+x）2＝31.5
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，56（1﹣x）2＝31.5，
故选：C．
6．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝140°，∠ABD＝90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，根据互余可计算出∠BAD＝50°．
【解答】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°．
故选：D．
7．（3分）a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，变形得到a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′．
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
在Rt△BCM中，BC＝3cm，CM＝AC＝4cm，则BM＝＝5cm．
∵ME′＝MC＝4cm，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝1cm，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）点P（4，﹣3）与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是 点P在圆上． ．
【分析】先根据两点间的距离公式求出OP的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵圆心在原点O，点P（4，﹣3），
∴OP＝＝5，
∴OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：点P在圆上．
10．（3分）一个扇形的半径长为6，面积为8π，这个扇形的圆心角是 80 度．
【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形＝，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，
∵8π＝，
∴n＝80，
∴这个扇形的圆心角为80度．
故答案为：80．
11．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值是 2021 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，再把5m2﹣5m+2016变形为5（m2﹣m）+2016，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴5m2﹣5m+2016＝5（m2﹣m）+2016＝5×1+2016＝2021．
故答案为：2021．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ 40° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BOE，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∵C、D是的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°×＝40°，
故答案为：40°．
13．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
14．（3分）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ cm． ．
【分析】根据△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm判定三角形的形状为直角三角形，它的外接圆的半径等于斜边上的中线即可求解．
【解答】解：∵△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，
∴132＝122+52，
∴该三角形为直角三角形，
∴它的外接圆的半径＝斜边上的中线＝ cm，
故答案为： cm．
15．（3分）某校初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 x（x﹣1）＝930 ．
【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即可．
【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝930，
故答案是：x（x﹣1）＝930．
16．（3分）如图，点A在反比例函数图象y＝（x＞0）上，以OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若＝，则该圆的直径长是 3 ．
【分析】连接OC并延长OC，BA交点为D，作CE⊥OB，连接AC，设A（a，b） 则ab＝6，AO＝．由AO为直径可证得∠BOC＝∠CAD，由＝可得∠BOC＝∠OAC则∠OAC＝∠DAC，可证△AOC≌△ACD，所以AO＝AD，OC＝CD，由垂径定理得BE＝OE＝，由中位线定理可得EC＝BD，最后由S△ABO＝S△ECO，用a，b表示面积，可得a，b 的关系式，代入ab＝6，可得a，b得值，即可求得OA的长．
【解答】解：如图：连接OC并延长OC，BA交点为D，作CE⊥OB，连接AC
设A（a，b） 则ab＝6
∵AO是直径
∴∠ABO＝90°＝∠ACO
∴AB＝a，OB＝b
∴AO＝
∵四边形ABOC是圆的内接四边形
∴∠BOC＝∠DAC
∵＝
∴∠BOC＝∠OAC
∴∠OAC＝∠DAC，且AC＝AC，∠ACO＝∠ACD＝90°
∴△AOC≌△ACD
∴AO＝AD＝，OC＝CD
∵CE⊥OB，＝
∴OE＝BE＝，且OC＝CD
∴EC∥BD，EC＝＝
∵S△ABO＝S△EOC＝3，
∴ab＝××（）
3a＝，
∴b＝2a且ab＝6，
∴a＝，b＝2，
∴AO＝
＝＝3，
故答案为3．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）按照下列不同方法解方程．
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2+3x﹣1＝0（配方法）；
（3）2x2+x﹣1＝0（公式法）；
（4）x2﹣3x＝0（因式分解法）．
【分析】（1）将4移项后可直接开方法
（2）等式两边同时加后可以直接配方法
（3）可得出a＝2，b＝1，c＝﹣1，然后代入求根公式即可求出答案．
（4）提取公因式x即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4＝0，
∴x＝±2．
（2）∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴x2+3x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x+＝±，
∴x＝．
（3）∵2x2+x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+8＝9＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
（4）∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
18．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长（结果保留π）．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AC的长，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△AB'C'即为所求；
（2）∵AC＝＝2，
∴点C旋转到点C'所经过的路线长＝＝π．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
【分析】连接BC，根据直径所对的角等于90°，求出∠BAC，再根据外角的性质得出∠CEB的度数．
【解答】解：连接BC．
∴∠ADC＝∠B，
∵∠ADC＝50°，∴∠B＝50°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝40°，
∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°+40°＝100°．
20．（10分）用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子？若能，请求出长和宽：若不能，请说明理由．
【分析】根据矩形的面积是800，列出方程x（50﹣x）＝800，把方程化为标准形式得x2﹣50x+800＝0，然后说明因为△＝（﹣50）2﹣4×1×800＝﹣700＜0，所以原方程无解，不能制成面积是800cm2的矩形框子．
【解答】解：不能制成面积是800cm2的矩形框子；
理由：设矩形框子的长为xcm，则宽为（50﹣x）cm．
根据题意，得
x（50﹣x）＝800，
把方程化为一般形式，得
x2﹣50x+800＝0，
△＝（﹣50）2﹣4×1×800＝﹣700＜0，
此方程无解．
所以不能制成面积是800cm2的矩形框子．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°，求∠BOE的度数．
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
22．（10分）某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
【分析】等量关系为：（售价﹣成本）×（原来的销售量﹣10×提高的价格）＝2000，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为[200﹣10（x﹣50）]件，
由题意得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2000，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝60，x2＝50．
当x＝60时，销售量为：200﹣10（x﹣50）＝200﹣10（60﹣50）＝100（件）；
当x＝50时，销售量为：200件．
答：该商店销售了这种商品100或200件，每件售价为60或50元．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
【分析】设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍，分别表示出PA、PC的长度，然后根据题意列出方程，求解方程．
【解答】解：设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍，
则PA＝x，PC＝＝，
由题意得，x＝2，
解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝6，
答：点P出发6秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
24．（10分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，有最小值a2＝0．
【应用】（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝ 1 ；
（2）代数式m2+3的最小值是 3 ；
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5．
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
（3）请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
（4）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
【分析】（1）根据x﹣1＝0求解；
（2）根据m2是非负数进行求解；
（3）通过配方法求解；
（4）对含m和n的项分别配方，求出m，n，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x﹣1＝0，
∴x＝1，
故答案为：1；
（2）∵m2≥0，
∴m2+3≥3，
∴最小值是3，
故答案为：3；
（3）a2﹣6a﹣3
＝a2﹣6a+9﹣12
＝（a﹣3）2﹣12，
∴当a＝3时，代数式有最小值，最小值为﹣12；
（4）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，
∴m2﹣8m+16+n2+2n+1＝0，
∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，
∴m﹣4＝0，n+1＝0，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴m+n＝3．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED＝90°，∠OED＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED＝90°，进而可得∠BEO＝90°，可得结论；
（2）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF＝EP＝CE＝PF，由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理可求CF的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝CE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵AE＝AE，CE＝EP，
∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
26．（12分）如图，⊙O中，O为圆心．圆上两点分别是定点A与动点B，连接OA，OB．以OA，OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若∠AOB＝90°，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且⊙O半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接AF，当AF与其运动路线相切时，求弧AB的长．
【分析】（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，根据勾股定理得出R和r的关系，从而得证面积关系；
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，根据勾股定理求出OF的值即可得出F的运动路径的长；
（3）根据相切关系求出AF的值，确定B点的位置，即可求出弧AB的长．
【解答】解：（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，
∵∠AOB＝90°，
∴（2R）2＝（2r）2+（2r）2，
即R2＝2r2，
∵半圆E的面积为：πR2，半圆C的面积为：πr2，半圆D的面积为：πr2，
∴πR2＝πr2+πr2，
即半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积；
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，如下图，连接DF，OF，
∵F是半圆D上的中点，
∴∠FDO＝90°，∠FOD＝45°，
即△FDO为等腰直角三角形，
∵⊙O半径为5，
∴FD＝OD＝，
由勾股定理，得OF＝＝＝，
∴F运动路径长为：2π•＝5π；
（3）∵AF与其运动路线相切，
∴OF⊥AF，
由（2）知OF＝，OA＝5，
∴AF＝＝＝，
即△AOF为等腰直角三角形，
根据题意可知，F的位置存在如图中F和F'两种情况：
①当位置在F点时，
∵△OFA是等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时B点与A点重合，
即弧AB长为0，
②当位置在F'点时，
∵△OFA是等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时∠AOB'＝90°，
∵OA＝5，
∴弧AB的长为：×2π×5＝π，
综上，弧AB的长为0或π．
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2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中
数学试卷（附教师版答案详细解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
2．（3分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
3．（3分）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
4．（3分）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
5．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2＝31.5 B．31.5（1+x）2＝56
C．56（1﹣x）2＝31.5 D．56（1+x）2＝31.5
6．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）点P（4，﹣3）与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是 ．
10．（3分）一个扇形的半径长为6，面积为8π，这个扇形的圆心角是 度．
11．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值是 ．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ ．
13．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ．
14．（3分）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ ．
15．（3分）某校初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．
16．（3分）如图，点A在反比例函数图象y＝（x＞0）上，以OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若＝，则该圆的直径长是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）按照下列不同方法解方程．
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2+3x﹣1＝0（配方法）；
（3）2x2+x﹣1＝0（公式法）；
（4）x2﹣3x＝0（因式分解法）．
18．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长（结果保留π）．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
20．（10分）用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子？若能，请求出长和宽：若不能，请说明理由．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°，求∠BOE的度数．
22．（10分）某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
24．（10分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，有最小值a2＝0．
【应用】（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝ ；
（2）代数式m2+3的最小值是 ；
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5．
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
（3）请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
（4）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
26．（12分）如图，⊙O中，O为圆心．圆上两点分别是定点A与动点B，连接OA，OB．以OA，OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若∠AOB＝90°，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且⊙O半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接AF，当AF与其运动路线相切时，求弧AB的长．
2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断．
【解答】解：A．是二元一次方程，不符合题意；
B．是二元二次方程，不符合题意；
C．是一元一次方程，不符合题意；
D．是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．（3分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝35°，
故选：C．
3．（3分）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
【分析】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．
【解答】解：方程x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
则a，b的值分别为﹣3，10．
故选：D．
4．（3分）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【分析】利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确；
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；
D、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误，
故选：D．
5．（3分）某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2＝31.5 B．31.5（1+x）2＝56
C．56（1﹣x）2＝31.5 D．56（1+x）2＝31.5
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，56（1﹣x）2＝31.5，
故选：C．
6．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝140°，∠ABD＝90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，根据互余可计算出∠BAD＝50°．
【解答】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°．
故选：D．
7．（3分）a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，变形得到a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′．
【解答】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
在Rt△BCM中，BC＝3cm，CM＝AC＝4cm，则BM＝＝5cm．
∵ME′＝MC＝4cm，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝1cm，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）点P（4，﹣3）与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是 点P在圆上． ．
【分析】先根据两点间的距离公式求出OP的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵圆心在原点O，点P（4，﹣3），
∴OP＝＝5，
∴OP＝r＝5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：点P在圆上．
10．（3分）一个扇形的半径长为6，面积为8π，这个扇形的圆心角是 80 度．
【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形＝，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，
∵8π＝，
∴n＝80，
∴这个扇形的圆心角为80度．
故答案为：80．
11．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值是 2021 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，再把5m2﹣5m+2016变形为5（m2﹣m）+2016，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴5m2﹣5m+2016＝5（m2﹣m）+2016＝5×1+2016＝2021．
故答案为：2021．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ 40° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BOE，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∵C、D是的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°×＝40°，
故答案为：40°．
13．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
14．（3分）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ cm． ．
【分析】根据△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm判定三角形的形状为直角三角形，它的外接圆的半径等于斜边上的中线即可求解．
【解答】解：∵△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，
∴132＝122+52，
∴该三角形为直角三角形，
∴它的外接圆的半径＝斜边上的中线＝ cm，
故答案为： cm．
15．（3分）某校初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 x（x﹣1）＝930 ．
【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即可．
【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝930，
故答案是：x（x﹣1）＝930．
16．（3分）如图，点A在反比例函数图象y＝（x＞0）上，以OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若＝，则该圆的直径长是 3 ．
【分析】连接OC并延长OC，BA交点为D，作CE⊥OB，连接AC，设A（a，b） 则ab＝6，AO＝．由AO为直径可证得∠BOC＝∠CAD，由＝可得∠BOC＝∠OAC则∠OAC＝∠DAC，可证△AOC≌△ACD，所以AO＝AD，OC＝CD，由垂径定理得BE＝OE＝，由中位线定理可得EC＝BD，最后由S△ABO＝S△ECO，用a，b表示面积，可得a，b 的关系式，代入ab＝6，可得a，b得值，即可求得OA的长．
【解答】解：如图：连接OC并延长OC，BA交点为D，作CE⊥OB，连接AC
设A（a，b） 则ab＝6
∵AO是直径
∴∠ABO＝90°＝∠ACO
∴AB＝a，OB＝b
∴AO＝
∵四边形ABOC是圆的内接四边形
∴∠BOC＝∠DAC
∵＝
∴∠BOC＝∠OAC
∴∠OAC＝∠DAC，且AC＝AC，∠ACO＝∠ACD＝90°
∴△AOC≌△ACD
∴AO＝AD＝，OC＝CD
∵CE⊥OB，＝
∴OE＝BE＝，且OC＝CD
∴EC∥BD，EC＝＝
∵S△ABO＝S△EOC＝3，
∴ab＝××（）
3a＝，
∴b＝2a且ab＝6，
∴a＝，b＝2，
∴AO＝
＝＝3，
故答案为3．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（16分）按照下列不同方法解方程．
（1）x2﹣4＝0（直接开平方法）；
（2）x2+3x﹣1＝0（配方法）；
（3）2x2+x﹣1＝0（公式法）；
（4）x2﹣3x＝0（因式分解法）．
【分析】（1）将4移项后可直接开方法
（2）等式两边同时加后可以直接配方法
（3）可得出a＝2，b＝1，c＝﹣1，然后代入求根公式即可求出答案．
（4）提取公因式x即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4＝0，
∴x＝±2．
（2）∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴x2+3x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x+＝±，
∴x＝．
（3）∵2x2+x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+8＝9＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝﹣1．
（4）∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
18．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长（结果保留π）．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AC的长，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△AB'C'即为所求；
（2）∵AC＝＝2，
∴点C旋转到点C'所经过的路线长＝＝π．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
【分析】连接BC，根据直径所对的角等于90°，求出∠BAC，再根据外角的性质得出∠CEB的度数．
【解答】解：连接BC．
∴∠ADC＝∠B，
∵∠ADC＝50°，∴∠B＝50°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝40°，
∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°+40°＝100°．
20．（10分）用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子？若能，请求出长和宽：若不能，请说明理由．
【分析】根据矩形的面积是800，列出方程x（50﹣x）＝800，把方程化为标准形式得x2﹣50x+800＝0，然后说明因为△＝（﹣50）2﹣4×1×800＝﹣700＜0，所以原方程无解，不能制成面积是800cm2的矩形框子．
【解答】解：不能制成面积是800cm2的矩形框子；
理由：设矩形框子的长为xcm，则宽为（50﹣x）cm．
根据题意，得
x（50﹣x）＝800，
把方程化为一般形式，得
x2﹣50x+800＝0，
△＝（﹣50）2﹣4×1×800＝﹣700＜0，
此方程无解．
所以不能制成面积是800cm2的矩形框子．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°，求∠BOE的度数．
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
22．（10分）某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
【分析】等量关系为：（售价﹣成本）×（原来的销售量﹣10×提高的价格）＝2000，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为[200﹣10（x﹣50）]件，
由题意得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2000，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝60，x2＝50．
当x＝60时，销售量为：200﹣10（x﹣50）＝200﹣10（60﹣50）＝100（件）；
当x＝50时，销售量为：200件．
答：该商店销售了这种商品100或200件，每件售价为60或50元．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝2cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
【分析】设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍，分别表示出PA、PC的长度，然后根据题意列出方程，求解方程．
【解答】解：设点P出发x秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍，
则PA＝x，PC＝＝，
由题意得，x＝2，
解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝6，
答：点P出发6秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．
24．（10分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，有最小值a2＝0．
【应用】（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝ 1 ；
（2）代数式m2+3的最小值是 3 ；
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5．
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
（3）请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
（4）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
【分析】（1）根据x﹣1＝0求解；
（2）根据m2是非负数进行求解；
（3）通过配方法求解；
（4）对含m和n的项分别配方，求出m，n，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x﹣1＝0，
∴x＝1，
故答案为：1；
（2）∵m2≥0，
∴m2+3≥3，
∴最小值是3，
故答案为：3；
（3）a2﹣6a﹣3
＝a2﹣6a+9﹣12
＝（a﹣3）2﹣12，
∴当a＝3时，代数式有最小值，最小值为﹣12；
（4）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，
∴m2﹣8m+16+n2+2n+1＝0，
∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，
∴m﹣4＝0，n+1＝0，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴m+n＝3．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED＝90°，∠OED＝∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED＝90°，进而可得∠BEO＝90°，可得结论；
（2）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF＝EP＝CE＝PF，由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理可求CF的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝CE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵AE＝AE，CE＝EP，
∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
26．（12分）如图，⊙O中，O为圆心．圆上两点分别是定点A与动点B，连接OA，OB．以OA，OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若∠AOB＝90°，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且⊙O半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接AF，当AF与其运动路线相切时，求弧AB的长．
【分析】（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，根据勾股定理得出R和r的关系，从而得证面积关系；
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，根据勾股定理求出OF的值即可得出F的运动路径的长；
（3）根据相切关系求出AF的值，确定B点的位置，即可求出弧AB的长．
【解答】解：（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，
∵∠AOB＝90°，
∴（2R）2＝（2r）2+（2r）2，
即R2＝2r2，
∵半圆E的面积为：πR2，半圆C的面积为：πr2，半圆D的面积为：πr2，
∴πR2＝πr2+πr2，
即半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积；
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，如下图，连接DF，OF，
∵F是半圆D上的中点，
∴∠FDO＝90°，∠FOD＝45°，
即△FDO为等腰直角三角形，
∵⊙O半径为5，
∴FD＝OD＝，
由勾股定理，得OF＝＝＝，
∴F运动路径长为：2π•＝5π；
（3）∵AF与其运动路线相切，
∴OF⊥AF，
由（2）知OF＝，OA＝5，
∴AF＝＝＝，
即△AOF为等腰直角三角形，
根据题意可知，F的位置存在如图中F和F'两种情况：
①当位置在F点时，
∵△OFA是等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时B点与A点重合，
即弧AB长为0，
②当位置在F'点时，
∵△OFA是等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时∠AOB'＝90°，
∵OA＝5，
∴弧AB的长为：×2π×5＝π，
综上，弧AB的长为0或π．
日期：2021/11/11 5:17:47；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421
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