高中北师大版 (2019)2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用一课一练

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用一课一练，共11页。试卷主要包含了tan 75°等于，已知a=,b=,则a·b=，因为α,β均为锐角,等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 利用公式解决给角求值问题
1.tan 75°等于( )

A.2-3B.2+3
C.3-3D.3+3
2.sin 19°cs 26°-cs 19°sin 206°=( )
A.22B.-22C.12D.32
3.(2020辽宁沈阳一中高二期末)3-tan105°1+3tan105°等于( )
A.-1B.1C.-3D.-33
4.(2020山东东营广饶一中高一期中)已知a=(2sin 35°,2cs 35°),b=(cs 5°,-sin 5°),则a·b=( )
A.12B.1C.2D.2sin 40°
5.(2020陕西西安铁一中高一期末)cs 350°-2sin 160°sin(-190°)=( )
A.-3 B.-32C.32D.3
6.cs15°-sin15°cs15°+sin15°= .
题组二 利用公式解决给值求值问题
7.若cs α=-45,α是第三象限角,则sin α+π4=( )
A.-7210B.7210C.-210D.210
8.(2020山东青岛二中高一期末)若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( )
A.16B.2213C.322D.1318
9.已知sinπ6-α=csπ6+α,则tan α=( )
A.-1B.0C.12D.1
10.(2020福建厦门高一期中)设向量a=(2tan α,tan β),向量b=(4,-3),且a+b=0,则tan(α+β)等于( )
A.17B.-15C.15D.-17
11.已知α,β均为锐角,sin α=55,cs β=1010.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求α-β的值.
12.(2020河北衡水景县中学高一期末)已知0<α<π2<β<π,csβ-π4=13,sin(α+β)=45,求csα+π4的值.
题组三 利用公式解决给值求角问题
13.若tan α=12,tan β=13,且α∈π,3π2,β∈0,π2,则α+β等于( )
A.π4B.5π4C.7π4D.9π4
14.已知α∈0,π2,β∈π2,π,cs β=-13,sin(α+β)=4-26,则α的值为 .
题组四 两角和与差的正切公式的变形及其应用
15.tan 23°+tan 22°+tan 23°tan 22°等于( )
A.3B.-3C.-1D.1
16.(2020吉林白山高一期末)已知tan α+tanπ3-α=3,则tan αtanπ3-α=( )
A.1-3B.3-1C.3D.33
17.若(tan α-1)(tan β-1)=2,求α+β的值.
能力提升练
题组 两角和与差的三角函数公式的综合应用
1.(2020山东潍坊高一期末,)已知α∈π2,3π2,tanα-π4=-3,则sin α=( )

A.55B.-55C.255D.±55
2.()sin(θ+75°)+cs(θ+45°)-3cs(θ+15°)的值等于( )
A.±1B.1C.-1D.0
3.(2020四川成都七中高一期中,)已知A+B=π3,则tan A+tan B+3tan Atan B的值为( )
A.-3B.3
C.0D.1-3
4.(2020甘肃兰州高一期末,)已知sin(α+β)=14,sin(α-β)=13,则tan α∶tan β=( )
A.-17B.17C.-7D.7
5.(2020山东省实验中学高一期末,)已知tanα+π5=2,tanβ-4π5=-3,则tan(α-β)=( )
A.1B.-57C.57D.-1
6.(2020山西临汾高一期中,)在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cs(B+C)sin(A+C),则△ABC一定是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不含60°角的等腰三角形
7.()已知tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈π2,3π2,则α+β的值为( 易错 )
A.4π3B.7π3C.4π3或7π3D.5π3或7π3
8.()(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( )
A.16B.8C.4D.2
9.(2020山东东营一中高一期末,)设α∈0,π2,β∈0,π2,且tan α=1+sinβcsβ,则( )
A.3α-β=π2B.3α+β=π2
C.2α-β=π2D.2α+β=π2
10.(多选)(2020山东安丘一中高一期末,)已知α,β,γ∈0,π2,sin α+sin γ=sin β,cs β+cs γ=cs α,则下列说法正确的是( )
A.cs(β-α)=12B.cs(β-α)=-12
C.β-α=π3D.β-α=-π3
11.(多选)(2020山东潍坊高一期中,)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,下列各式正确的是( )
A.A+B=2CB.tan(A+B)=-3
C.tan A=tan BD.cs B=3sin A
12.(2020河南十校高三联考,)已知β≠kπ+π4(k∈Z),且sin(α+β)=cs(α-β),则tan α= .
13.(2020山东青岛高一期中,)已知π2<α<π,-π<β<0,tan α=-13,tan β=-17,则2α+β= .
14.()已知α,β均为锐角,且tan β=csα-sinαcsα+sinα,求tan(α+β)的值.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
1.B2.A3.A4.B5.D
7.A8.D9.A10.A13.B
15.D16.A
1.B tan 75°=tan(45°+30°)
=(tan" " 45"°" +tan" " 30"°" )/(1"-" tan" " 45"°" tan" " 30"°" )=(1+√3/3)/(1"-" √3/3)=(3+√3)/(3"-" √3)=2+√3.
2.A sin 19°cs 26°-cs 19°sin 206°
=sin 19°cs 26°+cs 19°sin 26°
=sin(19°+26°)
=sin 45°=√2/2.
3.A (√3 "-" tan105"°" )/(1+√3 tan105"°" )=(tan60"°-" tan105"°" )/(1+tan60"°" tan105"°" )
=tan(-45°)=-1.
4.B a•b=2sin 35°cs 5°-2cs 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.
5.D (cs" " 350"°-" 2sin" " 160"°" )/(sin"(-" 190"°)" )=(cs" " 10"°-" 2sin" " 20"°" )/(sin" " 10"°" )=(cs" " 10"°-" 2sin"(" 30"°-" 10"°)" )/(sin" " 10"°" )
=(cs" " 10"°-" 2(1/2 cs" " 10"°-" √3/2 sin" " 10"°" ))/(sin" " 10"°" )
=(√3 sin" " 10"°" )/(sin" " 10"°" )=√3.
6.答案 √3/3
解析 (cs" " 15"°-" sin" " 15"°" )/(cs" " 15"°" +sin" " 15"°" )=(1"-" tan" " 15"°" )/(1+tan" " 15"°" )
=(tan" " 45"°-" tan" " 15"°" )/(1+tan" " 45"°" tan" " 15"°" )=tan(45°-15°)=tan 30°=√3/3.
7.A 因为cs α=-4/5,α是第三象限角,所以sin α=-3/5.由两角和的正弦公式可得sin(α+π/4)=sin αcs π/4+cs αsin π/4=-3/5×√2/2+("-" 4/5)×√2/2=-(7√2)/10.
8.D tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]=(tan"(" α+β")" +tan"(" α"-" β")" )/(1"-" tan"(" α+β")" tan"(" α"-" β")" )=(2/5+1/4)/(1"-" 2/5×1/4)=13/18.
9.A 因为sin (π/6 "-" α)=cs(π/6+α),所以sinπ/6cs α-csπ/6sin α=csπ/6cs α-sin π/6sin α,所以(1"-" √3)/2sin α=(√3 "-" 1)/2cs α,易知cs α≠0,故tan α=-1.
10.A 由a+b=0得2tan α+4=0,tan β-3=0,所以tan α=-2,tan β=3,所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=("-" 2+3)/(1"-(-" 2")" ×3)=1/7.
11.解析 (1)因为α,β均为锐角,
所以cs α=√(1"-" (√5/5) ^2 )=(2√5)/5,sin β=√(1"-" (√10/10) ^2 )=(3√10)/10,
所以sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=√5/5×√10/10-(2√5)/5×(3√10)/10=-√2/2.
(2)由于α,β均为锐角,所以-π/2<α-β<π/2,又因为sin(α-β)=-√2/2,所以α-β=-π/4.
12.解析 因为0<α<π/2<β<π,所以π/4<β-π/4<3π/4,π/2<α+β<3π/2,所以sin β-π/4 >0,cs(α+β)<0.
又因为cs β-π/4 =1/3,sin(α+β)=4/5,所以sin β-π/4 =(2√2)/3,cs(α+β)=-3/5,所以cs α+π/4 =cs (α+β)- β-π/4 =cs(α+β)cs β-π/4 +sin(α+β)sin β-π/4
=-3/5×1/3+4/5×(2√2)/3=(8√2 "-" 3)/15.
13.B 由已知得tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=(1/2+1/3)/(1"-" 1/2×1/3)=1,因为α∈ π,3π/2 ,β∈ 0,π/2 ,所以α+β∈(π,2π),所以α+β=5π/4.
14.答案 π/4
解析 因为β∈(π/2 "," π),cs β=-1/3,所以sin β=√(1"-" cs^2 β)=(2√2)/3.因为α∈(0"," π/2),β∈(π/2 "," π),所以α+β∈(π/2 "," 3π/2),又sin(α+β)=(4"-" √2)/6,所以cs(α+β)=-√(1"-" sin^2 "(" α+β")" )=-(4+√2)/6,于是cs α=cs(α+β-β)=cs(α+β)cs β+sin(α+β)sin β=-(4+√2)/6×("-" 1/3)+(2√2)/3×(4"-" √2)/6=√2/2,由于α∈(0"," π/2),故α=π/4.
15.D 原式=tan(23°+22°)(1-tan 23°•tan 22°)+tan 23°tan 22°=1.
16.A tanπ/3=tan α+ π/3-α =(tanα+tan(π/3 "-" α))/(1"-" tanαtan(π/3 "-" α))=√3,
所以3/(1"-" tanαtan(π/3 "-" α))=√3,
所以tan αtan π/3-α =1-√3.
17.解析 ∵(tan α-1)(tan β-1)=2,
∴tan αtan β-tan α-tan β+1=2,
∴tan α+tan β=tan αtan β-1,
∴(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=-1,
即tan(α+β)=-1,
∴α+β=kπ-π/4,k∈Z.
能力提升练
1.A2.D3.B4.C5.D
6.B7.A8.C9.C10.AC
11.CD
1.A tan α=tan α-π/4 +π/4 =(tan(α"-" π/4)+tan π/4)/(1"-" tan(α"-" π/4)tan π/4)=-1/2,因为α∈ π/2,3π/2 ,所以sin α=√5/5.
2.D 原式=sin[(θ+45°)+30°]+cs(θ+45°)-√3cs[(θ+45°)-30°]
=√3/2sin(θ+45°)+1/2cs(θ+45°)+cs(θ+45°)-√3 √3/2cs(θ+45°)+1/2sin(θ+45°) =√3/2sin(θ+45°)+3/2cs(θ+45°)-3/2cs(θ+45°)-√3/2sin(θ+45°)=0.
3.B tan A+tan B+√3tan Atan B
=tan(A+B)(1-tan Atan B)+√3tan Atan B
=tanπ/3(1-tan Atan B)+√3tan Atan B
=√3-√3tan Atan B+√3tan Atan B=√3.
4.C sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=1/4,sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=1/3,
∴sin αcs β=7/24,cs αsin β=-1/24,
∴tan α∶tan β=sinαcsβ/csαsinβ=-7,
故选C.
5. D 因为α-β+π=(α+π/5)-(β"-" 4π/5),所以tan(α-β+π)=tan[(α+π/5)"-" (β"-" 4π/5) ]=(tan(α+π/5)"-" tan(β"-" 4π/5))/(1+tan(α+π/5)"•" tan(β"-" 4π/5) )=(2+3)/(1"-" 2×3)=-1,所以tan(α-β)=tan(α-β+π)=-1,故选D.
6.B 由题意知sin(A-B)=1-2cs Asin B,即sin Acs B-sin Bcs A=1-2cs Asin B,所以sin Acs B+sin Bcs A=sin(A+B)=1,所以A+B=C=π/2,无法判断A与B是否相等,所以△ABC一定是直角三角形.
7.A ∵tan α,tan β是方程x2+3√3x+4=0的两根,
∴tan α+tan β=-3√3,tan αtan β=4,
∴tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1"-" tanαtanβ)=("-" 3√3)/(1"-" 4)=√3.
∵tan α+tan β<0,tan αtan β>0,
∴tan α<0,tan β<0,
∵α,β∈(π/2 "," 3π/2),
∴α,β∈(π/2 "," π),
则α+β∈(π,2π),
∴α+β=4π/3.
故选A.
易错警示
根据根与系数的关系可得出tan α与tan β的正负情况,进而可缩小α与β的范围,不然会导致出现增根的情况.
8.C (1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°=1+tan 45°(1-tan 21°•tan 24°)+tan 21°tan 24°=2,同理,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,所以原式=4,故选C.
9.C 由tan α=(1+sinβ)/csβ得sinα/csα=(1+sinβ)/csβ,所以sin αcs β-cs αsin β=cs α,即sin(α-β)=sin π/2-α ,又α∈ 0,π/2 ,β∈(0"," π/2),所以α-β=π/2-α,即2α-β=π/2.
10.AC 由已知,得sin γ=sin β-sin α,cs γ=cs α-cs β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cs α-cs β)2=1,∴-2cs(β-α)=-1,∴cs(β-α)=1/2,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈(0"," π/2),sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α,∴β-α=π/3,∴C正确,D错误.故选AC.
11.CD 由题意得,A+B=60°,
∴2(A+B)=C,tan(A+B)=√3,∴选项A,
B错误;
∵tan A+tan B=√3(1-tan A•tan B)=(2√3)/3,
∴tan A•tan B=1/3①.
又tan A+tan B=(2√3)/3②,
∴联立①②解得tan A=tan B=√3/3,∴A=B=30°,∴cs B=√3sin A,故选项C,D正确.故选CD.
12.答案 1
解析 因为sin(α+β)=cs(α-β),所以(sin α-cs α)cs β=(sin α-cs α)sin β,又β≠kπ+π/4(k∈Z),所以cs β≠sin β,所以sin α-cs α=0,所以tan α=sinα/csα=1.
13.答案 7π/4
解析 因为π/2<α<π,所以π<2α<2π,所以tan 2α=(tanα+tanα)/(1"-" tanα"•" tanα)=("-" 1/3+("-" 1/3))/(1"-" ("-" 1/3)×("-" 1/3))=-3/4,所以3π/2<2α<2π.因为-π<β<0,tan β=-1/7,所以-π/2<β<0,所以π<2α+β<2π.又因为tan(2α+β)=("-" 3/4 "-" 1/7)/(1"-" ("-" 3/4)"•" ("-" 1/7))=-1,所以2α+β=7π/4.
14.解析 tan β=(csα"-" sinα)/(csα+sinα)=(1"-" tanα)/(1+tanα)
=tan(π/4 "-" α).因为α,β均为锐角,
所以-π/4<π/4-α<π/4,0<β<π/2,
又y=tan x在("-" π/2 "," π/2)上是单调函数,所以β=π/4-α,
即α+β=π/4,故tan(α+β)=1.