人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率复习练习题

10.1.3　古典概型

基础过关练

题组一　古典概型的特征　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(多选)下列关于古典概型的说法正确的是(　　)

A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则P(A)=

2.下列概率模型中,是古典概型的个数为(　　)

①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;

②从1,2,3,…,10中任取一个数,求取到1的概率;

③在正方形ABCD内画一点P,求点P恰好为正方形中心的概率;

④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.

A.1 B.2 C.3 D.4

题组二　古典概型的概率

3.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(——表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,这五人被选取的机会均等,则甲、乙都当选的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.一部三册的小说任意排放在书架的同一层上,则第一册和第二册相邻的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.(2020北京房山高一期末)同时抛掷三枚质地均匀的硬币,出现一枚正面,两枚反面的概率等于(　　)

A. B. C. D.

7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则称其为负试验;若两次向上的点数相等,则称其为无效试验.一个人抛掷该骰子两次,出现无效试验的概率是(　　)

A. B. C. D.

8.(2020安徽安庆一中月考)在我国70周年国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为　　　　.  

9.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;

(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.

10.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中各随机摸出1个球,这些球除颜色外完全相同,若摸出的2个球都是红球,则中奖,否则不中奖.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;

(2)有人认为:两个箱子中的红球总数比白球总数多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.深度解析

能力提升练

题组　古典概型概率的求法及其应用　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020湖南常德高二期末,)已知一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同,若从袋子中一次取出两个球,则“取到的两个球颜色不相同”的概率是(　　)

A. B. C. D.

2.(2020福建师大附中高二期末,)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A. B. C. D.

3. ()某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,点(x,y)在直线2x-y=1上的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.(2020湖北武汉二中高一期末,)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为(　　)

A. B.

C. D.

5. (2019湖南湘潭一中高三模拟,)将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是(　　)

A. B. C. D.

6.()一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是　　　　. 

7.()某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天浸泡的100颗种子的发芽数,得到如下资料:

(1)求这5天种子发芽数的中位数;

(2)求这5天种子的平均发芽率;

(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)表示试验的样本点,列出所有样本点,并求满足的概率.

8.(2020北京平谷高二期末,)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和外语是考生的必考科目,考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定,否则称该学生的选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数有多少?

(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.ACD　根据古典概型的特征知,A、C、D正确,B中每个样本点出现的可能性相等,但每个事件中包含几个样本点不确定,所以B不正确.

2.A　古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的,并且每个样本点发生的可能性相等,故②是古典概型;①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的,故不是古典概型;④由于硬币质地不均匀,样本点发生的可能性不相等,故④不是古典概型.故选A.

3.C　从八卦中任取一卦,样本点总数n=8,由题图知,一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的样本点个数m=3,

∴所求概率P=.故选C.

4.C　从五个人中选取三人,样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)},共10个样本点,而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为.

5.C　第一册小说记为1,第二册小说记为2,第三册小说记为3,用(x,y,z)表示小说的排列顺序,则样本空间Ω= {(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共6个样本点,

事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点,故第一册和第二册相邻的概率P==.

6.C　试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,出现一枚正面,两枚反面的样本点有3个,故所求概率P=.

7.C　用(x,y)表示这个试验的样本点,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,

所以P(A)==.

8.答案　

解析　用(x,y,z)表示A,B,C三个方阵通过主席台的次序,则试验的样本空间Ω={(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)},共6个样本点,其中B先于A,C通过的有(B,A,C)和(B,C,A),共2个样本点,故所求概率P==.

9.解析　甲校的2名男教师分别用a1,a2表示,1名女教师用b表示;乙校的1名男教师用A表示,2名女教师分别用B1,B2表示.

(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果有:(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),(b,A),(b,B1),(b,B2),共9种.

从中选出的2名教师性别相同的结果有:(a1,A),(a2,A),(b,B1),(b,B2),共4种.

所以选出的2名教师性别相同的概率P=.

(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果有:(a1,a2),(a1,b),(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,b),(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),(b,A),(b,B1),(b,B2),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共15种.

从中选出的2名教师来自同一所学校的结果有:(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共6种.

所以选出的2名教师来自同一所学校的概率P==.

10.解析　(1)所有可能的摸出结果有:(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).

(2)不正确,理由如下:

由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,且这12种结果发生的可能性是相等的.其中摸出的2个球都是红球的结果有(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=,故不中奖的概率比较大.

方法技巧

古典概型的概率的求解步骤:

1.用列举法、列表法等写出试验的样本空间,并计算出所有的样本点的个数n(Ω);

2.计算出随机事件A包含的样本点的个数n(A);

3.利用概率公式P(A)==即可得结果.

能力提升练

1.B　3个白球分别记为1,2,3;2个黑球分别记为A,B.

从袋子中一次取出两个球的所有情况有:

(1,2),(1,3),(1,A),(1,B),(2,3),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B),(A,B),共10种.

取到的两个球颜色不相同的情况有:(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B),共6种.故取到的两个球颜色不相同的概率P==.故选B.

2.D　从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,样本点总数为5×5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个,

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P==.故选D.

3.A　先后投掷一枚骰子两次,共有6×6=36种结果,满足题意的结果有3种,即(1,1),(2,3),(3,5),所以所求概率为=.

4.A　分别用A,B,C表示齐王的上、中、下等马,用a,b,c表示田忌的上、中、下等马,现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共9种可能的结果,田忌的马获胜包含的样本点有Ba,Ca,Cb,共3个,所以田忌的马获胜的概率为.

5.C　投掷一枚骰子两次,所得的点数a和b满足的关系为所以样本点共有36个.

若方程ax2+bx+1=0有实数解,则Δ=b2-4a≥0,即b2≥4a.

当b=1时,没有符合条件的a;当b=2时,a可取1;当b=3时,a可取1,2;当b=4时,a可取1,2,3,4;当b=5时,a可取1,2,3,4,5,6;当b=6时,a可取1,2,3,4,5,6.

所以满足条件的样本点有19个,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率P=.

6.答案　

解析　由1,2,3组成的三位数有:123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,2,4组成的三位数有6个,由1,3,4组成的三位数有6个,由2,3,4组成的三位数有6个,所以样本空间中的样本点共有24个,这24个数出现的可能性是相等的.由1,2,3或1,3,4组成的三位数为“有缘数”,共12个,所以这个三位数为“有缘数”的概率为=.

7.解析　(1)因为16<23<25<26<30,

所以这5天种子发芽数的中位数是25.

(2)这5天种子的平均发芽率为

×100%=24%.

(3)所有样本点有:(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26), (30,16),(26,16),共10个.

记满足的事件为A,则事件A包含的样本点有:(25,30),(25,26),(30,26),共3个.

所以P(A)=,即满足的概率为.

8.解析　(1)从题表中可以看出,选考方案确定的男生都选择了物理和化学科目,选择生物的有2人,所以同时选考物理、化学和生物的人数是2.

(2)由题表可知,已确定选考科目的男生共5人,其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.

记(x,y)表示从已确定选考科目的男生中任选2名,则样本点有:(a1,a2),(a1,b),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2),共10个.

2名学生选考科目完全相同的样本点有:(a1,a2),(c1,c2),共2个.

设事件A=“从已确定选考科目的男生中任选2名,这2名学生选考科目完全相同”,则P(A)==.