2020-2021学年第三章 函数概念与性质本章综合与测试测试题

专题强化练4　二次函数在闭区间上最大(小)值的求法

一、选择题

1.()某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.90万元

B.60万元

C.120万元

D.120.25万元

2.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是(　　)

A.[160,+∞)

B.(-∞,40]

C.(-∞,40]∪[160,+∞)

D.(-∞,20]∪[80,+∞)

3.(2019天津一中高一上期中,)已知二次函数f(x)=x2-2x-4在区间[-2,a]上的最小值为-5,最大值为4,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-2,1) B.(-2,4]

C.[1,4] D.[1,+∞)

4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=则f(x)的值域是(　　)

A.∪(1,+∞)

B.[0,+∞)

C.

D.∪(2,+∞)

二、填空题

5.(2020重庆高一上月考,)已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[0,m]上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为　　　　　.深度解析 

6.(2019浙江杭州十四中高一上期中,)已知函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],则ab的最大值为　　　　. 

7.()已知二次函数f(x)满足f(0)=2, f(x)-f(x-1)=2x+1,则函数f(x2+1)的最小值为　　　　. 

8.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数y=-x2+ax-在区间[0,1]上的最大值是,则实数a的值为　　　　. 

三、解答题

9.(2020山东枣庄高一上期末,)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当0≤x≤220时,求函数v(x)的解析式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时) f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大值.易错

10.()已知函数f(x)为二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12.

(1)求f(x)的解析式;

(2)设函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式.

答案全解全析

一、选择题

1.C　设公司在甲地销售m辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆,0≤m≤15,且m∈N,公司获利为L万元,

则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-+30+,

∴当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.

2.C　由于函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.函数f(x)=4x2-kx-8的图象开口向上,且对称轴方程为x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.

3.C　∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,

∴f(x)min=f(1)=-5,

又由题知f(x)max=4,

∴令x2-2x-4=4,

解得x=-2或x=4,

作出函数f(x)的大致图象如图所示.

由题意及图象可知,1≤a≤4.故选C.

4.D　当x<g(x),即x<x2-2时,x>2或x<-1,

f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=+,

f(-1)=2,因此x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f(x)的值域为(2,+∞);

当x≥g(x),即-1≤x≤2时,

f(x)=g(x)-x=x2-2-x=-,

其最小值为f=-,其最大值为f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]时,函数f(x)的值域为.

综上可得,函数f(x)的值域为∪(2,+∞),故选D.

二、填空题

5.答案　[1,2]

解析　f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=1,且f(x)min=f(1)=1.

令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2.

由题意及图象可知,1≤m≤2.

即m的取值范围是[1,2].

解题模板　解决二次函数在闭区间上最大(小)值问题的关键是确定二次函数图象的对称轴与闭区间的关系,利用二次函数的图象是常见方法.

6.答案　3

解析　∵函数y=x2+2x=(x+1)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x=-1,

∴当x=-1时,函数取得最小值-1.又由题知,当y=3,即x2+2x=3时,x=-3或x=1.∵函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],∴a=-3,-1≤b≤1,此时-3≤a·b≤3或b=1,-3≤a≤-1,此时-3≤ab≤-1.因此ab的最大值为3.

7.答案　5

解析　∵f(x)为二次函数,∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(0)=c=2.

又f(x)-f(x-1)=2x+1,

∴ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,

即2ax-a+b=2x+1,∴

解得∴f(x)=x2+2x+2.

令t=x2+1,则t≥1,函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.

∵f(t)的图象开口向上,图象的对称轴为直线t=-1,

∴f(t)在[1,+∞)上单调递增,

∴f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值为5.

8.答案　-6或

解析　函数y=f(x)=-+(a2-a)的图象开口向下,对称轴方程为x=,

①当0≤≤1,即0≤a≤2时, f(x)max=f=(a2-a),

则(a2-a)=,解得a=-2或a=3,与0≤a≤2矛盾,不符合题意,舍去;

②当<0,即a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)max=f(0)=-,

则-=,解得a=-6,符合题意;

③当>1,即a>2时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=a-1,

则a-1=,解得a=,符合题意.

综上所述,a=-6或a=.

三、解答题

9.解析　(1)由题意知,当0≤x≤20时,v(x)=100;

当20≤x≤220时,设v(x)=ax+b(a≠0),因为v(20)=20a+b=100,v(220)=220a+b=0,

所以a=-,b=110.

所以v(x)=

(2)依题意得

f(x)=

若0≤x≤20,则f(x)max=f(20)=2 000;

若20<x≤220,则f(x)=-(x-110)2+6 050,当x=110时, f(x)max=6 050.

综上,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6 050辆/时.

易错警示　求与二次函数有关的分段函数的最大(小)值需要注意两点:一是二次函数图象的对称轴与二次函数的定义域之间的关系,二是求出每段函数的最大(小)值后,再进行比较才可得到结论.

10.解析　(1)由题意可设f(x)=ax(x-5)(a>0),又由题可知, f(x)的图象开口向上,图象的对称轴为直线x=,则在区间[-1,4]上, f(x)max=f(-1)=6a=12,解得a=2,所以f(x)=2x2-10x.

(2)由(1)知,当t≥时,函数f(x)在区间[t,t+1]上是增函数,则g(t)=f(t)=2t2-10t;

当t<<t+1,即<t<时, f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,则g(t)=f=-;

当t+1≤,即t≤时,函数f(x)在区间[t,t+1]上是减函数,则g(t)=f(t+1)=2t2-6t-8.

综上所述,g(t)=