高中数学3.2复数代数形式的四则运算课后作业题

第三章　数系的扩充与复数的引入

3.2　复数代数形式的四则运算

3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义

基础过关练

题组一　复数的加、减法

1.已知复数z1=2 018-3i,z2=1+3i,则z1+z2=(　　)

A.6i        B.2 019

C.2 019+6i   D.2 019-6i

2.复数(1+i)-(2-i)-3i等于(　　)

A.-1-i  B.1-i C.i   D.-i

3.已知复数z-3+3i=2-3i,则z=(　　)

A.0 B.6  C.6i   D.5-6i

4.已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,则实数a的值为(　　)

A.1 B.2

C.-2 D.-2或1

5.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)

A.-2 B.4 C.3 D.-4

6.实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是(　　)

A.1 B.2 C.-2 D.-1

7.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于(　　)

A. B.5

C.      D.5

8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　,z2=　　　　. 

9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).

10.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.

11.(1)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z;

(2)已知复数z满足|z|+z=1+3i,求z.

12.已知复数z1=(a-1)+(2-a)i,z2=2a-1+(1-2a)i(其中i为虚数单位,a∈R),若z1+z2为实数,求实数a的值.

题组二　复数加、减法的几何意义

13.在复平面内,O是原点,向量,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则向量表示的复数为(　　)

A.2+8i B.4-4i

C.6-6i D.-4+2i

14.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是　　　　. 

15.设z=3-4i,则复数z-|z|+(1-i)在复平面内对应的点在第　　　　象限. 

16.已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形.

(1)|z+1+i|=1;

(2)|z-1|=|z+2i|;

(3)|z+1|+|z+1-i|=2.

17.如图,平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:

(1)向量对应的复数,向量对应的复数;

(2)向量对应的复数;

(3)B点对应的复数.

18.如图所示,复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,在复平面内对应的点分别是一个正方形的三个顶点A、B、C,求这个正方形的第四个顶点D对应的复数.

19.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+对应的复数、向量对应的复数及A,B两点间的距离.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)如图所示,设向量,,对应的复数分别为z1,z2,z3,那么(　　)

A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0

C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0

2.(★★☆)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　　)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

3.(★★☆)已知i是虚数单位,复数z1=-3+2i,z2=1-4i,则复数z=z1+z2在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

4.(★★☆)设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z等于(　　)

A.-+i B.-i C.--i D.+i

5.(★★☆)已知复数z对应的向量如图所示,则下图中表示复数z+1对应的向量的是(　　)

6.(★★☆)在复平面内点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,若=,则点D表示的复数是(　　)

A.1-3i B.-3-i

C.3+5i D.5+3i

7.(2019河北张家口第四中学高二月考,★★☆)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

二、填空题

8.(★★☆)已知复数z1=2+ai,z2=a+i(a∈R),且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值范围是　　　　. 

9.(★★☆)如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),则zA-zC=　　　　. 

三、解答题

10.(★★☆)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2 016+2 017i)+(2 017-2 018i).

11.(★★☆)已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β为实数,且z1-z2=+i,求cos(α+β)的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　z1+z2=2 018-3i+1+3i=(2 018+1)+(3-3)i=2 019,故选B.

2.A　(1+i)-(2-i)-3i=(1-2)+(i+i-3i)=-1-i.故选A.

3.D　∵z-3+3i=2-3i,∴z=(2-3i)-(-3+3i)=5-6i,故选D.

4.C　由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得解得a=-2.

5.B　∵z+(3-4i)=1,∴z=-2+4i,∴z的虚部是4.

6.A　z1-z2=(y+x)+(x-y)i=2,

即∴x=y=1,∴xy=1.

7.D　因为z1-z2=5+5i,

所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.

8.答案　5-9i;-8-7i

解析　∵z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,

∴解得

∴z1=5-9i,z2=-8-7i.

9.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.

(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.

10.解析　z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,

所以解得

所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,

所以|z1+z2|=.

11.解析　(1)解法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.

解法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.

(2)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=,又|z|+z=1+3i,所以+x+yi=1+3i,由复数相等的充要条件得

解得所以z=-4+3i.

12.解析　∵复数z1=(a-1)+(2-a)i,z2=2a-1+(1-2a)i(其中i为虚数单位,a∈R),

∴z1+z2=3a-2+(3-3a)i,

又∵z1+z2为实数,

∴3-3a=0,解得a=1.

13.B　=-=-(+)=3+2i-(1+5i-2+i)=3+2i+1-6i=4-4i.

14.答案　5-2i

解析　设AC与BD的交点为E,则点E的坐标为,设点C的坐标为(x,y),则x=5,y=-2,故点C对应的复数为5-2i.

15.答案　三

解析　因为z=3-4i,所以|z|=5,

所以z-|z|+(1-i)=3-4i-5+(1-i)=-1-5i,其在复平面内对应的点Z(-1,-5)位于第三象限.

16.解析　(1)表示以点(-1,-1)为圆心,1为半径的圆.

(2)表示以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.

(3)表示以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.

17.解析　(1)=-,

∴向量对应的复数为-3-2i.

∵=,

∴向量对应的复数为-3-2i.

(2)=-,

∴向量对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)=+=+,

∴向量对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,

即B点对应的复数为1+6i.

18.解析　复数z1,z2,z3在复平面内对应的点分别为A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2).设正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),

则=-=(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2),

=-=(-1,-2)-(-2,1)=(1,-3).

∵=,

∴解得故点D对应的复数为2-i.

19.解析　向量+对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.

∵=-,

∴向量对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.

∴A,B两点间的距离为|-8-2i|==2.

能力提升练

一、选择题

1.D　∵+=0,

∴+-=0,∴z1+z2-z3=0.

2.A　设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知,点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z为△ABC的外心.

3.C　由复数的加法运算可知z=z1+z2=-3+2i+1-4i=-2-2i,在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2),所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限,故选C.

4.D　设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=2+i,

则解得

∴z=+i.

5.A　由题图知z=-2+i,则z+1=-1+i,所以由复数的几何意义可知选项A正确.

6.C　∵点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,=-,

∴对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.

设D(x,y),

∵=,∴(x-1,y-3)=(2,2),

∴解得

∴点D对应的复数为3+5i.

7.C　由题意知z=x+yi(x,y∈R),则z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,即x2+(y-1)2=1.故选C.

二、填空题

8.答案　(2,+∞)

解析　由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,

因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,

所以解得a>2.

故答案为(2,+∞).

9.答案　2-4i

解析　因为+=,

所以4+ai+(a+bi)=6+8i,

因为a,b∈R,

所以解得

所以zA=4+2i,zC=2+6i,

所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.

三、解答题

10.解析　原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2 015-2 016)+2 017]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2 016+2 017)-2 018]i

=(-1 008+2 017)+(1 008-2 018)i

=1 009-1 010i.

11.解析　∵z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,

∴z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β)=+i,

∴

①2+②2得2-2cos(α+β)=1,

即cos(α+β)=.