中考数学重难专题解读课件和针对训练（含答案）：04动态几何问题

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动态几何问题是指题设图形中存在一个或多个动点、动线等在线段、弧线上运动的一类开放性题目．动态几何问题有两个显著的特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线的运动(包括图形的平移、旋转、折叠、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合．解决此类问题的关键是在认真审题的基础上先做到“静中求动”，根据题意画一些不同运动时刻的图形，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后“动中取静”，寻找变化的本质或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题．
在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.(1)如图1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；
☞ 解题思路由菱形的性质得到对应边、角相等；由SAS证明三角形全等即可．
②若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝α，求点M到AD的距离及tanα的值；☞ 解题思路过点M作DA的垂线，通过构建直角三角形来求解．由①可得∠MDH＝∠ABN，那么M到AD的距离和α就转化到Rt△MAH和Rt△MDH中，然后根据已知条件进行求解即可．
(2)若∠ABC＝60°，AM＝4，求MN的长；☞ 解题思路分为两种情况：当点M在AB上时，由△AMN∽CDN，可得MN的长；当点M在BC上时，可分析得出此种情况不存在．
(3)如图2，若∠ABC＝90°，记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)．试问：当x为何值时，△ADN为等腰三角形．☞ 解题思路要使△ADN为等腰三角形，则分为三种情况：①ND＝NA；②DN＝DA；③AN＝AD.分别利用等腰三角形的性质计算即可．
【解答】∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴∠CAD＝45°.分三种情况：(Ⅰ)若ND＝NA，则∠ADN＝∠NAD＝45°.此时，点M恰好与点B重合，则x＝6；(Ⅱ)若DN＝DA，则∠DNA＝∠DAN＝45°.此时，点M恰好与点C重合，则x＝12；
如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与点A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线，垂足为D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE.(1)求证：BD＝CE；☞ 解题思路BD和CE分别在△ADB和△AEC中，由等边三角形的性质和旋转的性质证明△ADB≌△AEC即可．
(2)延长ED交BC于点F，求证：F是BC的中点；☞ 解题思路过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可证得△BFD≌△CFG，即可得出结论．
∵△ADB≌△AEC，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠GEC＝∠AEC－∠AED＝30°，∴∠G＝∠GEC＝30°，∴CG＝CE，∴CG＝BD.又∵∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，∴△BFD≌△CFG(AAS)，∴BF＝FC，∴F是BC的中点．
(3)在(2)的条件下，若△ABC的边长为1，求EF的最大值．☞ 解题思路由题意可证得A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解答】如答图，连接AF.∵△ABC是等边三角形，BF＝FC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，∴A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为圆的直径，即最大值为1.
☞ 解题思路DF在Rt△CDF中，根据特殊角的三角函数值即可求出．
(2)如图2，若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积；☞ 解题思路证明△DFG是等腰直角三角形，求出DF的长即可解决问题．