中考数学重难专题解读课件和针对训练（含答案）：06二次函数纯代数问题

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二次函数纯代数问题是福建中考的压轴题，近三年连续考查，题目综合性极高，涉及初高中部分的知识衔接．题中经常会涉及一个或多个参数，计算量大，考查学生的动手计算能力．在解题过程中，哪些参数是需要求的，哪些是不需要求的，极考验学生的理解能力．
已知抛物线y＝mx2＋2mx＋m－1和直线y＝mx＋m－1，且m≠0.(1)求抛物线的顶点坐标；☞ 解题思路将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标．【解答】∵y＝mx2＋2mx＋m－1＝m(x＋1)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(－1，－1)．
(2)若抛物线经过点(3,5)，求抛物线的解析式；☞ 解题思路将点(3,5)代入到抛物线解析式得到m的值即可．
(3)试说明抛物线与直线有两个交点；☞ 解题思路由y＝mx2＋2mx＋m－1和y＝mx＋m－1可得mx2＋2mx＋m－1＝mx＋m－1，整理，得mx(x＋1)＝0，即可知抛物线与直线有两个交点．【解答】由y＝mx2＋2mx＋m－1和y＝mx＋m－1可得mx2＋2mx＋m－1＝mx＋m－1，整理得mx2＋mx＝0，即mx(x＋1)＝0.∵m≠0，∴x1＝0，x2＝－1，∴抛物线与直线有两个交点．
(4)若抛物线与直线相交于点M，N，且m＝3，则抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得△MNG为直角三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．☞ 解题思路若△MNG为直角三角形，则分三种情况：①∠MGN＝90°；②∠MNG＝90°；③∠GMN＝90°.分别计算即可．
(5)已知点T(t,0)，且－1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．☞ 解题思路由(3)可得抛物线与直线交于(－1，－1)和(0，m－1)两点，设点P的坐标为(t，mt2＋2mt＋m－1)，点Q的坐标为(t，mt＋m－1)．分两种情况进行讨论：①当－1≤t≤0时；②当0＜t≤1时，求出对应的最大值进行比较即可．