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9、山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年高一上学期学分认定考试数学试题（教师版）
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这是一份9、山东省济宁市嘉祥一中2019-2020学年高一上学期学分认定考试数学试题（教师版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={2,5},则B∪(∁UA)=( )
A.{5} B.{1,2,5}
C.{1,2,3,4,5} D.⌀
1.
考向 集合的基本运算.
解析 由题意知∁UA={1,5},又B={2,5},所以B∪(∁UA)={1,2,5},故选B.
答案 B
方法技巧 “A∪B”是所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合.要求A∪B,只需:①把集合A,B中的元素合在一起;②使集合A,B的公共元素在并集中只出现一次.
2.(★)命题p:∃x∈R,x2-x+1≤0的否定是( )
A.∃x∈R,x2-x+1>0
B.∀x∈R,x2-x+1≤0
C.∀x∈R,x2-x+1>0
D.∃x∈R,x2-x+1<0
2.
考向 存在量词命题的否定.
解析 命题p:∃x∈R,x2-x+1≤0的否定是∀x∈R,x2-x+1>0,故选C.
答案 C
方法技巧 在写含有一个量词的命题的否定时,要将“∀”改成“∃”,将“∃”改成“∀”,对于一些量词不是很明显的,可以先将其改写成含有量词的命题,然后写出其否定.
3.(★)设x∈R,则“x=1”是“x2-3x+2=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.
考向 充分、必要条件的判定.
解析 x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,所以x=1或x=2,
所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
4.(★)下列集合中不是空集的是( )
A.{0}
B.{x|x>6且x<5}
C.{x|x2-2x+3=0}
D.{x|2
考向 空集的定义.
解析 由题意知只有A选项中的集合不是空集,元素为0,其他都是空集,故选A.
答案 A
5.(★★)下列各组函数为同一函数的是( )
A.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1
B.f(x)=1,g(x)=x0
C.f(x)=2x,g(x)=4x
D.f(x)=(x)4+1,g(x)=x2+1
5.
考向 同一函数的判断.
解析 对于A,f(x)=x+1(x∈R)与g(x)=x2-1x-1=x+1(x≠-1)的定义域不同,
∴不是同一函数;
对于B,f(x)=1(x∈R),
与g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同,∴不是同一函数;
对于C,f(x)=2x(x∈R)与g(x)=4x=2x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,
∴是同一函数;
对于D,f(x)=(x)4+1=x2+1(x≥0)与g(x)=x2+1(x∈R)的定义域不同,
∴不是同一函数.
故选C.
答案 C
6.(★)下列各函数在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=-x3 B.y=1x
C.y=x|x| D.y=2|x|
6.
3.3幂函数
考向 函数的奇偶性与单调性.
思路分析 根据函数的奇偶性定义和单调性的定义判断.
解析 y=-x3(x∈R)在定义域内既是奇函数又是减函数;
y=1x(x≠0)在定义域内是奇函数但不是单调函数;
y=x|x|=x2(x≥0),-x2(x<0)在定义域内既是奇函数又是增函数;
y=2|x|在定义域内是偶函数.故选A.
答案 A
方法技巧 函数f(x)具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称,然后根据f(-x)=f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)是奇函数进行判断.
7.(★★)下列说法中,正确的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac>bc,则a>b
C.若ac2
7.
考向 不等式性质.
思路分析 结合不等式的性质判断或根据特殊值法判断.
解析 解法一:A.当a>b>0,c>d>0时,ac>bd,故A选项错误;
B.当c为负数时,a
故选C.
解法二:令a=1,b=-1,c=-1,d=-5,显然A、D不成立,
对于B:若c<0,显然不成立,
对于C:由c2>0,得a
答案 C
8.(★★)已知集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,则a等于( )
A.-1 B.-3
C.3 D.-3或-1
8.
考向 利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围.
思路分析 利用-3∈A,分情况讨论列式即可.
解析 ∵集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,
∴a2+4a=-3或a-2=-3,
解得a=-1或a=-3,
当a=-1时,A={12,-3,-3},不满足集合中元素的互异性,
当a=-3时,A={12,-3,-5},满足集合元素中的互异性.
综上,a=-3.
故选B.
答案 B
易错警示 求得参数的值后,要将参数值进行检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,否则易造成错解.
9.(★★)若f(x+1)=x+1,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
B.f(x)=x2-2x(x≥1)
C.f(x)=x2-2x+2(x≥0)
D.f(x)=x2-2x(x≥0)
9.
考向 函数解析式的求法.
思路分析 可令x+1=t,解出x,然后代入已知函数解析式整理可得f(t);注意t的取值范围,最后用x替换t即可得到f(x)的解析式.
解析 令x+1=t,t≥1,则x=(t-1)2,
∴f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2,t≥1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+2(x≥1).
故选A.
答案 A
方法技巧 已知f(g(x))=h(x),求f(x)的两种常用方法:
(1)换元法:令t=g(x),解出x,并将t=g(x)代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域.
(2)配凑法:从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
10.(★★)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4
B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
10.
考向 由基本不等式求参数的取值范围.
思路分析 将不等式x+y4
∴x+y4=x+y41x+4y
=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,
当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取“=”,
∴x+y4min=4,
故m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,
解得m<-1或m>4,
∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).故选B.
答案 B
易错警示 利用基本不等式时,一定要写上不等式成立的条件.
11.(★★★)若a>1,b>0,且ab+a-b=22,则ab-a-b的值为( )
A.6 B.2或-2
C.-2 D.2
11.
考向 化简求值.
思路分析 根据幂函数的性质知ab大于a-b,然后将式子平方即可得结果.
解析 ∵ab+a-b=22,
∴(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8,
∴a2b+a-2b=6,
∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=6-2=4,
∵a>1,b>0,
∴ab-a-b>0,
∴ab-a-b=2.
故选D.
答案 D
方法技巧 利用函数的图象和性质往往能够排除一些选项,使解题更容易.
12.(★★★)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=3x-13,则f(x)≥0的解集为( )
A.[-1,0)∪[1,+∞)
B.[-1,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0)∪(0,1]
12.
考向 利用函数的奇偶性和单调性求不等式的解集.
思路分析 由奇函数的性质和函数的单调性求解.
解析 由题意知f(-1)=0,且f(x)在(-∞,0)上递增,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=0,且f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)≥0的解集为[-1,0]∪[1,+∞),故选C.
答案 C
第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★)若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则a= .
13.
考向 由基本不等式求参数的值或取值范围.
解析 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥4(当且仅当x=3时等号成立),故a=3.
答案 3
14.(★★)已知f(x)是偶函数,且x>0时,f(x)=x2+ax,若f(-1)=2,则f(-2)的值是 .
14.
考向 函数奇偶性的应用.
思路分析 由题意知f(1)=2,进而求出a的值,代入得x>0时f(x)的解析式,求出f(2),从而得出f(-2)的值.
解析 因为f(x)是偶函数,f(-1)=2,所以f(1)=2,
又x>0时,f(x)=x2+ax,
所以1+a=2,解得a=1,
所以x>0时,f(x)=x2+x,
所以f(2)=22+2=6,
所以f(-2)=f(2)=6.
答案 6
方法技巧 1.利用函数奇偶性求函数值或参数值的方法:
利用函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值;比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值.
2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤:
(1)“求谁设谁”,即求哪个区间上的解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
15.(★★)已知函数f(x)=4x,x<1,f(x-1),x≥1,则f92= .
15.
考向 分段函数的求值问题.
思路分析 将要求值的自变量化到能求值的区间,然后代入解析式即可求解.
解析 f92=f72=…=f12=412=2.
答案 2
方法技巧 求分段函数函数值的方法:
先确定要求值的自变量属于哪一个区间,然后代入该段函数的解析式求值.
16.(★★★)已知函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,设函数f(x)=g(x)-x2,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.若f(a)+f(a-2)≤0,则实数a的取值范围为 .
16.
考向 利用函数的单调性求参数的值或取值范围.
解析 由f(x)=g(x)-x2得f(-x)=g(-x)-x2,
所以f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)-2x2=0,
所以f(x)在R上是奇函数,
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在R上单调递增,
因为f(a)+f(a-2)≤0,
所以f(a)≤-f(a-2)=f(2-a),
所以a≤2-a,所以a≤1.
答案 (-∞,1]
方法技巧 解答这类题目就是利用函数的单调性将含“f”的不等式中的“f”脱去,从而把抽象不等式化为一般不等式求解.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明的演算步骤)
17.(★★)(本小题满分10分)
已知全集U=R,集合A={x|x>4},B={x|-6
(2)求∁UB;
(3)定义A-B={x|x∈A,且x∉B},求A-B,A-(A-B).
17.
考向 集合的基本运算.
思路分析 (1)(2)根据集合的交集、并集、补集的运算法则可得结果.(3)根据新定义即可求得答案.
解析 (1)∵A={x|x>4},B={x|-6
(2)∁UB={x|x≥6或x≤-6}.(6分)
(3)∵A-B={x|x∈A,且x∉B},
∴A-B={x|x≥6},(8分)
A-(A-B)={x|4
(2)对新定义中提供的知识整理转化,有效地输出,其中对新定义信息中的提取和转化是解题的关键,也是解题的难点.
18.(★★)(本小题满分12分)
(1)计算:0.064-13-(-π)0+1634+(3-π)2;
(2)已知x+x-1=4(0
考向 指数与指数幂的运算.
解析 (1)原式=(0.43)-13-1+(24)34+(π-3)
=52-1+8+π-3=π+132.(6分)
(2)因为x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=4(x-x-1),(7分)
(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=12,
0
又因为(x12+x-12)2=x+x-1+2=6,
所以x12+x-12=6,(11分)
所以x2-x-2x12+x-12=-42.(12分)
方法技巧 解决此类问题时,先将所求的式子进行化简,再将已知条件代入,在化简的过程中,要注意完全平方公式的灵活应用,本题考查了整体代入的思想.
19.(★★)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=12x-1+12.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)证明:当x>0时,f(x)>0.
19.
考向 函数的定义域、奇偶性、单调性.
思路分析 (1)由分母不为0,可得f(x)的定义域.
(2)利用奇偶函数的定义判断函数f(x)的奇偶性.
(3)当x>0时,2x>1,即可证明f(x)>0.
解析 (1)由题设可知2x-1≠0,∴x≠0,
∴f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0}.(3分)
(2)由(1)可知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)+f(-x)=12x-1+12+12-x-1+12
=12x-1+2x1−2x+1
=1−2x+2x-12x-1=0,(7分)
∴f(x)是奇函数.(8分)
(3)证明:当x>0时,2x>1,
∴2x-1>0,∴f(x)=12x-1+12>0.(12分)
深度剖析 指数函数是非奇非偶函数,但与指数函数有关且具有奇偶性的函数也是常见的.与指数函数有关的函数的奇偶性问题主要是通过函数奇偶性的定义来求解,其难点在于指数式的化简与变形,比如函数f(x)=x11+2x-12的奇偶性.
20.(★★)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若对一切a∈[-3,3],f(x)≥a恒成立,求实数x的取值范围.
20.
考向 不等式的恒成立问题.
思路分析 (1)f(x)≥a对x∈[-2,2]恒成立,令g(x)=f(x)-a=x2+ax+3-a,即求g(x)min≥0,根据二次函数g(x)图象的对称轴x=-a2与区间[-2,2]的位置关系,可分三种情况讨论,利用开口向上的抛物线离对称轴越近函数值越小,即可得到g(x)min,从而得到实数a的取值范围.
(2)f(x)≥a对一切a∈[-3,3]恒成立,即x2+ax+3-a≥0对一切a∈[-3,3]恒成立,令h(a)=(x-1)a+x2+3,利用一次函数的性质,列出关于x的不等式组,解不等式组,即可得到实数x的取值范围.
解析 (1)设g(x)=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],易知图象的对称轴为x=-a2.
①当-a2≤-2,即a≥4时,
g(x)在[-2,2]上单调递增,
此时只需a≥4,g(-2)=7-3a≥0,无解.(2分)
②当-a2≥2,即a≤-4时,
g(x)在[-2,2]上单调递减,
此时只需a≤−4,g(2)=7+a≥0,
解得-7≤a≤-4.(4分)
③当-2<-a2<2,即-4
(2)由f(x)≥a得x2+ax+3-a≥0,
令g(a)=(x-1)a+x2+3≥0,
要使g(a)≥0在a∈[-3,3]上恒成立,
只需g(-3)≥0,g(3)≥0,即x2-3x+6≥0,x2+3x≥0,
解得x≤-3或x≥0.
所以实数x的取值范围是x≤-3或x≥0.(12分)
21.(★★★)(本小题满分12分)
近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备投入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(x)(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系式是C(x)=k20x+100(x≥0,k为常数).记F为该安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释C(0)的实际意义,并建立F关于x的函数关系式;
(2)当x为多少平方米时,F取得最小值?
21.
考向 基本不等式的应用.
思路分析 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,依题意,C(0)=k100=24,可求得k,从而得到F关于x的函数关系式;
(2)利用基本不等式即可求得F的最小值及F取得最小值时x的值.
解析 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.(2分)
由C(0)=k100=24,得k=2400,(4分)
所以F=15×240020x+100+0.5x=1800x+5+0.5x,x≥0.(6分)
因为F=1800x+5+12(x+5)-52
≥21800x+5·[12(x+5)]-52=57.5,(10分)
当且仅当1800x+5=12(x+5),即x=55时取等号.(12分)
22.(★★★)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,请说明函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(2x+1)>0在定义域上恒成立的t的取值范围;
(3)若f(1)=83,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在x∈[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
22.
考向 利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.
思路分析 (1)由奇函数的性质求k的值.
(2)根据指数函数的性质知单调性,并由函数的单调性将“f”去掉,解不等式即可.
(3)先求出a的值,然后代入g(x),满足g(x)的最小值为-2的m的值即为所求.
解析 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,∴1-(k-1)=0,∴k=2.(3分)
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1).
∵f(1)>0,∴a-1a>0,
又a>0,∴a>1.
由于y=ax单调递增,y=-a-x=-1ax单调递增,
故f(x)在R上单调递增.(4分)
不等式化为f(x2+tx)>-f(2x+1)=f(-2x-1).
∴x2+tx>-2x-1,
即x2+(t+2)x+1>0恒成立,(6分)
∴Δ=(t+2)2-4<0,解得-4
即3a2-8a-3=0,
∴a=3或a=-13(舍去).(9分)
∴g(x)=32x+3-2x-2m(3x-3-x)
=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2.(10分)
令t=f(x)=3x-3-x,
由(2)可知f(x)=3x-3-x是增函数.
∵x≥1,∴t≥f(1)=83,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2t≥83,
当m≥83时,
h(t)min=h(m)=2-m2=-2,∴m=±2(舍去).(11分)
当m<83时,
h(t)min=h83=832-163m+2=-2,
解得m=2512<83.
综上,可知m=2512.(12分)
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={2,5},则B∪(∁UA)=( )
A.{5} B.{1,2,5}
C.{1,2,3,4,5} D.⌀
1.
考向 集合的基本运算.
解析 由题意知∁UA={1,5},又B={2,5},所以B∪(∁UA)={1,2,5},故选B.
答案 B
方法技巧 “A∪B”是所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合.要求A∪B,只需:①把集合A,B中的元素合在一起;②使集合A,B的公共元素在并集中只出现一次.
2.(★)命题p:∃x∈R,x2-x+1≤0的否定是( )
A.∃x∈R,x2-x+1>0
B.∀x∈R,x2-x+1≤0
C.∀x∈R,x2-x+1>0
D.∃x∈R,x2-x+1<0
2.
考向 存在量词命题的否定.
解析 命题p:∃x∈R,x2-x+1≤0的否定是∀x∈R,x2-x+1>0,故选C.
答案 C
方法技巧 在写含有一个量词的命题的否定时,要将“∀”改成“∃”,将“∃”改成“∀”,对于一些量词不是很明显的,可以先将其改写成含有量词的命题,然后写出其否定.
3.(★)设x∈R,则“x=1”是“x2-3x+2=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.
考向 充分、必要条件的判定.
解析 x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,所以x=1或x=2,
所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,故选A.
答案 A
4.(★)下列集合中不是空集的是( )
A.{0}
B.{x|x>6且x<5}
C.{x|x2-2x+3=0}
D.{x|2
考向 空集的定义.
解析 由题意知只有A选项中的集合不是空集,元素为0,其他都是空集,故选A.
答案 A
5.(★★)下列各组函数为同一函数的是( )
A.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1
B.f(x)=1,g(x)=x0
C.f(x)=2x,g(x)=4x
D.f(x)=(x)4+1,g(x)=x2+1
5.
考向 同一函数的判断.
解析 对于A,f(x)=x+1(x∈R)与g(x)=x2-1x-1=x+1(x≠-1)的定义域不同,
∴不是同一函数;
对于B,f(x)=1(x∈R),
与g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同,∴不是同一函数;
对于C,f(x)=2x(x∈R)与g(x)=4x=2x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,
∴是同一函数;
对于D,f(x)=(x)4+1=x2+1(x≥0)与g(x)=x2+1(x∈R)的定义域不同,
∴不是同一函数.
故选C.
答案 C
6.(★)下列各函数在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=-x3 B.y=1x
C.y=x|x| D.y=2|x|
6.
3.3幂函数
考向 函数的奇偶性与单调性.
思路分析 根据函数的奇偶性定义和单调性的定义判断.
解析 y=-x3(x∈R)在定义域内既是奇函数又是减函数;
y=1x(x≠0)在定义域内是奇函数但不是单调函数;
y=x|x|=x2(x≥0),-x2(x<0)在定义域内既是奇函数又是增函数;
y=2|x|在定义域内是偶函数.故选A.
答案 A
方法技巧 函数f(x)具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称,然后根据f(-x)=f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)是奇函数进行判断.
7.(★★)下列说法中,正确的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac>bc,则a>b
C.若ac2
7.
考向 不等式性质.
思路分析 结合不等式的性质判断或根据特殊值法判断.
解析 解法一:A.当a>b>0,c>d>0时,ac>bd,故A选项错误;
B.当c为负数时,a
故选C.
解法二:令a=1,b=-1,c=-1,d=-5,显然A、D不成立,
对于B:若c<0,显然不成立,
对于C:由c2>0,得a
答案 C
8.(★★)已知集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,则a等于( )
A.-1 B.-3
C.3 D.-3或-1
8.
考向 利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围.
思路分析 利用-3∈A,分情况讨论列式即可.
解析 ∵集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,
∴a2+4a=-3或a-2=-3,
解得a=-1或a=-3,
当a=-1时,A={12,-3,-3},不满足集合中元素的互异性,
当a=-3时,A={12,-3,-5},满足集合元素中的互异性.
综上,a=-3.
故选B.
答案 B
易错警示 求得参数的值后,要将参数值进行检验,判断其是否满足集合中元素的互异性,否则易造成错解.
9.(★★)若f(x+1)=x+1,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
B.f(x)=x2-2x(x≥1)
C.f(x)=x2-2x+2(x≥0)
D.f(x)=x2-2x(x≥0)
9.
考向 函数解析式的求法.
思路分析 可令x+1=t,解出x,然后代入已知函数解析式整理可得f(t);注意t的取值范围,最后用x替换t即可得到f(x)的解析式.
解析 令x+1=t,t≥1,则x=(t-1)2,
∴f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2,t≥1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+2(x≥1).
故选A.
答案 A
方法技巧 已知f(g(x))=h(x),求f(x)的两种常用方法:
(1)换元法:令t=g(x),解出x,并将t=g(x)代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域.
(2)配凑法:从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
10.(★★)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4
B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
10.
考向 由基本不等式求参数的取值范围.
思路分析 将不等式x+y4
∴x+y4=x+y41x+4y
=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,
当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取“=”,
∴x+y4min=4,
故m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,
解得m<-1或m>4,
∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).故选B.
答案 B
易错警示 利用基本不等式时,一定要写上不等式成立的条件.
11.(★★★)若a>1,b>0,且ab+a-b=22,则ab-a-b的值为( )
A.6 B.2或-2
C.-2 D.2
11.
考向 化简求值.
思路分析 根据幂函数的性质知ab大于a-b,然后将式子平方即可得结果.
解析 ∵ab+a-b=22,
∴(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8,
∴a2b+a-2b=6,
∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=6-2=4,
∵a>1,b>0,
∴ab-a-b>0,
∴ab-a-b=2.
故选D.
答案 D
方法技巧 利用函数的图象和性质往往能够排除一些选项,使解题更容易.
12.(★★★)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=3x-13,则f(x)≥0的解集为( )
A.[-1,0)∪[1,+∞)
B.[-1,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0)∪(0,1]
12.
考向 利用函数的奇偶性和单调性求不等式的解集.
思路分析 由奇函数的性质和函数的单调性求解.
解析 由题意知f(-1)=0,且f(x)在(-∞,0)上递增,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=0,且f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)≥0的解集为[-1,0]∪[1,+∞),故选C.
答案 C
第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★)若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则a= .
13.
考向 由基本不等式求参数的值或取值范围.
解析 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥4(当且仅当x=3时等号成立),故a=3.
答案 3
14.(★★)已知f(x)是偶函数,且x>0时,f(x)=x2+ax,若f(-1)=2,则f(-2)的值是 .
14.
考向 函数奇偶性的应用.
思路分析 由题意知f(1)=2,进而求出a的值,代入得x>0时f(x)的解析式,求出f(2),从而得出f(-2)的值.
解析 因为f(x)是偶函数,f(-1)=2,所以f(1)=2,
又x>0时,f(x)=x2+ax,
所以1+a=2,解得a=1,
所以x>0时,f(x)=x2+x,
所以f(2)=22+2=6,
所以f(-2)=f(2)=6.
答案 6
方法技巧 1.利用函数奇偶性求函数值或参数值的方法:
利用函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值;比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值.
2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤:
(1)“求谁设谁”,即求哪个区间上的解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
15.(★★)已知函数f(x)=4x,x<1,f(x-1),x≥1,则f92= .
15.
考向 分段函数的求值问题.
思路分析 将要求值的自变量化到能求值的区间,然后代入解析式即可求解.
解析 f92=f72=…=f12=412=2.
答案 2
方法技巧 求分段函数函数值的方法:
先确定要求值的自变量属于哪一个区间,然后代入该段函数的解析式求值.
16.(★★★)已知函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(-x)=2x2,设函数f(x)=g(x)-x2,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.若f(a)+f(a-2)≤0,则实数a的取值范围为 .
16.
考向 利用函数的单调性求参数的值或取值范围.
解析 由f(x)=g(x)-x2得f(-x)=g(-x)-x2,
所以f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)-2x2=0,
所以f(x)在R上是奇函数,
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在R上单调递增,
因为f(a)+f(a-2)≤0,
所以f(a)≤-f(a-2)=f(2-a),
所以a≤2-a,所以a≤1.
答案 (-∞,1]
方法技巧 解答这类题目就是利用函数的单调性将含“f”的不等式中的“f”脱去,从而把抽象不等式化为一般不等式求解.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明的演算步骤)
17.(★★)(本小题满分10分)
已知全集U=R,集合A={x|x>4},B={x|-6
(2)求∁UB;
(3)定义A-B={x|x∈A,且x∉B},求A-B,A-(A-B).
17.
考向 集合的基本运算.
思路分析 (1)(2)根据集合的交集、并集、补集的运算法则可得结果.(3)根据新定义即可求得答案.
解析 (1)∵A={x|x>4},B={x|-6
(2)∁UB={x|x≥6或x≤-6}.(6分)
(3)∵A-B={x|x∈A,且x∉B},
∴A-B={x|x≥6},(8分)
A-(A-B)={x|4
(2)对新定义中提供的知识整理转化,有效地输出,其中对新定义信息中的提取和转化是解题的关键,也是解题的难点.
18.(★★)(本小题满分12分)
(1)计算:0.064-13-(-π)0+1634+(3-π)2;
(2)已知x+x-1=4(0
考向 指数与指数幂的运算.
解析 (1)原式=(0.43)-13-1+(24)34+(π-3)
=52-1+8+π-3=π+132.(6分)
(2)因为x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=4(x-x-1),(7分)
(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=12,
0
又因为(x12+x-12)2=x+x-1+2=6,
所以x12+x-12=6,(11分)
所以x2-x-2x12+x-12=-42.(12分)
方法技巧 解决此类问题时,先将所求的式子进行化简,再将已知条件代入,在化简的过程中,要注意完全平方公式的灵活应用,本题考查了整体代入的思想.
19.(★★)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=12x-1+12.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)证明:当x>0时,f(x)>0.
19.
考向 函数的定义域、奇偶性、单调性.
思路分析 (1)由分母不为0,可得f(x)的定义域.
(2)利用奇偶函数的定义判断函数f(x)的奇偶性.
(3)当x>0时,2x>1,即可证明f(x)>0.
解析 (1)由题设可知2x-1≠0,∴x≠0,
∴f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0}.(3分)
(2)由(1)可知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)+f(-x)=12x-1+12+12-x-1+12
=12x-1+2x1−2x+1
=1−2x+2x-12x-1=0,(7分)
∴f(x)是奇函数.(8分)
(3)证明:当x>0时,2x>1,
∴2x-1>0,∴f(x)=12x-1+12>0.(12分)
深度剖析 指数函数是非奇非偶函数,但与指数函数有关且具有奇偶性的函数也是常见的.与指数函数有关的函数的奇偶性问题主要是通过函数奇偶性的定义来求解,其难点在于指数式的化简与变形,比如函数f(x)=x11+2x-12的奇偶性.
20.(★★)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若对一切a∈[-3,3],f(x)≥a恒成立,求实数x的取值范围.
20.
考向 不等式的恒成立问题.
思路分析 (1)f(x)≥a对x∈[-2,2]恒成立,令g(x)=f(x)-a=x2+ax+3-a,即求g(x)min≥0,根据二次函数g(x)图象的对称轴x=-a2与区间[-2,2]的位置关系,可分三种情况讨论,利用开口向上的抛物线离对称轴越近函数值越小,即可得到g(x)min,从而得到实数a的取值范围.
(2)f(x)≥a对一切a∈[-3,3]恒成立,即x2+ax+3-a≥0对一切a∈[-3,3]恒成立,令h(a)=(x-1)a+x2+3,利用一次函数的性质,列出关于x的不等式组,解不等式组,即可得到实数x的取值范围.
解析 (1)设g(x)=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],易知图象的对称轴为x=-a2.
①当-a2≤-2,即a≥4时,
g(x)在[-2,2]上单调递增,
此时只需a≥4,g(-2)=7-3a≥0,无解.(2分)
②当-a2≥2,即a≤-4时,
g(x)在[-2,2]上单调递减,
此时只需a≤−4,g(2)=7+a≥0,
解得-7≤a≤-4.(4分)
③当-2<-a2<2,即-4
(2)由f(x)≥a得x2+ax+3-a≥0,
令g(a)=(x-1)a+x2+3≥0,
要使g(a)≥0在a∈[-3,3]上恒成立,
只需g(-3)≥0,g(3)≥0,即x2-3x+6≥0,x2+3x≥0,
解得x≤-3或x≥0.
所以实数x的取值范围是x≤-3或x≥0.(12分)
21.(★★★)(本小题满分12分)
近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备投入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(x)(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系式是C(x)=k20x+100(x≥0,k为常数).记F为该安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释C(0)的实际意义,并建立F关于x的函数关系式;
(2)当x为多少平方米时,F取得最小值?
21.
考向 基本不等式的应用.
思路分析 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,依题意,C(0)=k100=24,可求得k,从而得到F关于x的函数关系式;
(2)利用基本不等式即可求得F的最小值及F取得最小值时x的值.
解析 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.(2分)
由C(0)=k100=24,得k=2400,(4分)
所以F=15×240020x+100+0.5x=1800x+5+0.5x,x≥0.(6分)
因为F=1800x+5+12(x+5)-52
≥21800x+5·[12(x+5)]-52=57.5,(10分)
当且仅当1800x+5=12(x+5),即x=55时取等号.(12分)
22.(★★★)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,请说明函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(2x+1)>0在定义域上恒成立的t的取值范围;
(3)若f(1)=83,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在x∈[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
22.
考向 利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.
思路分析 (1)由奇函数的性质求k的值.
(2)根据指数函数的性质知单调性,并由函数的单调性将“f”去掉,解不等式即可.
(3)先求出a的值,然后代入g(x),满足g(x)的最小值为-2的m的值即为所求.
解析 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,∴1-(k-1)=0,∴k=2.(3分)
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1).
∵f(1)>0,∴a-1a>0,
又a>0,∴a>1.
由于y=ax单调递增,y=-a-x=-1ax单调递增,
故f(x)在R上单调递增.(4分)
不等式化为f(x2+tx)>-f(2x+1)=f(-2x-1).
∴x2+tx>-2x-1,
即x2+(t+2)x+1>0恒成立,(6分)
∴Δ=(t+2)2-4<0,解得-4
即3a2-8a-3=0,
∴a=3或a=-13(舍去).(9分)
∴g(x)=32x+3-2x-2m(3x-3-x)
=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2.(10分)
令t=f(x)=3x-3-x,
由(2)可知f(x)=3x-3-x是增函数.
∵x≥1,∴t≥f(1)=83,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2t≥83,
当m≥83时,
h(t)min=h(m)=2-m2=-2,∴m=±2(舍去).(11分)
当m<83时,
h(t)min=h83=832-163m+2=-2,
解得m=2512<83.
综上,可知m=2512.(12分)
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