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6、山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（教师版）
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这是一份6、山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（教师版），共10页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答，设命题p，函数f=1x2-x的定义域为，已知a=lg20，2
6、山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019-2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题1)cos240°= ( )
A.-12 B.-32 C.12 D.32
考向 三角函数的诱导公式
分析 利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求出cos240°的值即可.
解析 由诱导公式得cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12,故选A.
答案 A
点评 本题主要考查利用三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值化简求值,熟练掌握三角函数诱导公式,简单记为“奇变偶不变,符号看象限”.
2.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题2)设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B= ( )
A.{1,-2,4} B.{(-2,4)}
C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀
考向 集合的运算
分析 根据交集的定义求出A∩B即可.
解析 由A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},若求A∩B,
则x+y=2,y=x2,解得x=1,y=1,或x=-2,y=4,
∴A∩B={(1,1),(-2,4)},
故选C.
答案 C
点评 本题考查集合运算中的交集运算,在对集合进行化简或集合运算时要注意集合的代表元素,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
3.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题3)设命题p:∃n∈N,n2>2n-1,则命题p的否定为 ( )
A.∀n∈N,n2>2n-1 B.∀n∈N,n2≤2n-1
C.∃n∈N,n2≤2n-1 D.∃n∈N,n2=2n-1
考向 特称命题的否定
分析 直接利用特称命题的否定是全称命题,写出命题的否定即可.
解析 ∵命题p:∃n∈N,n2>2n-1是一个特称命题,它的否定是一个全称命题,
∴命题p的否定为∀n∈N,n2≤2n-1,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查了含有一个量词的命题的否定,熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键,本题易错点在于误认为全称命题与特称命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称命题与特称命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
4.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题4)函数f(x)=1x2-x的定义域为 ( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
考向 函数的概念 一元二次不等式的解法
分析 根据函数f(x)的解析式,由根式内部的代数式大于0,求解x的解集即可.
解析 ∵函数f(x)=1x2-x,
∴x2-x>0,即x(x-1)>0,
∴x<0或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.
答案 D
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式的分母不为零,二次根式根号里面的整体大于等于零,对数的底数大于零且不等于 1、真数大于零,零指数幂的底数不等于零,然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
5.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题5)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( )
A.a
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图象和性质知,a=log20.2
点评 本题考查大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质,常见的做法:对于底数不同、指数不同、真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较.渗透了直观想象和数学运算的核心素养.
6.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题6)若lga与lgb互为相反数,则 ( )
A.a+b=0 B.ab=1
C.a-b=0 D.ab=1
考向 对数的运算性质
分析 由题意得lga+lgb=0,再根据对数的运算性质可得答案.
解析 ∵lga与lgb互为相反数,
∴lga+lgb=0,即lg(ab)=0,
∴ab=1,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.
7.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题7)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA= ( )
A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010
考向 三角函数的定义 两角和的余弦公式
分析 根据题意,作出图形,利用三角函数的定义以及两角和的余弦公式,化简求值即可.
解析 如图,作AD⊥BC,交BC于D,设AD=a,则在△ABD中,因为B=π4,
所以AB=2a,BD=a,由已知得CD=2a,则AC=5a,
设∠BAD=α,∠CAD=β,则sinα=cosα=22,sinβ=255,cosβ=55,
所以cos∠BAC=cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=22×55-22×255=-1010.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用三角函数的定义以及两角和的余弦公式化简求值,设出AD=a后,根据已知条件,把所有的边都表示出来,统一变量,再根据需要求出角的三角函数值,体现了转化数学思想的运用.
8.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题8)若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.-18,524 B.-18,524∪-16
C.-18,0∪0,524 D.-16
考向 函数零点的概念
分析 根据题意,采用参变分离法,由方程的根与函数的零点的关系结合函数图象判断即可.
解析 ∵函数f(x)=24ax2+4x-1,
∴f(0)=-1≠0,x=0不是函数的零点,
∴当x≠0时,由f(x)=24ax2+4x-1=0得a=1-4x24x2=124·1x2-16·1x=1241x-22-16,
令t=1x,则t∈(-∞,-1)∪(1,+∞),令g(t)=124(t-2)2-16.
则g(-1)=524,g(1)=-18,g(2)=-16,
函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点⇔函数y=a的图象与函数y=g(t),t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的图象有且只有一个交点,
由图可知,a∈-18,524∪-16,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数零点的概念,函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与 x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根,进一步转化为求两个函数图象的交点问题,转化的原则是两个函数尽可能是基本初等函数,本题采用的参变分离法,体现了数形结合思想的应用.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.)
9.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题9)下列函数中是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数的有 ( )
A.y=cosx B.y=x2
C.y=x3 D.y=log2|x|
考向 函数的单调性 函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,再通过验证f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性,最后可以利用基本初等函数的单调性判断,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得出答案.
答案 BD
解析 根据题意,依次分析选项:
对于A,函数y=cosx是余弦函数,是偶函数,但在(0,+∞)上不单调,不符合题意;
对于B,函数y=x2是图象开口向上的二次函数,是偶函数,在(0,+∞)上为增函数,符合题意;
对于C,函数y=x3是幂函数,是奇函数,不符合题意;
对于D,函数y=log2|x|是偶函数,当x>0时,y=log2x,在(0,+∞)上为增函数,符合题意.故选BD.
点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义和性质,以及基本初等函数的奇偶性与单调性,对于奇偶性的判断,一定要先考察函数的定义域,如果定义域不是关于原点的对称区间,则一定是非奇非偶函数.
10.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题10)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1),则 ( )
A.函数f(x)+g(x)的定义域为(-1,1)
B.函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
D.函数f(x)-g(x)在区间(0,1)上是减函数
考向 函数的概念 函数的奇偶性、单调性
分析 根据题意,先求出函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)的解析式,再判断函数的定义域、奇偶性,然后借助复合函数的单调性与最值对选项逐一分析,即可得出结论.
答案 AB
解析 ∵f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1),
∴f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x),
由x+1>0且1-x>0得-1
∵-11时,函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减,无最小值,故C错;
∵f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(-1
故选AB.
点评 本题考查利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,根据对数函数的单调性对底数进行讨论来判断复杂函数的单调性,解题关键是先确定函数的定义域,所有研究函数的问题都离不开函数的定义域,这一点要牢记,考查逻辑推理能力,体现了逻辑推理的核心素养.
11.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题11)如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是 ( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为100%
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60m2
D.若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3
考向 指数函数的图象和性质
分析 根据题意,由函数y=at的图象经过(1,2)可得函数解析式,再根据解析式逐一判断各选项,排除不符合条件的选项即可.
答案 ACD
解析 由图可知,函数y=at的图象经过(1,2),即a1=2,则a=2,∴y=2t.
因为2t+1-2t=2t不是常数,即蓝藻每个月的面积是上个月面积的2倍,则每个月的增长率为100%,A对、B错;
当t=6时,y=26=64>60,C对;
若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t1=2,2t2=3,2t3=6,
因为2t1·2t2=2×3,即2t1+t2=6,所以t1+t2=t3,D对.
故选ACD.
点评 本题主要考查指数幂的运算和指数函数的定义在实际问题中的应用,需要正确理解题意,完成实际问题向数学问题的转化,熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键.
12.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题12)已知函数f(x)=sinx(cosx-3sinx),则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在区间0,π2上的最小值为-3
D.函数f(x)的单调减区间是kπ+π12,kπ+712π(k∈Z)
考向 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的应用 两角和与差的正弦 降幂公式
分析 根据题意,利用降幂公式、辅助角公式化简函数f(x)的解析式,然后利用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和性质,对选项逐一进行验证即可.
答案 ACD
解析 f(x)=sinx(cosx-3sinx)=sinxcosx-3sin2x=12sin2x-3·1-cos2x2=12sin2x+32cos2x-32=sin2x+π3-32.
对于A,f(x)的最小正周期T=2π2=π,故A对;
对于B,f(-x)=sin-2x+π3-32=-sin2x-π3-32≠-f(x),不是奇函数,故B错;
对于C,∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,
∴sin2x+π3∈-32,1,
∴f(x)∈-3,1-32,故C对;
对于D,由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,解得kπ+π12≤x≤kπ+712π,k∈Z,
所以函数f(x)的单调减区间是kπ+π12,kπ+712π(k∈Z),故D对.
故选ACD.
点评 本题考查正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的基本性质的应用,必须熟练掌握正弦函数y=sinx的性质:对称轴为x=kπ+π2,对称中心为(kπ,0),当x=2kπ+π2时,y取得最大值A,当x=2kπ-π2时,y 取得最小值-A,正弦函数的增区间为2kπ-π2,2kπ+π2,减区间为2kπ+π2,2kπ+3π2,以上所有的k∈Z.熟练掌握降幂公式以及辅助角公式也是解决本题的关键.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题13)密位广泛用于航海和军事,我国采取的“密位制”是6000密位制,即将一个圆周分成6000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于 rad.
考向 弧度制的应用
分析 根据弧度的定义,周角为2πrad,利用题中所给新定义计算即可.
答案 π50
解析 ∵圆周角为2π,
∴1密位=2π6000=π3000,
∴60密位=π3000×60=π50,
故答案为:π50.
点评 本题主要考查弧度制的应用,准确理解新定义,联系所学知识完成转化,体现了转化的数学思想.
14.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题14)若不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
考向 一元二次不等式恒成立
分析 根据“三个二次”的关系,由不等式ax2+2x+a<0恒成立可得函数y=ax2+2x+a的图象始终在x轴下方,从而得出结论.
答案 (-∞,-1)
解析 ∵不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,
∴函数y=ax2+2x+a的图象始终在x轴下方,
∴a<0,Δ=4-4a2<0,解得a<-1,
故答案为:(-∞,-1).
点评 本题主要考查不等式恒成立问题,通常转化为最值问题,本题借助“三个二次(二次函数、一元二次不等式、一元二次方程)”之间的关系解题,考查数形结合思想的应用.
15.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题15)爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度,现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2),乙上下山的速度都是12(v1+v2)(两人途中不停歇),则甲、乙两人上下山所用时间之比为: ;甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是 (填甲或乙).
考向 函数应用题 基本不等式
分析 根据题意,设上山路程为1,分别表示出甲乙所用时间的关系式,利用基本不等式(或采用作差法)进一步判断大小即可.
答案 (v1+v2)24v1v2;乙
解析 设上山路程为1,根据题意,
则甲上下山所用时间为1v1+1v2=v1+v2v1v2,乙上下山所用时间为2·112(v1+v2)=4v1+v2,
∴甲、乙两人上下山所用时间之比为v1+v2v1v24v1+v2=(v1+v2)24v1v2.
∵v1≠v2,
∴v1+v2v1v2>2v1v2v1v2=2v1v2,4v1+v2<42v1v2=2v1v2,
∴v1+v2v1v2>4v1+v2,即乙上下山所用时间之和最少;
另解(作差法):v1+v2v1v2-4v1+v2=(v1+v2)2-4v1v2v1v2(v1+v2)=(v1-v2)2v1v2(v1+v2)>0,
∴v1+v2v1v2>4v1+v2,即乙上下山所用时间之和最少.
故答案为:(v1+v2)24v1v2;乙.
点评 本题主要考查函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,正确写出时间关于速度的关系式是解题的关键,基本不等式(或作差法)常用于比较两个数的大小关系.
16.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题16)已知函数f(x)=2x-1-2,x≤1,log2(x+1),x>1,且f(a)=3,则f(6-a)= .
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 分段函数的应用
分析 根据题意,由f(a)=3,结合指数和对数的运算性质,求出a的值,再由分段函数求得f(a+6)的值即可.
答案 -74
解析 因为函数f(x)=2x-1-2,x≤1,log2(x+1),x>1,且f(a)=3,
当x≤1时,f(x)=2x-1-2≤21-1-2=-1,所以当a≤1时,f(a)=2a-1-2=3无解,
故a>1,则f(a)=log2(a+1)=3,
∴a+1=8,得a=7,
∴f(6-7)=f(-1)=2-1-1-2=-74,
故答案为-74.
点评 本题主要考查了分段函数求值问题,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,准确计算是完成解答的关键,考查了推理运算能力.
四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题17)在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点A,且点A的纵坐标为45.
(1)求cosa和sinα;
(2)求tan2α的值.
考向 三角函数的定义 同角三角函数的基本关系 二倍角正切公式
分析 (1)根据题意,利用任意角三角函数的定义求得sinα,再利用同角三角函数基本关系式求出cosα即可;
(2)利用同角三角函数基本关系式求得tanα,再用二倍角的正切公式求tan2α的值.
解析 (1)由题意可知,sinα=45,
∵角α为锐角,
∴cosα=1-sin2α=35.
(2)由(1)知tanα=sinαcosα=43,
则tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-432=-247.
点评 本题考查利用三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正切公式进行求值,注意平方关系式sin2α+cos2α=1的应用,在解题过程中它是作为隐含条件来出现的,在进行开方运算时注意正负号的选取,需要讨论时要对角α按所在象限进行讨论.
18.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题18)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问题(2)中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
已知集合A={x|x2-4x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.
(1)求集合A,B;
(2)若x∈A是x∈B成立的 条件,判断实数m是否存在.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
考向 集合的运算 充分条件与必要条件的判断 解一元二次不等式
分析 (1)通过解一元二次不等式即可求出集合A,B;
(2)根据题意,若选①,得集合A是集合B的真子集;若选②,得集合B是集合A的真子集;若选③,得集合A等于集合B;根据所选结果再求出m的取值范围.
解析 (1)由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,故集合A={x|-2≤x≤6},
由x2-2x+1-m2≤0,得[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,
因为m>0,解得1-m≤x≤1+m.
故集合B={x|1-m≤x≤1+m}.
(2)若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,可得集合A是集合B的真子集,
则有1-m≤-2,1+m>6,或1-m<-2,1+m≥6,解得m≥5,
所以,实数m的取值范围是[5,+∞).
若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,可得集合B是集合A的真子集,
则有1-m≥2,1+m<6或1-m≥-2,1+m≤6,解得0
若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,可得集合A等于集合B,
则有1-m=-2,1+m=6,方程组无解,
所以,不存在满足条件的实数m.
点评 本题主要考查一元二次不等式的解法,要注意运用“三个二次”的关系正确解出不等式的解集;考查充分条件与必要条件的应用;考查集合间的包含关系与集合相等,要注意不等式端点值能否取到.
19.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题19)为了预防某流感病毒,某学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如下图所示,在药物释放的过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=116x-a(a为常数).根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
考向 函数应用题 指数函数的图象和性质
分析 (1)根据题意,利用待定系数法,由函数图象经过点(0.1,1),分段讨论即可得出结论;
(2)由(1)的解析式,结合题设条件,列出不等式116x-0.1<0.25,利用指数函数的单调性解不等式即可.
解析 (1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx,且1=0.1k,解得k=10,
又由1=1160.1-a,解得a=0.1,
所以y=10x,0≤x≤0.1,116x-0.1,x>0.1.
(2)令116x-0.1<0.25,即142x-0.2<14,得2x-0.2>1,解得x>0.6,
即从药物释放开始,至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及分段函数的应用问题,也考查了指数不等式的解法与分析问题、解决问题的能力,本题体现了数学建模核心素养的考查.
20.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题20)已知函数f(x)=a-22x+1(a∈R).
(1)判断函数f(x)在R上的单调性,并用单调函数的定义证明;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
考向 函数的单调性 函数的奇偶性
分析 (1)直接利用函数单调性的定义证明即可;
(2)由奇函数的性质得f(0)=0,求得a的值,然后利用奇函数的定义证明当a=1时函数f(x)为奇函数.
解析 (1)函数在R上单调递增,证明如下:
函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,设x1
∵y=2x是R上的增函数,且x1
(2)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=a-1=0,
∴a=1.
当a=1时,f(x)=1-22x+1=2x-12x+1,
∴f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f(x),
此时f(x)为奇函数,满足题意,
∴a=1.
点评 本题考查函数奇偶性、函数单调性的证明方法,由奇偶性求参数的值,需要注意的是由函数f(x)是奇函数可以得到f(0)=0,但反过来函数f(x)满足f(0)=0,函数f(x)不一定是奇函数,所以需要对由f(0)=0得到的结果进行检验,体现了思维的严谨性.
21.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题21)某自然资源探险组织试图穿越某峡谷,但峡谷内被某致命昆虫所侵扰,为了穿越这个峡谷,该探险组织进行了详细的调研,若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度C,调研发现,在这个峡谷中,昆虫密度C是时间t(单位:小时)的一个连续不间断的函数,其函数表达式为
C(t)=1000cosπ(t-8)2+22-1000,8≤t≤16,m,0≤t<8或16
(1)求m的值;
(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间t;
(3)若昆虫密度不超过1250只/平方米,则昆虫的侵扰是非致命性的,那么在一天24小时内哪些时间段,峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰?
考向 分段函数 函数y=Acos(ωx+φ)的图象和性质在实际问题中的应用
分析 (1)根据题意,昆虫密度C是时间t的一个连续不间断的函数,所以得C(8)=m,解出即可;
(2)将cosπ(t-8)2看成一个整体,将函数转化为二次函数,根据二次函数的单调性即可得出结论;
(3)解不等式1000cosπ(t-8)2+22-1000≤1250即可得出结论.
解析 (1)因为昆虫密度C是时间t的一个连续不间断的函数,所以当t=8时,
得到C(8)=1000×(1+2)2-1000=8000=m,即m=8000.
(2)当8≤t≤16时,0≤π(t-8)2≤4π,cosπ(t-8)2∈[-1,1],
则当cosπ(t-8)2=-1时,C达到最小值0,
令π(t-8)2=(2k+1)π,k∈Z,由8≤t≤16,解得t=10,14,
所以在10:00和14:00时,昆虫密度达到最小值,最小值为0.
(3)8≤t≤16时,令1000cosπ(t-8)2+22-1000≤1250,
得cosπ(t-8)2+22≤94,即-32≤cosπ(t-8)2+2≤32,
即cosπ(t-8)2≤-12,即cosπt2≤-12,解得2kπ+2π3≤πt2≤2kπ+4π3,k∈Z,
即4k+43≤t≤4k+83,k∈Z,
因为8≤t≤16,令k=2得283≤t≤323,
令k=3得403≤t≤443,
所以,在 9∶20至10∶40,13∶20至14∶40内,峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.
点评 本题主要考查实际问题模型,通过建模得到一个分段函数,考查分段函数在实际问题中的应用,解题过程中整体思想的运用是一种常用处理问题的方法,尤其是遇到较复杂问题时,注意体会,本题还体现了数学建模的核心素养.
22.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题22)若函数f(x)满足下列条件:
在定义域内存在x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之若x0不存在,则称函数f(x)不具有性质M.
(1)证明函数f(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值;
(2)已知函数h(x)=lgax2+1具有性质M,求实数a的取值范围.
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 函数新定义
分析 (1)将f(x)=2x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1),求出x0即可证明;
(2)由题意,存在x0,使lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2,转化为(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有实根,对二次项系数分类讨论即可求出答案.
解析 (1)证明:f(x)=2x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1)得:
2x0+1=2x0+2,
即2x0=2,解得x0=1,
即存在x0=1使得函数f(x)=2x满足f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,
所以函数f(x)=2x具有性质M.
(2)h(x)的定义域为R,且可得a>0.
因为h(x)具有性质M,所以存在x0,使h(x0+1)=h(x0)+h(1),
代入得:lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2,化为2(x02+1)=a(x0+1)2+a,
整理得:(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有实根,
①若a=2,得x0=-12;
②若a≠2,得Δ≥0,即a2-6a+4≤0,解得a∈[3-5,3+5],
∴a∈[3-5,2)∪(2,3+5].
综上可得a∈[3-5,3+5].
点评 本题主要考查函数新定义问题以及指、对数运算性质的应用,关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题,考查学生的推理能力和运算能力,体现了对逻辑推理和数学运算核心素养的培养.
6、山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019-2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题1)cos240°= ( )
A.-12 B.-32 C.12 D.32
考向 三角函数的诱导公式
分析 利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求出cos240°的值即可.
解析 由诱导公式得cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12,故选A.
答案 A
点评 本题主要考查利用三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值化简求值,熟练掌握三角函数诱导公式,简单记为“奇变偶不变,符号看象限”.
2.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题2)设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B= ( )
A.{1,-2,4} B.{(-2,4)}
C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀
考向 集合的运算
分析 根据交集的定义求出A∩B即可.
解析 由A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},若求A∩B,
则x+y=2,y=x2,解得x=1,y=1,或x=-2,y=4,
∴A∩B={(1,1),(-2,4)},
故选C.
答案 C
点评 本题考查集合运算中的交集运算,在对集合进行化简或集合运算时要注意集合的代表元素,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
3.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题3)设命题p:∃n∈N,n2>2n-1,则命题p的否定为 ( )
A.∀n∈N,n2>2n-1 B.∀n∈N,n2≤2n-1
C.∃n∈N,n2≤2n-1 D.∃n∈N,n2=2n-1
考向 特称命题的否定
分析 直接利用特称命题的否定是全称命题,写出命题的否定即可.
解析 ∵命题p:∃n∈N,n2>2n-1是一个特称命题,它的否定是一个全称命题,
∴命题p的否定为∀n∈N,n2≤2n-1,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查了含有一个量词的命题的否定,熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键,本题易错点在于误认为全称命题与特称命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称命题与特称命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
4.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题4)函数f(x)=1x2-x的定义域为 ( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
考向 函数的概念 一元二次不等式的解法
分析 根据函数f(x)的解析式,由根式内部的代数式大于0,求解x的解集即可.
解析 ∵函数f(x)=1x2-x,
∴x2-x>0,即x(x-1)>0,
∴x<0或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.
答案 D
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式的分母不为零,二次根式根号里面的整体大于等于零,对数的底数大于零且不等于 1、真数大于零,零指数幂的底数不等于零,然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
5.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题5)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( )
A.a
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图象和性质知,a=log20.2
点评 本题考查大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质,常见的做法:对于底数不同、指数不同、真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较.渗透了直观想象和数学运算的核心素养.
6.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题6)若lga与lgb互为相反数,则 ( )
A.a+b=0 B.ab=1
C.a-b=0 D.ab=1
考向 对数的运算性质
分析 由题意得lga+lgb=0,再根据对数的运算性质可得答案.
解析 ∵lga与lgb互为相反数,
∴lga+lgb=0,即lg(ab)=0,
∴ab=1,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.
7.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题7)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA= ( )
A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010
考向 三角函数的定义 两角和的余弦公式
分析 根据题意,作出图形,利用三角函数的定义以及两角和的余弦公式,化简求值即可.
解析 如图,作AD⊥BC,交BC于D,设AD=a,则在△ABD中,因为B=π4,
所以AB=2a,BD=a,由已知得CD=2a,则AC=5a,
设∠BAD=α,∠CAD=β,则sinα=cosα=22,sinβ=255,cosβ=55,
所以cos∠BAC=cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=22×55-22×255=-1010.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用三角函数的定义以及两角和的余弦公式化简求值,设出AD=a后,根据已知条件,把所有的边都表示出来,统一变量,再根据需要求出角的三角函数值,体现了转化数学思想的运用.
8.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题8)若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.-18,524 B.-18,524∪-16
C.-18,0∪0,524 D.-16
考向 函数零点的概念
分析 根据题意,采用参变分离法,由方程的根与函数的零点的关系结合函数图象判断即可.
解析 ∵函数f(x)=24ax2+4x-1,
∴f(0)=-1≠0,x=0不是函数的零点,
∴当x≠0时,由f(x)=24ax2+4x-1=0得a=1-4x24x2=124·1x2-16·1x=1241x-22-16,
令t=1x,则t∈(-∞,-1)∪(1,+∞),令g(t)=124(t-2)2-16.
则g(-1)=524,g(1)=-18,g(2)=-16,
函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点⇔函数y=a的图象与函数y=g(t),t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的图象有且只有一个交点,
由图可知,a∈-18,524∪-16,
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数零点的概念,函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与 x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根,进一步转化为求两个函数图象的交点问题,转化的原则是两个函数尽可能是基本初等函数,本题采用的参变分离法,体现了数形结合思想的应用.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.)
9.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题9)下列函数中是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数的有 ( )
A.y=cosx B.y=x2
C.y=x3 D.y=log2|x|
考向 函数的单调性 函数的奇偶性
分析 根据题意,先求函数的定义域,再通过验证f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性,最后可以利用基本初等函数的单调性判断,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得出答案.
答案 BD
解析 根据题意,依次分析选项:
对于A,函数y=cosx是余弦函数,是偶函数,但在(0,+∞)上不单调,不符合题意;
对于B,函数y=x2是图象开口向上的二次函数,是偶函数,在(0,+∞)上为增函数,符合题意;
对于C,函数y=x3是幂函数,是奇函数,不符合题意;
对于D,函数y=log2|x|是偶函数,当x>0时,y=log2x,在(0,+∞)上为增函数,符合题意.故选BD.
点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义和性质,以及基本初等函数的奇偶性与单调性,对于奇偶性的判断,一定要先考察函数的定义域,如果定义域不是关于原点的对称区间,则一定是非奇非偶函数.
10.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题10)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1),则 ( )
A.函数f(x)+g(x)的定义域为(-1,1)
B.函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
D.函数f(x)-g(x)在区间(0,1)上是减函数
考向 函数的概念 函数的奇偶性、单调性
分析 根据题意,先求出函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)的解析式,再判断函数的定义域、奇偶性,然后借助复合函数的单调性与最值对选项逐一分析,即可得出结论.
答案 AB
解析 ∵f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1),
∴f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x),
由x+1>0且1-x>0得-1
∵-1
∵f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(-1
故选AB.
点评 本题考查利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,根据对数函数的单调性对底数进行讨论来判断复杂函数的单调性,解题关键是先确定函数的定义域,所有研究函数的问题都离不开函数的定义域,这一点要牢记,考查逻辑推理能力,体现了逻辑推理的核心素养.
11.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题11)如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是 ( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为100%
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60m2
D.若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3
考向 指数函数的图象和性质
分析 根据题意,由函数y=at的图象经过(1,2)可得函数解析式,再根据解析式逐一判断各选项,排除不符合条件的选项即可.
答案 ACD
解析 由图可知,函数y=at的图象经过(1,2),即a1=2,则a=2,∴y=2t.
因为2t+1-2t=2t不是常数,即蓝藻每个月的面积是上个月面积的2倍,则每个月的增长率为100%,A对、B错;
当t=6时,y=26=64>60,C对;
若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t1=2,2t2=3,2t3=6,
因为2t1·2t2=2×3,即2t1+t2=6,所以t1+t2=t3,D对.
故选ACD.
点评 本题主要考查指数幂的运算和指数函数的定义在实际问题中的应用,需要正确理解题意,完成实际问题向数学问题的转化,熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键.
12.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题12)已知函数f(x)=sinx(cosx-3sinx),则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在区间0,π2上的最小值为-3
D.函数f(x)的单调减区间是kπ+π12,kπ+712π(k∈Z)
考向 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的应用 两角和与差的正弦 降幂公式
分析 根据题意,利用降幂公式、辅助角公式化简函数f(x)的解析式,然后利用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和性质,对选项逐一进行验证即可.
答案 ACD
解析 f(x)=sinx(cosx-3sinx)=sinxcosx-3sin2x=12sin2x-3·1-cos2x2=12sin2x+32cos2x-32=sin2x+π3-32.
对于A,f(x)的最小正周期T=2π2=π,故A对;
对于B,f(-x)=sin-2x+π3-32=-sin2x-π3-32≠-f(x),不是奇函数,故B错;
对于C,∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,
∴sin2x+π3∈-32,1,
∴f(x)∈-3,1-32,故C对;
对于D,由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,解得kπ+π12≤x≤kπ+712π,k∈Z,
所以函数f(x)的单调减区间是kπ+π12,kπ+712π(k∈Z),故D对.
故选ACD.
点评 本题考查正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的基本性质的应用,必须熟练掌握正弦函数y=sinx的性质:对称轴为x=kπ+π2,对称中心为(kπ,0),当x=2kπ+π2时,y取得最大值A,当x=2kπ-π2时,y 取得最小值-A,正弦函数的增区间为2kπ-π2,2kπ+π2,减区间为2kπ+π2,2kπ+3π2,以上所有的k∈Z.熟练掌握降幂公式以及辅助角公式也是解决本题的关键.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题13)密位广泛用于航海和军事,我国采取的“密位制”是6000密位制,即将一个圆周分成6000等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于 rad.
考向 弧度制的应用
分析 根据弧度的定义,周角为2πrad,利用题中所给新定义计算即可.
答案 π50
解析 ∵圆周角为2π,
∴1密位=2π6000=π3000,
∴60密位=π3000×60=π50,
故答案为:π50.
点评 本题主要考查弧度制的应用,准确理解新定义,联系所学知识完成转化,体现了转化的数学思想.
14.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题14)若不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
考向 一元二次不等式恒成立
分析 根据“三个二次”的关系,由不等式ax2+2x+a<0恒成立可得函数y=ax2+2x+a的图象始终在x轴下方,从而得出结论.
答案 (-∞,-1)
解析 ∵不等式ax2+2x+a<0对任意x∈R恒成立,
∴函数y=ax2+2x+a的图象始终在x轴下方,
∴a<0,Δ=4-4a2<0,解得a<-1,
故答案为:(-∞,-1).
点评 本题主要考查不等式恒成立问题,通常转化为最值问题,本题借助“三个二次(二次函数、一元二次不等式、一元二次方程)”之间的关系解题,考查数形结合思想的应用.
15.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题15)爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度,现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2),乙上下山的速度都是12(v1+v2)(两人途中不停歇),则甲、乙两人上下山所用时间之比为: ;甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是 (填甲或乙).
考向 函数应用题 基本不等式
分析 根据题意,设上山路程为1,分别表示出甲乙所用时间的关系式,利用基本不等式(或采用作差法)进一步判断大小即可.
答案 (v1+v2)24v1v2;乙
解析 设上山路程为1,根据题意,
则甲上下山所用时间为1v1+1v2=v1+v2v1v2,乙上下山所用时间为2·112(v1+v2)=4v1+v2,
∴甲、乙两人上下山所用时间之比为v1+v2v1v24v1+v2=(v1+v2)24v1v2.
∵v1≠v2,
∴v1+v2v1v2>2v1v2v1v2=2v1v2,4v1+v2<42v1v2=2v1v2,
∴v1+v2v1v2>4v1+v2,即乙上下山所用时间之和最少;
另解(作差法):v1+v2v1v2-4v1+v2=(v1+v2)2-4v1v2v1v2(v1+v2)=(v1-v2)2v1v2(v1+v2)>0,
∴v1+v2v1v2>4v1+v2,即乙上下山所用时间之和最少.
故答案为:(v1+v2)24v1v2;乙.
点评 本题主要考查函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,正确写出时间关于速度的关系式是解题的关键,基本不等式(或作差法)常用于比较两个数的大小关系.
16.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题16)已知函数f(x)=2x-1-2,x≤1,log2(x+1),x>1,且f(a)=3,则f(6-a)= .
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 分段函数的应用
分析 根据题意,由f(a)=3,结合指数和对数的运算性质,求出a的值,再由分段函数求得f(a+6)的值即可.
答案 -74
解析 因为函数f(x)=2x-1-2,x≤1,log2(x+1),x>1,且f(a)=3,
当x≤1时,f(x)=2x-1-2≤21-1-2=-1,所以当a≤1时,f(a)=2a-1-2=3无解,
故a>1,则f(a)=log2(a+1)=3,
∴a+1=8,得a=7,
∴f(6-7)=f(-1)=2-1-1-2=-74,
故答案为-74.
点评 本题主要考查了分段函数求值问题,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,准确计算是完成解答的关键,考查了推理运算能力.
四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题17)在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点A,且点A的纵坐标为45.
(1)求cosa和sinα;
(2)求tan2α的值.
考向 三角函数的定义 同角三角函数的基本关系 二倍角正切公式
分析 (1)根据题意,利用任意角三角函数的定义求得sinα,再利用同角三角函数基本关系式求出cosα即可;
(2)利用同角三角函数基本关系式求得tanα,再用二倍角的正切公式求tan2α的值.
解析 (1)由题意可知,sinα=45,
∵角α为锐角,
∴cosα=1-sin2α=35.
(2)由(1)知tanα=sinαcosα=43,
则tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-432=-247.
点评 本题考查利用三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式以及二倍角的正切公式进行求值,注意平方关系式sin2α+cos2α=1的应用,在解题过程中它是作为隐含条件来出现的,在进行开方运算时注意正负号的选取,需要讨论时要对角α按所在象限进行讨论.
18.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题18)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问题(2)中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
已知集合A={x|x2-4x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.
(1)求集合A,B;
(2)若x∈A是x∈B成立的 条件,判断实数m是否存在.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
考向 集合的运算 充分条件与必要条件的判断 解一元二次不等式
分析 (1)通过解一元二次不等式即可求出集合A,B;
(2)根据题意,若选①,得集合A是集合B的真子集;若选②,得集合B是集合A的真子集;若选③,得集合A等于集合B;根据所选结果再求出m的取值范围.
解析 (1)由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,故集合A={x|-2≤x≤6},
由x2-2x+1-m2≤0,得[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,
因为m>0,解得1-m≤x≤1+m.
故集合B={x|1-m≤x≤1+m}.
(2)若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,可得集合A是集合B的真子集,
则有1-m≤-2,1+m>6,或1-m<-2,1+m≥6,解得m≥5,
所以,实数m的取值范围是[5,+∞).
若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,可得集合B是集合A的真子集,
则有1-m≥2,1+m<6或1-m≥-2,1+m≤6,解得0
若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,可得集合A等于集合B,
则有1-m=-2,1+m=6,方程组无解,
所以,不存在满足条件的实数m.
点评 本题主要考查一元二次不等式的解法,要注意运用“三个二次”的关系正确解出不等式的解集;考查充分条件与必要条件的应用;考查集合间的包含关系与集合相等,要注意不等式端点值能否取到.
19.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题19)为了预防某流感病毒,某学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如下图所示,在药物释放的过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=116x-a(a为常数).根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
考向 函数应用题 指数函数的图象和性质
分析 (1)根据题意,利用待定系数法,由函数图象经过点(0.1,1),分段讨论即可得出结论;
(2)由(1)的解析式,结合题设条件,列出不等式116x-0.1<0.25,利用指数函数的单调性解不等式即可.
解析 (1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx,且1=0.1k,解得k=10,
又由1=1160.1-a,解得a=0.1,
所以y=10x,0≤x≤0.1,116x-0.1,x>0.1.
(2)令116x-0.1<0.25,即142x-0.2<14,得2x-0.2>1,解得x>0.6,
即从药物释放开始,至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及分段函数的应用问题,也考查了指数不等式的解法与分析问题、解决问题的能力,本题体现了数学建模核心素养的考查.
20.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题20)已知函数f(x)=a-22x+1(a∈R).
(1)判断函数f(x)在R上的单调性,并用单调函数的定义证明;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
考向 函数的单调性 函数的奇偶性
分析 (1)直接利用函数单调性的定义证明即可;
(2)由奇函数的性质得f(0)=0,求得a的值,然后利用奇函数的定义证明当a=1时函数f(x)为奇函数.
解析 (1)函数在R上单调递增,证明如下:
函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,设x1
∵y=2x是R上的增函数,且x1
(2)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=a-1=0,
∴a=1.
当a=1时,f(x)=1-22x+1=2x-12x+1,
∴f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f(x),
此时f(x)为奇函数,满足题意,
∴a=1.
点评 本题考查函数奇偶性、函数单调性的证明方法,由奇偶性求参数的值,需要注意的是由函数f(x)是奇函数可以得到f(0)=0,但反过来函数f(x)满足f(0)=0,函数f(x)不一定是奇函数,所以需要对由f(0)=0得到的结果进行检验,体现了思维的严谨性.
21.(★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题21)某自然资源探险组织试图穿越某峡谷,但峡谷内被某致命昆虫所侵扰,为了穿越这个峡谷,该探险组织进行了详细的调研,若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度C,调研发现,在这个峡谷中,昆虫密度C是时间t(单位:小时)的一个连续不间断的函数,其函数表达式为
C(t)=1000cosπ(t-8)2+22-1000,8≤t≤16,m,0≤t<8或16
(1)求m的值;
(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间t;
(3)若昆虫密度不超过1250只/平方米,则昆虫的侵扰是非致命性的,那么在一天24小时内哪些时间段,峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰?
考向 分段函数 函数y=Acos(ωx+φ)的图象和性质在实际问题中的应用
分析 (1)根据题意,昆虫密度C是时间t的一个连续不间断的函数,所以得C(8)=m,解出即可;
(2)将cosπ(t-8)2看成一个整体,将函数转化为二次函数,根据二次函数的单调性即可得出结论;
(3)解不等式1000cosπ(t-8)2+22-1000≤1250即可得出结论.
解析 (1)因为昆虫密度C是时间t的一个连续不间断的函数,所以当t=8时,
得到C(8)=1000×(1+2)2-1000=8000=m,即m=8000.
(2)当8≤t≤16时,0≤π(t-8)2≤4π,cosπ(t-8)2∈[-1,1],
则当cosπ(t-8)2=-1时,C达到最小值0,
令π(t-8)2=(2k+1)π,k∈Z,由8≤t≤16,解得t=10,14,
所以在10:00和14:00时,昆虫密度达到最小值,最小值为0.
(3)8≤t≤16时,令1000cosπ(t-8)2+22-1000≤1250,
得cosπ(t-8)2+22≤94,即-32≤cosπ(t-8)2+2≤32,
即cosπ(t-8)2≤-12,即cosπt2≤-12,解得2kπ+2π3≤πt2≤2kπ+4π3,k∈Z,
即4k+43≤t≤4k+83,k∈Z,
因为8≤t≤16,令k=2得283≤t≤323,
令k=3得403≤t≤443,
所以,在 9∶20至10∶40,13∶20至14∶40内,峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.
点评 本题主要考查实际问题模型,通过建模得到一个分段函数,考查分段函数在实际问题中的应用,解题过程中整体思想的运用是一种常用处理问题的方法,尤其是遇到较复杂问题时,注意体会,本题还体现了数学建模的核心素养.
22.(★★★山东省济宁市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题22)若函数f(x)满足下列条件:
在定义域内存在x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之若x0不存在,则称函数f(x)不具有性质M.
(1)证明函数f(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值;
(2)已知函数h(x)=lgax2+1具有性质M,求实数a的取值范围.
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 函数新定义
分析 (1)将f(x)=2x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1),求出x0即可证明;
(2)由题意,存在x0,使lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2,转化为(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有实根,对二次项系数分类讨论即可求出答案.
解析 (1)证明:f(x)=2x代入f(x0+1)=f(x0)+f(1)得:
2x0+1=2x0+2,
即2x0=2,解得x0=1,
即存在x0=1使得函数f(x)=2x满足f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,
所以函数f(x)=2x具有性质M.
(2)h(x)的定义域为R,且可得a>0.
因为h(x)具有性质M,所以存在x0,使h(x0+1)=h(x0)+h(1),
代入得:lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2,化为2(x02+1)=a(x0+1)2+a,
整理得:(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有实根,
①若a=2,得x0=-12;
②若a≠2,得Δ≥0,即a2-6a+4≤0,解得a∈[3-5,3+5],
∴a∈[3-5,2)∪(2,3+5].
综上可得a∈[3-5,3+5].
点评 本题主要考查函数新定义问题以及指、对数运算性质的应用,关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题,考查学生的推理能力和运算能力,体现了对逻辑推理和数学运算核心素养的培养.
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